专题30图形的对称与翻折三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编

这是一份专题30图形的对称与翻折三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编，共105页。试卷主要包含了下列图形中，是轴对称图形的是等内容，欢迎下载使用。

专题30图形的对称与翻折三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编
三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编专题30图形的对称与翻折
一．选择题（共24小题）
（2023•长沙）
1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A．   B．   C．   D．    
（2023•赤峰）
2．如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点C与延长线上的点Q重合．交于点F，交延长线于点E．交于点P，于点M，，则下列结论，①，②，③，④．正确的是（    ）
  
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
（2023•牡丹江）
3．在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．
根据以上的操作，若，，则线段的长是（    ）
  
A．3 B． C．2 D．1
（2023•黑龙江）
4．如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（    ）
  
A． B． C． D．
（2023•聊城）
5．如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（    ）
  
A． B． C． D．
（2023•安徽）
6．如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）
  
A．的最小值为 B．的最小值为
C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为
（2023•临沂）
7．某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为，则点B的坐标为（    ）
    
A． B． C． D．
（2023•金昌）
8．如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（    ）
  
A．2 B．4 C．5 D．6
（2023•浙江）
9．如图，已知矩形纸片，其中，现将纸片进行如下操作：
第一步，如图①将纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图②；
第二步，再将图②中的纸片沿对角线折叠，展开后如图③；
第三步，将图③中的纸片沿过点的直线折叠，使点落在对角线上的点处，如图④．则的长为（　　）
  
A． B． C． D．
（2022•济宁）
10．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（  ）

A． B． C． D．
（2022•菏泽）
11．如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．2
（2022•台湾）
12．如图1为一张正三角形纸片，其中D点在上，E点在上．以为折痕将B点往右折如图2所示，分别与相交于F点、G点．若，，，，则长度为（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10
（2022•河北）
13．如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（    ）

A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
（2022•毕节市）
14．矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（    ）

A．3 B． C． D．
（2022•湖州）
15．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（  ）

A．BD＝10 B．HG＝2 C． D．GF⊥BC
（2022•北京）
16．图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ）
      
A． B． C． D．
（2022•赤峰）
17．如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（    ）

A．3 B．5 C． D．
（2022•广安）
18．如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（　　）

A．2 B． C．1.5 D．
（2022•营口）
19．如图，在矩形中，点M在边上，把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接，过点B作，垂足为F，若，则线段的长为（    ）

A． B． C． D．
（2022•常州）
20．在平面直角坐标系中，点A与点关于轴对称，点A与点关于轴对称．已知点，则点的坐标是（    ）
A． B． C． D．
（2022•德州）
21．如图，正方形的边长为6，点在上，，点是对角线上的一个动点，则的最小值是（    ）
  
A． B． C． D．
（2022•六盘水）
22．如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（    ）

A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形
（2022•资阳）
23．如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是(   )

A． B． C． D．
（2022•鄂州）
24．如图，定直线MNPQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC=12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ=60°．点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AEBCDF，AE=4，DF=8，AD=24，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（    ）

A．24 B．24 C．12 D．12
二．填空题（共26小题）
（2023•泰安）
25．如图，在中，，点在上，点在上，点关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于点，点，若，，，则的长度为 ．
  
（2023•吉林）
26．如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．
  
（2023•徐州）
27．如图，在中，，点D在边上．将沿折叠，使点C落在点处，连接，则的最小值为 ．

（2023•通辽）
28．点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为 ．
（2023•辽宁）
29．如图，在三角形纸片中，，点D是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点B落在点处，当时，的度数为 ．
  
（2023•深圳）
30．如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则＝ ．
  
31．矩形纸片中，，，点M在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点B与点M重合，折痕与，分别交于点E，F，则线段的长度为 ．
32．矩形中，，将矩形沿过点的直线折叠，使点落在点处，若是直角三角形，则点到直线的距离是 ．
（2023•随州）
33．如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．
  
（2023•邵阳）
34．如图，在矩形中， ，动点P在矩形的边上沿运动．当点P不与点A、B重合时，将沿对折，得到，连接，则在点P的运动过程中，线段的最小值为 ．
  
（2023•十堰）
35．在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为，，的中点，G，H分别为，的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为 ，最大值为 ．
  
（2023•宜昌）
36．如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．
  
（2023•临沂）
37．如图，三角形纸片中，，分别沿与平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 ．
  
