2024-2025学年福建省泉州五中九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省泉州五中九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段的是( )
A. 1、2、2、3B. 1、2、3、4C. 1、2、2、4D. 3、5、9、13
2.4sin60°的值为( )
A. 3B. 1C. 32D. 2 3
3.若n是方程x2−x−2=0的一个根，则代数式n2−n的值是( )
A. −1B. 2C. −1或2D. −1与2
4.若两个相似三角形对应边上的高的比为4：9，则这两个三角形的周长的比为( )
A. 2：3B. 4：9C. 16：81D. 不能确定
5.如图，△ABC∽△AED，∠ADE=80°，∠A=60°，则∠C等于( )
A. 40°
B. 60°
C. 80°
D. 100°
6.如图，某地修建一座高BC=5m的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为1： 3，则斜坡AB的长度为( )
A. 10mB. 10 3mC. 5mD. 5 3m
7.如图，△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、A′的坐标分别为(−1,0)、(−2,0)，△ABC的面积是6，则△A′B′C′的面积为( )
A. 18
B. 12
C. 24
D. 9
8.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB=12，BM=5，则DE的长为( )
A. 18
B.
C.
D.
9.自然数n满足(n2−2n−2)n2+47=(n2−2n−2)16n−16，这样的n的个数是( )
A. 2B. 1C. 3D. 4
10.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC的中点，过C作CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，连接FD；若AC=4，则CF+FD的值是( )
A. 2 5B. 5C. 2 3D. 92
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知ab=73，则a+ba−b= ______．
12.在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连结DE.若DE=2，则BC= ______．
13.20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，BE>AE.已知AB为2米，则线段BE的长为______米.
14.如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，连接DE，线段BE、CD相交于点O，若OD=2，则OC= ______．
15.在锐角三角形ABC中，2AB2=2AC2+BC2，则tanBtanC的值为______．
16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE=3，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B′，点M为线段AA′上一动点，则EM+ 55A′M的最小值为______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：| 3−1|+(2022−π)0+(12)−1−tan60°．
18.(本小题8分)
解方程：
(1)x2−2x−4=0；
(2)(x−3)2=5(3−x)．
19.(本小题8分)
如图，中山路MN一侧有A，B两个送奶站，C为中山路上一供奶站，测得AC=8km，BC=15km，AB=17km，∠ACM=30°.小明从点C处出发，沿中山路MN向东一直行走，求小明与B送奶站的最近距离．
20.(本小题7分)
如图，四边形ABCD中，AB/​/CD，且AB=2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M.求证：△EDM∽△FBM．
21.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x−2=0．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．
(2)若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2+x1x2=1，求m的值．
22.(本小题10分)
某商店经营一种成本为每千克40元的水产品，据市场调查，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，设每件商品涨价x元，销售利润为y元．
(1)求y与x的函数表达式；(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)每千克水产品定价为多少元时，该商店每月获得最大利润？
23.(本小题10分)
阅读下列材料：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：asinA=bsinB．
证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：
在Rt△BCD中，CD=asinB
在Rt△ACD中，CD=bsinA
∴asinB=bsinA
∴asinA=bsinB
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：bsinB=csinC；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=80米，求这片区域的面积．(结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9)
24.(本小题13分)
风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保.如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座OD建在山坡DF上(坡比i=3：4，DE垂直于水平地面EF，O，D，E三点共线)，坡面DF长10m，三个相同长度的风轮叶片OA，OB，OC可绕点O转动，每两个叶片之间的夹角为120°；当叶片静止，OA与OD重合时，在坡底F处向前走25米至点M处，测得点O处的仰角为53°，又向前走23.5米至点N处，测得点A处的仰角为30°(点E，F，M，N在同一水平线上)．
(1)求叶片OA的长；
(2)在图2状态下，当叶片绕点O顺时针转动90°时(如图3)，求叶片OC顶端C离水平地面EF的距离．
(参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43， 3≈1.7，结果保留整数)
25.(本小题14分)
