专题07一元二次方程三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编

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专题07一元二次方程三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】
三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】
专题07一元二次方程（优选真题60道）
一．选择题（共20小题）
（2023•新疆）
1．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ）
A． B． C． D．
2．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
（2023•滨州）
3．一元二次方程根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定
（2023•滨州）
4．若是方程的两个根，则（    ）
A． B． C． D．
（2023•永州）
5．某县年人均可支配收入为万元，年达到万元，若年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（    ）
A． B．
C． D．
（2023•乐山）
6．若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（    ）
A．4 B．8 C．12 D．16
（2023•内江）
7．对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
8．已知，，为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况为(    )
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
9．关于的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关
（2023•泸州）
10．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　）
A． B． C． D．
（2023•台湾）
11．利用公式法求解可得一元二次方程式 的两解为、，且，求a值为何（　　）
A． B． C． D．
（2022•淮安）
12．若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（    ）
A． B． C．0 D．1
（2022•攀枝花）
13．若关于x的方程有实数根，则实数m的取值的范围是（    ）
A． B． C． D．
（2022•内蒙古）
14．对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
（2022•巴中）
15．对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（    ）
A． B． C．且 D．且
（2022•巴中）
16．定义新运算：对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如．若（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（　　）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
（2022•鄂尔多斯）
17．下列说法正确的是（　　）
①若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥1．
②7＜＜8．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．
④的平方根是±4．
⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．
A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④
（2022•北京）
18．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ）
A． B． C． D．
（2022•呼和浩特）
19．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（    ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
（2021•遵义）
20．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
二．填空题（共20小题）
（2023•随州）
21．已知一元二次方程x2﹣3x＋1＝0有两个实数根x1，x2，则x1＋x2﹣x1x2的值等于 ．
（2023•岳阳）
22．已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是 ．
（2023•内江）
23．已知a、b是方程的两根，则 ．
（2023•岳阳）
24．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ．
（2023•上海）
25．已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是 ．
（2023•上海）
26．已知关于的方程，则
（2023•枣庄）
27．若是关x的方程的解，则的值为 ．
（2023•金昌）
28．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 （写出一个满足条件的值）．
（2023•怀化）
29．已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为 ，另一个根为 ．
（2023•连云港）
30．若（为实数），则的最小值为 ．
31．已知方程的根为，则的值为 ．
（2023•重庆）
32．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程 ．
（2023•重庆）
33．某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为 ．
（2023•达州）
34．已知是方程的两个实数根，且，则的值为 ．
（2023•扬州）
35．关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
（2023•连云港）
36．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
（2022•巴中）
37．、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ．
（2022•鄂州）
38．若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 ．
（2021•南通）
39．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
（2021•广东）
40．若一元二次方程（b，c为常数）的两根满足，则符合条件的一个方程为 ．
三．解答题（共20小题）
（2023•南充）
41．已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
（2023•遂宁）
42．我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：．
(1)求的值；
(2)已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围．
43．（1）解方程：；
（2）解不等式组：
44．如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．

(1)若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽；
(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为．求新的矩形绿地面积．
（2022•广州）
45．已知T=
(1)化简T；
(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．
46．（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．

用“”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．
（2022•齐齐哈尔）
47．解方程：
（2022•泰州）
48．如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？

（2022•十堰）
49．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
（2022•随州）
50．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．
(1)求k的取值范围；
(2)若，求k的值．
（2022•眉山）
51．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
（2022•凉山州）
52．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
（2022•南充）
53．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
（2021•烟台）
54．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
（2021•永州）
55．若是关于x的一元二次方程的两个根，则．现已知一元二次方程的两根分别为m，n．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
（2021•荆门）
56．已知关于x的一元二次方程有，两实数根．
（1）若，求及的值；
（2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由．
（2021•北京）
57．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．
58．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值．
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
（2021•重庆）
59．某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．
（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加%．求a的值．
（2021•滨州）
60．某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
（1）求该商品每次降价的百分率；
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？




参考答案：
1．D
【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
2．D
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
3．A
【分析】根据题意，求得，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程中，，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．
4．A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程中的，
是方程的两个根，
，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
5．B
【分析】设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
6．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．
7．A
【分析】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键．
8．B
【分析】根据点在第四象限，得出，进而根据一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：点在第四象限，
，
，
方程的判别式，
方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了第四象限点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，得出是解题的关键．
9．C
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
10．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案．
【详解】解：设方程的两根分别为a，b，
∴，
∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11，
∴，即，
∵菱形对角线垂直且互相平分，
∴该菱形的边长为
，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键．
11．D
【分析】利用公式法即可求解．
【详解】解：，
这里，，，
△，
，
一元二次方程式 的两解为、，且，
的值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．
12．A
【分析】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案．
【详解】解：∵一元二次方程没有实数根，
∴，
∴，
故选：A.
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键．
13．C
【分析】根据一元二次方程有实数根，列不等式求解即可．
【详解】解析：关于x的方程有实数根，
，
解得，
故选C．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式之间的关系是解答此题的关键．
14．A
【分析】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键．
15．A
【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0方程没有实数根．
16．B
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算出根的判别式的值，判断即可．
【详解】解：根据题中的新定义化简得：，
整理得：，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】此题考查了根的判别式，方程的定义，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
17．B
【分析】根据二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形的内角和定理，根的判别式判断即可．
【详解】解：①若二次根式 有意义，则1﹣x≥0，解得x≤1．
故x的取值范围是x≤1，题干的说法是错误的．
②8＜ ＜9，故题干的说法是错误的．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5是正确的．
④ ＝4的平方根是±2，故题干的说法是错误的．
⑤∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，
∴一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根，故题干的说法是正确的．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形．
18．C
【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到=0，建立关于m的方程，解答即可．
【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴=0，
∴，
解得，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，0，
∴m