（2023•新疆）
38．如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．

（2023•成都）
39．如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则 ．
  
（2023•凉山州）
40．如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点A落在点处时，恰好，若，则 ．

（2023•南充）
41．如图，在等边中，过点C作射线，点M，N分别在边，上，将沿折叠，使点B落在射线上的点处，连接，已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点N与C重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是 （填写序号）

（2023•泸州）
42．如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是 ．
  
（2023•自贡）
43．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．
  
（2022•兰州）
44．如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将沿DE翻折得到，点F落在AE上．若，，则 cm．

（2022•扬州）
45．“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若，则 ．

（2022•德阳）
46．如图，直角三角形纸片中，，点是边上的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，那么 ．

（2022•沈阳）
47．如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，的延长线交边于点G，交边于点H．，，当点H为三等分点时，的长为 ．    
  
（2022•泰安）
48．如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为 ．

（2022•眉山）
49．如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为 ．

（2022•辽宁）
50．如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，当GF最小时，GF的长是 ．

三．解答题（共10小题）
（2023•安徽）
51．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均为格点（网格线的交点）．
  
(1)画出线段关于直线对称的线段；
(2)将线段向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段；
(3)描出线段上的点及直线上的点，使得直线垂直平分．
（2023•泰安）
52．如图，矩形中，对角线相交于点O，点F是边上的一点，连接，将沿直线折叠，点D落在点G处，连接并延长交于点H，连接并延长交于点M，交的延长线于点E，且．
  
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：．
（2023•恩施州）
53．如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，连接交于点．
    
(1)若，求的度数；
(2)连接EF，试判断四边形的形状，并说明理由．
（2023•无锡）
54．如图，四边形是边长为的菱形，，点为的中点，为线段上的动点，现将四边形沿翻折得到四边形．
  
(1)当时，求四边形的面积；
(2)当点在线段上移动时，设，四边形的面积为，求关于的函数表达式．
（2023•通辽）
55．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接．
  
(1)如图1，当点M在上时，___________度；
(2)改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断与的数量关系，并说明理由．
（2023•湖北）
56．如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点，重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
（2023•广西）
57．【探究与证明】
折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，，展平纸片，连接，，．
  
请完成：
(1)观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系；
(2)证明（1）中的猜想；
【类比操作】如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，．
  
请完成：
(3)证明是的一条三等分线．
（2022•枣庄）
58．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．
  
(1)如图①，若PQ⊥BC，求t的值；
(2)如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？
（2022•哈尔滨）
59．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．

(1)在方格纸中面出，使与关于直线对称（点D在小正方形的顶点上）；
(2)在方格纸中画出以线段为一边的平行四边形（点G，点H均在小正方形的顶点上），且平行四边形的面积为4．连接，请直接写出线段的长．
（2022•无锡）
60．如图，已知四边形ABCD为矩形，，点E在BC上，，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．

(1)求EF的长；
(2)求sin∠CEF的值．

参考答案：
1．D
【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形）对四个选项进行分析．
【详解】解：根据轴对称图形的定义可知：A、B、C都不是轴对称图形，只有D是轴对称图形．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，难度不大，掌握定义是解答的关键．
2．A
【分析】由折叠性质和平行线的性质可得，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出，再求出即可判断②正确；由得，求出即可判断③正确；根据即可判断④错误．
【详解】由折叠性质可知：，
∵，
∴．
∴．
∴．
故正确；
∵，，
∴．
∵，
∴．
故正确；
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
故正确；
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴与不相似．
∴．
∴与不平行．
故错误；
故选A．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键．
3．C
【分析】根据折叠的性质得：，，，设，则，利用勾股定理求出，再证明，得，求解即可．
【详解】解：如图，过点作，交于点，
  



在和中，





设，则，
，即：，
解得：，
，，
，
，
，

，
故选：C．
【点睛】本题考查折叠问题及矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握折叠的性质并能熟练运用勾股定理方程思想是解题的关键．
4．D
【分析】首先证明，求出，连结，设与交于点F，然后求出，可得，再用含的式子表示出，最后在中，利用勾股定理构建方程求出即可解决问题．
【详解】解：∵矩形的边，，
∴，，，
由题意知，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由折叠知，，
∴，
∴，即，
连接，设与交于点F，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠知，，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴点的坐标是，
故选：D．
  