【问题情境】如图，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=α，点D在边BC上，将线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE(旋转角小于180°)，连接BE，CE，以CE为底边在其上方作等腰三角形FEC，使∠FCE=α，连接AF．
【特例感知】
(1)如图1，当α=60°时，则AF与BE的数量关系为______；
【尝试探究】(2)如图2，写出AF与BE的数量关系(用含α的三角函数表示)，并说明理由；
【拓展应用】(3)如图4，当α=30°，且点B，E，F三点共线时，若BC=4 7，BD=15BC，请直接写出AF的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、1×3≠2×2，故选项错误；
B、1×4≠2×3，故选项错误；
C、1×4=2×2，故选项正确；
D、3×13≠5×9，故选项错误．
故选C．
如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
2.【答案】D
【解析】解：原式=4× 32=3 3．
故选：D．
根据特殊锐角三角函数值达人计算即可．
本题考查特殊角的三角函数值及实数的运算，掌握特殊角的三角函数值是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：把x=n代入方程x2−x−2=0，
可得：n2−n−2=0，
∴n2−n=2．
故选：B．
根据方程的解的定义，n是方程的解，则n的值一定适合方程，将n代入方程中，然后利用整体思想即可求出代数式的值．
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4.【答案】B
【解析】解：∵两个相似三角形对应边上的高的比为4：9，
∴这两个三角形的相似比为4：9，
∴两个相似三角形的周长比为4：9；
故选：B．
根据相似三角形周长的比、两个相似三角形对应边上的高的比等于相似比解答即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵△ABC∽△AED，
∴∠C=∠ADE=80°，
故选：C．
根据相似三角形的性质：对应角相等，即可求解．
本题考查了相似三角形的性质，题目比较简单．
6.【答案】A
【解析】【分析】
直接利用坡度的定义得出AC的长，再利用勾股定理得出AB的长．
此题主要考查了解直角三角的应用，由坡度的定义正确得出AC的长是解题关键．
【解答】
解：如图所示：
∵i=1： 3，BC=5m，
∴BCAC=5AC=1 3，
解得：AC=5 3(m)，
则AB= BC2+AC2= 52+(5 3)2=10(m)，
故选：A．
7.【答案】C
【解析】解：∵△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、A′的坐标分别为(−1,0)、(−2,0)，
∴△ABC∽△A′B′C′且相似比为1：2，
∴△ABC的面积：△A′B′C′的面积=1：4，
∵△ABC的面积是6，
∴△A′B′C′的面积为24，
故选：C．
由题意可知，△ABC与△A′B′C′是位似比为1：2的位似图形，则根据面积比等于位似比的平方即可求解．
本题考查了位似变换的性质，坐标与图形的性质，掌握相似三角形的的面积比等于位似比的平方是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，
∴MC=12−5=7．
∵ME⊥AM，
∴∠AME=90°，
∴∠AMB+∠CMG=90°．
∵∠AMB+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCG，
∴=，即=，解得CG=，
∴DG=12−=．
∵AE//BC，
∴∠E=CMG，∠EDG=∠C，
∴△MCG∽△EDG，
∴=，即=，解得DE=．
故选：C．
先根据题意得出△ABM∽△MCG，故可得出CG的长，再求出DG的长，根据△MCG∽△EDG即可得出结论．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：①当n2−2n−2=1时，无论指数为何值等式成立．
解方程得n1=3，n2=−1(不合题意，舍去)；
②当n2−2n−2=−1时，n不为自然数；
③当n2−2n−2≠±1时，当n为自然数，则n2−2n−2≠0，所以n2+47=16n−16等式成立．
解方程得n1=7，n2=9．
综上所述，满足条件的n值有3个，故选C．
分类讨论：①n2−2n−2=1；②n2−2n−2=−1；③n2−2n−2≠±1．
此题从底数和指数两个方面分类综合考虑问题，考查学生严谨的思维能力．
10.【答案】A
【解析】解：如图，过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H，
∵∠ACB=90°，CE⊥AD，
∴∠ACE+∠DCE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠DCE=∠CAE，且AC=BC，∠ACD=∠CBH=90°，
∴△ACD≌△CBH(ASA)，
∴CD=BH，
∵AC=BC=4，D为BC的中点，
∴CD=DB=BH=2，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠HBF=∠DBF，且BF=BF，BH=BD，
∴△DBF≌△HBF(SAS)
∴DF=FH，
∵CH= BC2+BH2= 42+22=2 5，
∴CF+DF=CF+FH=CH=2 5，
故选：A．
如图，过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H，由ASA可证△ACD≌△CBH，可得CD=BH，由SAS可证△DBF≌△HBF，可得DF=FH，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
11.【答案】52
【解析】解：设a=7t，则b=3t(t≠0)，
∴a+ba−b=7t+3t7t−3t=10t4t=52．
故答案为52．
由已知设a=7t，则b=3t(t≠0)，再代入所求代数式化简即可．
本题考查了代数式的求值，将a=73b直接代入，会产生繁分式，计算麻烦，可以采用参数的方法，使运算简便．
12.【答案】4
【解析】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE=12BC，
∵DE=2，
∴BC=4．
故答案为：4．
由在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，可得DE是△ABC的中位线，然后由三角形中位线的性质，即可求得答案．
此题考查了三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
13.【答案】( 5−1)
【解析】解：∵E为边AB的黄金分割点，BE>AE，AB为2米，
∴BE= 5−12AB= 5−12×2=( 5−1)米，
故答案为：( 5−1)．
根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