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理的应用等知识，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求出的长是解题的关键．
5．B
【分析】三点，，的对称点坐标为，，，结合，得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，计算即可．
【详解】∵三点，，的对称点坐标为，，，结合，
∴得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，
故坐标为．
故选B．
【点睛】本题考查了关于x轴对称，平移规律，熟练掌握轴对称的特点和平移规律是解题的关键．
6．A
【分析】延长，则是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当点与重合时，则三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解．
【详解】解：如图所示，
  
延长，
依题意
∴是等边三角形，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
则为的中点
如图所示，
  
设的中点分别为，
则
∴当点在上运动时，在上运动，
当点与重合时，即，
则三点共线，取得最小值，此时，
则，
∴到的距离相等，
则，
此时
此时和的边长都为2，则最小，
∴，
∴
∴，
或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，
  
此时
故A选项错误，
根据题意可得三点共线时，最小，此时，则，故B选项正确；
周长等于，
即当最小时，周长最小，
如图所示，作平行四边形，连接，
  
∵，则
如图，延长,，交于点，
则，
∴是等边三角形，
∴，
在与中，

∴
∴
∴
∴
∴，则，
∴是直角三角形，
  
在中，
∴当时，最短，
∵
∴周长的最小值为，故C选项正确；
∵
∴四边形面积等于
  
∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合
∴四边形面积的最小值为，故D选项正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当点与重合时得出最小值是解题的关键．
7．A
【分析】根据关于轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：点B的坐标为；
故选A．
【点睛】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握关于轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，是解题的关键．
8．B
【分析】由题意可得四边形是菱形，，，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案．
【详解】解：∵将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形，
∴，与互相平分，
∴四边形是菱形，
∵，，
∴菱形的面积为．
故选：B
【点睛】此题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
9．D
【分析】根据折叠的性质得出，，等面积法求得，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
  
∵折叠，
∴
∴在以为圆心，为直径的圆上，
∴，
∴
∵矩形，其中，
∴
∴，
∴，
∵
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10．A
【分析】根据题意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE= DE， ∠C=∠CDE，
∵∠BAC = 90°，
∴∠B+ ∠C= 90°，
∴∠ADB + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE = 90°，
∴AD2 + DE2 = AE2，
设AE=x，则CE=DE=3-x，
∴22+(3-x)2 =x2，
解得
即AE=
故选A
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
11．C
【分析】连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值，证明△ABC是等边三角形，AF是高线，利用三角函数即可求解．
【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵
∴F是BC的中点，
∴AF⊥BC．
则AF＝AB•sin60°＝2．
即的最小值是．
故选：C
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形以及三角函数，确定AF的长就是的最小值是关键．
12．C
【分析】先证明，得到，求出的长，然后求出线段长即可．
【详解】解：正三角形
∴
∵
∴
∴
即
∴
∵，，
∴
∴
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握翻折的性质．
13．D
【分析】根据折叠的性质可得，作出选择即可．
【详解】解：如图，

∵由折叠的性质可知，
∴AD是的角平分线，
故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键．
14．D
【分析】连接BF交AE于点G，根据对称的性质，可得AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=，根据E为BC中点，可证BE=CE=EF，通过等边对等角可证明∠BFC=90°，利用勾股定理求出AE，再利用三角函数（或相似）求出BF，则根据计算即可．
【详解】连接BF，与AE相交于点G，如图，

∵将沿折叠得到
∴与关于AE对称
∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=
∵点E是BC中点
∴BE=CE=DF=
∴
∵
∴
∴
∵BE=CE=EF
∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF
∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=
∴
故选 D
【点睛】本题考查了折叠对称的性质，熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键．
15．D
【分析】根据矩形的性质以及勾股定理即可判断A，根据折叠的性质即可求得，进而判断B，根据折叠的性质可得，进而判断C选项，根据勾股定理求得的长，根据平行线线段成比例，可判断D选项
【详解】BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，


故A选项正确，
将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，
，
,

故B选项正确，
,
∴EG∥HF，
故C正确
设，则，
，


即

，同理可得
若
则
，
，
不平行，
即不垂直，
故D不正确．
故选D
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．
16．D
【分析】根据题意，画出该图形的对称轴，即可求解．
【详解】解∶如图，
    
一共有5条对称轴．
故选：D
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
17．A
【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．
【详解】如图：连接BE，
，
∵菱形ABCD，
∴B、D关于直线AC对称，
∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小
∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，
∵菱形ABCD，，点，
∴，，
∴
∴△CDB是等边三角形
∴
∵点是的中点，
∴,且BE⊥CD，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长．
18．A
【分析】取AB中点G点，根据菱形的性质可知E点、G点关于对角线AC对称，即有PE=PG，则当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，再证明四边形AGFD是平行四边形，即可求得FG=AD．
【详解】解：取AB中点G点，连接PG，如图，

∵四边形ABCD是菱形，且边长为2，
∴AD=DC=AB=BC=2，
∵E点、G点分别为AD、AB的中点，
∴根据菱形的性质可知点E、点G关于对角线AC轴对称，
∴PE=PG，
∴PE+PF=PG+PF，
即可知当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，且为线段FG，
如下图，G、P、F三点共线，连接FG，

∵F点是DC中点，G点为AB中点，
∴，
∵在菱形ABCD中，，
∴，
∴四边形AGFD是平行四边形，
∴FG=AD=2，
故PE+PF的最小值为2，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质等知识，找到E点关于AC的对称点是解答本题的关键．
19．A
【分析】先证明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=，从而可得AD=BC=，最后求得AE的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，
∴∠DEC=∠FCB，
∵，
∴∠BFC=∠CDE，
∵把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，
∴BC=EC，
在△BFC与△CDE中，

∴△BFC≌△CDE（AAS），
∴DE=CF=2，
∴，
∴AD=BC=CE=，
∴AE=AD-DE=，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握矩形中的折叠问题．
20．D
【分析】直接利用关于x，y轴对称点的性质分别得出A，点坐标，即可得出答案．
【详解】解：∵点的坐标为（1，2），点A与点关于轴对称，
∴点A的坐标为（1，-2），
∵点A与点关于轴对称，
∴点的坐标是（-1，﹣2）．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了关于x，y轴对称点的坐标，正确掌握关于坐标轴对称点的性质是解题关键．
21．C
【分析】连接，，根据正方形的对称性可得，进而可知，再利用，，三点共线时，的值最小，将转化为，最后运用勾股定理即可解答．
【详解】如图，连接，，
、关于对称，
，

当，，三点共线时，的值最小，
即的值最小，
，，
由勾股定理得：，
即的最小值为，
故选C．
  
【点睛】本题考查了运用轴对称解决最短路径问题、勾股定理的应用、正方形的性质，明确当，，三点共线时，有最小值是解题的关键．
22．C
【分析】根据题意知，对折实际上就是对称，对折两次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，从而可以进行从题后的答案中选择．
【详解】解：由题意知，对折实际上就是对称，对折2次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，
且每个角等于90度，
其只有正方形满足这一条件．
故选C．
【点睛】此题考查了利用对称设计图案以及菱形的判定，关键是根据对折实际上就是轴对称性质的运用进行解答．也可动手折纸求解．
23．D
【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点，再连接，运用两点之间线段最短得到为所求最小值，再运用勾股定理求线段的长度即可．
【详解】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点，连接，其与BC的交点即为点E，再作交AB于点F，
∵A与关于BC对称，
∴，，当且仅当，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时，
∵正方形，点O为对角线的交点，
∴，
∵对称，
∴，
∴，
在中，，
故选：D．

【点睛】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键。
24．C
【分析】如图所示，过点F作交BC于H，连接EH，可证明四边形CDFH是平行四边形，得到CH=DF=8，CD=FH，则BH=4，从而可证四边形ABHE是平行四边形，得到AB=HE，即可推出当E、F、H三点共线时，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF，延长AE交PQ于G，过点E作ET⊥PQ于T，过点A作AL⊥PQ于L，过点D作DK⊥PQ于K，证明四边形BEGC是平行四边形，∠EGT=∠BCQ=60°，得到EG=BC=12，然后通过勾股定理和解直角三角形求出ET和TF的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点F作交BC于H，连接EH，
∵，
∴四边形CDFH是平行四边形，
∴CH=DF=8，CD=FH，
∴BH=4，
∴BH=AE=4，  
又∵，
∴四边形ABHE是平行四边形，
∴AB=HE，
∵，
∴当E、F、H三点共线时，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF，
延长AE交PQ于G，过点E作ET⊥PQ于T，过点A作AL⊥PQ于L，过点D作DK⊥PQ于K，
∵，
∴四边形BEGC是平行四边形，∠EGT=∠BCQ=60°，
∴EG=BC=12，
∴，
同理可求得，，
∴，  
∵AL⊥PQ，DK⊥PQ，
∴，
∴△ALO∽△DKO，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选C．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正确作出辅助线推出当E、F、H三点共线时，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF是解题的关键．
25．
【分析】根据轴对称可得，进而得出，根据相似三角形的性质可求出，进而求出．
【详解】解：与关于对称，
，
又，
，
，
即，
，