本题考查了黄金分割，数学常识，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
14.【答案】4
【解析】解法一：∵点D、E分别为AB、AC的中点，线段BE、CD相交于点O，
∴O点为△ABC的重心，
∴OC=2OD=4；
解法二：∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE/​/BC，DE=12BC，
∴∠ODE=∠OCB，∠OED=∠OBC，
∴△ODE∽△OCB，
∴OD：OC=DE：BC=1：2，
∴OC=2OD=4．
故答案为4．
解法一：由题意，知O点为△ABC的重心，根据重心的性质可得出OC=2OD；
解法二：由题意，知DE为△ABC的中位线，则DE/​/BC，DE=12BC，再证明△ODE∽△OCB，由相似三角形对应边成比例即可得出OC=2OD．
本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，重心的定义与性质，难度中等．
15.【答案】13
【解析】解：如图所示，过点A作BC的垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，
AB2=AM2+BM2．
在Rt△ACM中，
AC2=AM2+MC2．
∵2AB2=2AC2+BC2，
∴2(AM2+BM2)=2(AM2+MC2)+(BM+MC)2，
整理得，3MC2+2BM⋅MC−BM2=0，
∴3(MCBM)2+2⋅MCBM−1=0，
解得MCBM=13或−1(舍去)，
∴MCBM=13．
在Rt△ABM中，
tanB=AMBM，
在Rt△ACM中，
tanC=AMMC，
∴tanBtanC=AMBMAMMC=MCBM=13．
故答案为：13．
根据题意画出示意图，并过点A作AM⊥BC于点M，根据正切的定义表示出tanBtanC，再根据2AB2=2AC2+BC2得出MC和BM之间的关系即可解决问题．
本题考查解直角三角形及勾股定理，能根据题意画出示意图并熟知勾股定理及正切的定义是解题的关键．
16.【答案】125
【解析】解：作A′H⊥AB于H，作ML⊥A′H于L，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC=4 5，
∵沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，
∴∠AGE=90°，A′G=AG，
∴∠AGE=∠ADC，
∵∠EAG=∠CAD，
∴△AGE∽△ADC，
∴AGAD=AEAC，
∴AG8=34 5，
∴AG=6 55，
∴AA′=2AG=12 55，
∵∠AA′H=∠ACB，
∴sin∠AA′H=sin∠ACB，
∴MLA′M= 55，
∴ML= 55A′M，
∴当E、M、L三点共线时，EM+ 55A′M最小，最小值为AH的长，
∴AH= 55×12 55=125，
∴EM+ 55A′M的最小值为125，
故答案为：125．
作A′H⊥AB于H，作ML⊥A′H于L，首先利用勾股定理得AC的长，再根据△AGE∽△ADC，求出AG的长，再利用∠AA′H=∠ACB，得MLA′M= 55，则当E、M、L三点共线时，EM+ 55A′M最小，最小值为AH的长，进而解决问题．
本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，熟练掌握胡不归的基本模型是解题的关键．
17.【答案】解：原式= 3−1+1+2− 3
=2．
【解析】先去绝对值，计算零指数幂和负整数指数幂以及特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可．
本题考查特殊角的三角函数值的运算，掌握实数的混合运算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)x2−2x−4=0，
∴x2−2x+1=5，
∴(x−1)2=5，
∴x−1=± 5，
解得：x1=1+ 5，x2=1− 5；
(2)(x−3)2=5(3−x)，
∴(x−3)2+5(x−3)=0，
∴(x−3)(x−3+5)=0，
∴(x−3)(x+2)=0，
∴x−3=0或x+2=0，
解得：x1=3，x2=−2；
【解析】(1)把方程化为x2−2x+1=5，再利用配方法解方程即可；
(2)把方程化为(x−3)2+5(x−3)=0，再利用因式分解的方法解方程即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
19.【答案】解：∵AC2=64，BC2=225，AB2=289，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
过点B作BD⊥MN于点D，则BD的长即为小明与B送奶站的最近距离，

∵∠ACM=30°，∠ACB=90°，
∴∠BCD=60°．
在Rt△BCD中，∠CBD=180°−∠BDC−∠BCD=30°，
∴CD=12BC=152km，
∴BD= BC2−CD2=15 32km，
即小明与B送奶站的最近距离为15 32km．
【解析】由勾股定理逆定理，即可得到∠ACB=90°；过点B作BD⊥MN于点D，利用含30度角的直角三角形的性质，和勾股定理求出BD的长即可得解．
本题考查勾股定理和逆定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关定理和性质是解题的关键．
20.【答案】证明：∵AB=2CD，E是AB的中点，
∴DC=EB，
又∵AB/​/CD，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∴ED/​/BC，
∴∠EDB=∠FBM，
又∵∠DME=∠BMF，
∴△EDM∽△FBM．
【解析】首先证明四边形BCDE为平行四边形，从而得到ED/​/BC，于是得到∠EDB=∠FBM，又因为∠DME=∠BMF，从而可证明△EDM∽△FBM．
此题考查了相似三角形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键．
21.【答案】(1)证明：∵Δ=[−(2m+1)]2−4×1×(−2)
=(2m+1)2+8>0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
(2)解：由根与系数的关系得出：x1+x2=2m+1，x1x2=−2，
∵x1+x2+x1x2=1，
∴2m+1−2=1，
解得：m=1．
【解析】(1)根据根的判别式得出Δ，据此可得答案；
(2)根据根与系数的关系得出x1+x2=2m+1，x1x2=−2，代入x1+x2+x1x2=1得出关于m的方程，解之可得答案．
本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=−p，x1x2=q．
22.【答案】解：(1)由题意可得：y=(50+x−40)(500−10x)
=(10+x)(500−10x)
=−10x2+400x+5000；
(2)y=−10x2+400x+5000
=−10(x−20)2+9000，
∵−10