，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及轴对称的性质，掌握轴对称的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
26．
【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出，即可求解．
【详解】解：∵将沿折叠，点的对应点为点．点刚好落在边上，在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
27．##
【分析】勾股定理求出的长，折叠得到，根据，得到当三点在同一条直线时，取最小值，进行求解即可．
【详解】∵，
∴，
由折叠的性质可知，
∵，
∴当三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为，
故答案为 ．
【点睛】本题考查勾股定理与折叠问题．熟练掌握两点之间线段最短，得到的最小值为，是解题的关键．
28．
【分析】先分别解一元一次方程和二元一次方程组，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．
【详解】解：，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，，
∴点Q的横坐标为5，
∵，
由得，，解得：，
把代入①得，，解得：，
∴，
∴点Q的纵坐标为，
∴点Q的坐标为，
∴点Q关于y轴对称点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q的坐标是解题的关键．
29．或
【分析】分两种情况考虑：当当在下方时，当在上方时，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解．
【详解】解：由折叠的性质得：；
∵，
∴；
①当在下方时，如图，
∵，
∴，
∴；
  
②当在上方时，如图，
∵，
∴，
∴；

    
综上，的度数为或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理的应用，注意分类讨论．
30．
【分析】过点A作于点F，过点A作于点H，先根据等腰三角形的性质和折叠性质得到，，，，，设，则，则，根据正切定义得到，利用勾股定理求得，，，再证明求解即可求解．
【详解】解：如图，过点A作于点F，过点A作于点H，
  
∵，
∴，
根据折叠的性质可知，，，，，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴，，
在中，，
∴
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠性质，利用相似三角形的性质求解线段长是解答的关键．
31．或
【分析】证明，得出，分两种情况讨论，当M点在D点的右侧时，当M点在D点的左侧时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：设，交于点O，
∵将矩形纸片折叠，使点B与点M重合，折痕与，分别交于点E，F，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
又，
∴，
∴，
①当M点在D点的右侧时，如图所示，
  
∵，，
∴，
中，根据勾股定理得：
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当M点在D点的左侧时，如图所示，

∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，三角形全等的判定和性质，解题关键是数形结合，并注意分类讨论．
32．6或或
【分析】由折叠的性质可得点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，延长交的另一侧于点，则此时是直角三角形，易得点到直线的距离；当过点的直线与圆相切于点时，是直角三角形，分两种情况讨论即可求解．
【详解】解：由题意矩形沿过点的直线折叠，使点落在点处，
可知点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，
如图，延长交的另一侧于点，则此时是直角三角形，
点到直线的距离为的长度，即，
  
当过点的直线与圆相切与点E时，是直角三角形，分两种情况，
①如图，过点E作交于点H，交于点，
  
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，，，
由勾股定理可得，
∵，
∴，
∴到直线的距离，
②如图，过点作交于点N，交于点，
  
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，，，
由勾股定理可得，
∵，
∴，
∴到直线的距离，
综上，或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了矩形的折叠问题切线的应用，以及勾股定理，找到点E的运动轨迹是解题的关键．
33．
【分析】（1）根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解；
（2）结合勾股定理分析可得，当最大时，即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定的最值，从而求得的最大值．
【详解】解：由题意可得的面积等于矩形的一半，
∴的面积为，
在中，，
∴当最大时，即最大，
由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线与圆相切时，最大，此时C、N、M三点共线，如图：
  
由题意可得：，，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，分析点的运动轨迹，证明三角形全等是解决问题的关键．
34．##
【分析】根据折叠的性质得出在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P在上时，当点P在上时，当P在上时，即可求解．
【详解】解：在矩形中， ，
∴， ，
如图所示，当点P在上时，
  
∵，
．∴在A为圆心，2为半径的弧上运动，
当A，，C三点共线时，最短，
此时，
当点P在上时，如图所示，
  
此时，
当P在上时，如图所示，此时，
  
综上所述，的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
35． 8
【分析】根据题意，可固定四边形，平移或旋转其它图形，组合成四边形，求出周长，判断最小值，最大值．
【详解】  
如图1，，，

∴四边形周长=；
       
如图2，
∴四边形周长为；
故答案为：最小值为8，最大值.
【点睛】本题考查图形变换及勾股定理，通过平移、旋转组成满足要求的四边形是解题的关键．
36．
【分析】可证，从而可得，再证四边形是平行四边形，可得，即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
由折叠得：，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，


．
故答案：．
【点睛】本题考查了平行四边形判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
37．14
【分析】由平行四边形的性质推出，，得到，，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，由题意得，四边形是平行四边形，
  
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∵四边形平行四边形，
∴平行四边形纸片的周长是，
故答案为：14．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
38．##
【分析】过点作，交的延长线于点，可证得，根据勾股定理可求得的长度，进而可求得答案．
【详解】如图，过点作，交的延长线于点．

∵四边形为平行四边形，，
∴，，．
∴．
∵，
∴，．
∴，．
∵，
∴，．
根据折叠的性质可得，，
∴，．
在和中，

∴．
∴．
在中，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、勾股定理、折叠的性质、平行四边形的性质，根据题意构建辅助线是解题的关键．
39．
【分析】如图所述，过点作于，可得，求的值，若求出即可，所以根据角平分线的性质，平行线的性质可得，，由此可证，可得，根据平行线分线段成比例可得，根据题意，设，，则，，根据勾股定理，可求出，，由此即可求解．
【详解】解：如图所述，过点作于，
  
∵平分交于点，，
∴，，
∴，
∴，
∵将沿折叠得到，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
设，，则，，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴，即，解得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角函数的计算方法，掌握等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例的计算方法等知识是解题的关键．
40．
【分析】设交于O，根据直角三角形性质求出，根据等腰三角形性质得出，根据折叠得出，，求出，根据，得出，根据直角三角形性质得出，根据勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】解：设交于O，如图：

∵，是边上的中线，
∴，
∴，
由翻折的性质可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
根据勾股定理得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质，求出．
41．①②④
【分析】根据等边三角形的性质可得，根据折叠的性质可得，由此即可判断①正确；先解直角三角形可得，从而可得，然后根据平行线的判定可得，根据菱形的判定即可得②正确；先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据即可判断③错误；当最短时，则，过点作于点，连接，交于点，先利用勾股定理求出，根据折叠的性质可得，设，则，，再利用勾股定理可得，，然后根据建立方程，解一元二次方程可得的值，由此即可判断④正确．
【详解】解：是等边三角形，且，
，，
由折叠的性质得：，
，是定值，则结论①正确；
当时，则，
在中，，
，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形，则结论②正确；
如图，当点与重合时，

，
，
由折叠的性质得：，
，，
，
，则结论③错误；
当最短时，则，
如图，过点作于点，连接，交于点，

，
，
，
由折叠的性质得：，
设，则，
在中，，即，
解得，
，  
设，则，，
，
，
，
，
解得或（不符合题意，舍去），
，则结论④正确；
综上，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、解直角三角形、菱形的判定、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
42．
【分析】作点F关于的对称点，连接交于点，此时取得最小值，过点作的垂线段，交于点K，根据题意可知点落在上，设正方形的边长为，求得的边长，证明，可得，即可解答．
【详解】解：作点F关于的对称点，连接交于点，过点作的垂线段，交于点K，
  
由题意得：此时落在上，且根据对称的性质，当P点与重合时取得最小值，
设正方形的边长为a，则，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，  
，
当取得最小值时，的值是为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．
43．
【分析】作出点，作于点D，交x轴于点F，此时的最小值为的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作轴于点G，此时的最小值是的长，据此求解即可．
【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴，，
作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到，
作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形，
此时，，
∴有最小值，
作轴于点P，
    
则，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，则，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
联立，，解得，
即；
过点D作轴于点G，
  
直线与x轴的交点为，则，
∴，
∴，
∴，
即的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
44．
【分析】由将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上，可得EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，由矩形的性质得∠DFE=∠C=90°=∠DFA，从而得AF=6cm，AD=AE=9cm，进而由勾股定理既可以求解。
【详解】解：∵将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上，，四边形ABCD是矩形，
∴EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，∠DFE=∠C=90°=∠DFA，
∵AF=2EF，
∴AF=6cm，
∴AE=AF+EF=6+3=9(cm)，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=DF，，
∴∠ADE=∠DEC=∠DEF，
∴AD=AE=9cm，
∵在Rt△ADF中，AF2+DF2=AD2
∴62+DF2=92，
∴DF= (cm)，
AB=DF= (cm)，
故答案为∶．
【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理及轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
45．6
【分析】根据第一次折叠的性质求得和，由第二次折叠得到，，进而得到，易得MN是的中位线，最后由三角形的中位线求解．
【详解】解：∵已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点，
∴，．
∵第2次折叠使点落在点处，折痕交于点，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴MN是的中位线，
∴，．
∵，，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质和三角形中位线的性质，理解折叠的性质，三角形的中位线性质是解答关键．
46．
【分析】如图，设交于点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，由翻折的性质可知，再根据，可证明，可得，从而得到，再解直角三角形可得结论．
【详解】解：如图，设交于点，
∵，点是边上的中点，
∴，
∴，
由翻折的性质可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴．

故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折的性质、直角三角形斜边中线的性质、等边对等角以及解直角三角形的知识，求出是等边三角形是解答本题的关键．
47．4或
【分析】根据点为三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明，得到，证明，求出的长，过点作于点，则，设，根据勾股定理列方程求出即可．
【详解】解：当时，，
∵将矩形纸片折叠，折痕为，
∴，，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，则，
  
设，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：4或．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的判定及性质，考查了分类讨论的思想，根据勾股定理列方程求解是解题的关键．
48．2
【分析】连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根据勾股定理即可解决问题．
【详解】解：连接AP，如图所示，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE＝AB＝3，
由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，
∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，
在Rt△AFP和Rt△ADP中，
，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），
∴PF＝PD，
设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，
在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，
∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2，解得x＝2，则DP的长度为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
49．6
【分析】作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度；然后求出和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度；

∵AC是矩形的对角线，
∴AB=CD=4，∠ABC=90°，
在直角△ABC中，，，
∴，
∴，
由对称的性质，得，，
∴，
∴
∵，，
∴△BEF是等边三角形，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴的最小值为6；
故答案为：6．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P使得有最小值．
50．
【分析】由翻折知BF=BA=10，得点F在以B为圆心，10为半径的圆上运动，可知当点G、F、B三点共线时，GF最小，再勾股定理求出BG的长，即可求出GF．
【详解】解：∵正方形ABCD的边长为10，
∴∠C=90°，AB=CD=10，
∵将△ABE沿BE翻折得到△FBE，
∴BF=BA=10，
∴点F在以B为圆心，10为半径的圆上运动，
∴当点G、F、B三点共线时，GF最小，如图，

∵点G是边CD的中点，
∴CG=CD=5，
由勾股定理得，BG=，
∴GF=BG-BF=，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，确定当点G、F、B三点共线时，GF最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度．
51．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）根据轴对称的性质找到关于直线的对称点，，连接，则线段即为所求；
（2）根据平移的性质得到线段即为所求；
（3）勾股定理求得，，则证明得出，则，则点即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求；
  
（2）解：如图所示，线段即为所求；
  
（3）解：如图所示，点即为所求
  
如图所示，
  
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴
∴，
∴垂直平分．
【点睛】本题考查了轴对称作图，平移作图，勾股定理与网格问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
52．(1)证明见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质证明，，由此即可证明得到，进而推出，再由，即可证明四边形是平行四边形；
（2）由（1）的结论可得，进一步证明，再证明，即可证明．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得 ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形于折叠问题，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
53．(1)的度数为
(2)矩形，理由见详解

【分析】（1）根据点是的中点，沿所在的直线折叠，可得是等腰三角形，根据三角形的外角的性质即可求解；
（2）如图所示，连接，点是上的一点，根据矩形和折叠的性质可得四边形是平行四边形，如图所示，连接，，过点作于点，可证四边形是平行四边形，再根据折叠的性质得，由此即可求证．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点是的中点，
∴，
∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，
∴，
∴，则是等腰三角形，
∴，
∵，即，
∴，
∴的度数为．
（2）解：如图所示，连接，点是上的一点，
  
∵四边形是矩形，
∴，，即，
∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，
∴，，是的角平分线，
由（1）可知，，
∴，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，则，，
如图所示，连接，，过点作于点，
    
∵点是的中点，，
∴点是线段的中点，则，
∴在中，
，
∴，
∴，，
∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，
∴，，，
在中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，矩形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌握矩形折叠的性质，全等三角形的判定和性质，图形结合分析是解题的关键．
54．(1)四边形的面积为
(2)关于的函数表达式为

【分析】（1）如图所示，连接，延长交与点，设交于点，根据含特殊角的直角三角形的性质可求出的长度，分别可算出梯形的面积，的面积，根据即可求解；
（2）类比（1）的证明方法，根据勾股定理分别用含的式子表示的长，可求出，，根据题意可证，运用相似三角形的判定方法可得，根据，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接，延长交与点，设交于点，
  
∵菱形，
∴，，
∴为等边三角形，
∵为中点，
∴，，
∴在中，，
∵，，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴在中，，，
由翻折的性质可得，，
∴在中，，，
∵，
∴，则，
∴，
同理，在中，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
（2）解：如图所示，连接，延长交于点，
  
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴关于的函数表达式为．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，等腰直角三角形的性质，含特殊角的直角三角形的性质，不规则图形面积的计算方法，勾股定理的运用，相似三角形的判定和性质等知识的综合，理解图示，添加适当的辅助线，掌握菱形的性质，含特殊角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，不规则图形面积的计算方法，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
55．(1)30
(2)，理由见解析

【分析】（1）由正方形的性质结合折叠的性质可得出，，进而可求出，即得出；
（2）由正方形的性质结合折叠的性质可证，即得出．
【详解】（1）解：∵对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，
∴，．
∵在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，
∴．
在中，，
∴．
故答案为：．
（2）解：结论：，理由如下：
∵四边形是正方形，
，．
由折叠可得：，，
，．
又，
，
∴．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、解直角三角形、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识点．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键．
56．(1)见解析
(2)

【分析】（1）利用平行线内错角相等和翻折前后对应角相等，等量代换即可证明；
（2）利用相似列出关系式，利用边的关系代入到关系式可求出．
【详解】（1）证明：点、关于线段对称，由翻折的性质可知：
，
是正方形，
，
，
（等量代换）．
（2）解：设，则，设，则．
在中，，
，
．即．
，
，
又，
，，
．
，，
整理得：，
．
．
【点睛】本题考查了翻折的性质以及相似三角的判定，勾股定理的应用，解题的关键是掌握一线三垂直的相似是本题突破口．
57．(1)
(2)见详解
(3)见详解

【分析】（1）根据题意可进行求解；
（2）由折叠的性质可知，，然后可得，则有是等边三角形，进而问题可求证；
（3）连接，根据等腰三角形性质证明，根据平行线的性质证明，证明，得出，即可证明．
【详解】（1）解：由题意可知；
（2）证明：由折叠的性质可得：，，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：连接，如图所示：

由折叠的性质可知：，，，
∵折痕，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的一条三等分线．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定及矩形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握折叠的性质，证明，是解题的关键．
58．(1)当t＝2时，PQ⊥BC
(2)当t的值为时，四边形QPCP′为菱形

【分析】（1）根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
（2）作于，于，证明出为直角三角形，进一步得出和为等腰直角三角形，再证明四边形为矩形，利用勾股定理在、中，结合四边形为菱形，建立等式进行求解．
【详解】（1）解：（1）如图①，
  
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，
∴AB＝＝（cm），
由题意得，AP＝tcm，BQ＝tcm，
则BP＝（4﹣t）cm，
∵PQ⊥BC，
∴∠PQB＝90°，
∴∠PQB＝∠ACB，
∴PQAC，
，
，
∴＝，
∴，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，PQ⊥BC．
（2）解：作于，于，如图，
  
，，
，，
为直角三角形，
，
和为等腰直角三角形，
，，
，
四边形为矩形，
，
，
，
在中，，
在中，，
四边形为菱形，
，
，
，（舍去）．
的值为．
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查的是菱形的性质、等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
59．(1)见解析
(2)图见解析，

【分析】（1）根据轴对称的性质可得△ADC；
（2）利用平行四边形的性质即可画出图形，利用勾股定理可得DH的长．
【详解】（1）如图
（2）如图，

【点睛】本题考查了作图，轴对称变换，平行四边形的性质，勾股定理等知识，准确画出图形是解题的关键．
60．(1)
(2)

【分析】(1)先由可求得的长度，再由角度关系可得，即可求得的长;
(2)过F作于，利用勾股定理列方程，即可求出的长度，同时求出的长度，得出答案.
【详解】（1）设，则，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠可知，
∴，，
∴，
∴，
在中，.

（2）过F作FM⊥BC于M，
∴∠FME=∠FMC=90°，
设EM=a,则EC=3-a，
在中， ，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ .

【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质，通过添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．