吉林省长春市长春外国语学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题

长春外国语学校2022-2023学年第二学期期中考试高一年级

数学试卷

出题人：马竞 审题人：王先师

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条

形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．若复数z满足，则z的虚部是（    ）

A．3 B．－3 C．3i D．－3i

2．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

3．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（    ）

A．是棱台 B．是圆台

C．是棱锥 D．不是棱柱

4．正方形ABCD的边长为1，则为（    ）

A．1 B． C．3 D．

5．如图所示，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（    ）

A．6 B．8 C． D．

6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则外接圆的直径是（    ）

A． B． C． D．

7．复数z满足，则复数（    ）

A． B．

C． D．

8．中，如果，则的形状是（    ）

A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列说法正确的是（    ）

A．棱台的侧面都是等腰梯形

B．棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面

C．底面半径为r，母线长为2r的圆锥的轴截面为等边三角形

D．以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥

10．下列命题错误的是（    ）

A．在复平面内，实轴上的点都表示实数

B．，

C．若，为复数，且，则

D．若实数a，b互为相反数，则在复平面内对应的点位于第二或第四象限

11．下列说法正确的有（    ）

A．中，是的充要条件

B．在中，若，则一定为等腰三角形

C．在中，若，则

D．在中，

12．下列说法正确的是（    ）

A．若，则是锐角三角形

B．若点G为的垂心，则

C．方向为北偏西60°的向量与方向为东偏南30°的向量是共线向量

D．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有两解，则b的取值范围是

第Ⅱ卷

三、填空题（每道题5分，共20分）

13．，，且，则______．

14．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则______．

15．已知i是虚数单位，若复数z满足，则______．

16．如图，在矩形ABCD中，，，M，N是BC上的两动点，M在N的左边，且，则的最小值为______．

四、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。

17．（10分）已知向量与的夹角，且，．

（1）求，；

（2）求向量与的夹角的余弦值．

18．（12分）已知复数，．

（1）若z是纯虚数，求m的值；

（2）若z在复平面内对应的点在直线上，求m的值；

（3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．

19．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点（，．）设，．

（1）用，表示，；

（2）如果，EF，EG有什么位置关系？用向量方法证明你的结论．

20．（12分）在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，．

（1）求角B的大小；

（2）若，，求的面积．

21．（12分）已知向量，向量．

（1）当时，求的值；

（2）设函数，且，求的最大值以及对应的x的值．

22．（12分）

已知在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，

（1）求的值；

（2）求的取值范围．

长春外国语学校2022-2023学年第二学期期中考试高一年级

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．1 14． 15． 16．

四、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。

17．解：（1），．

（2）设向量与的夹角为，则．

18．解：（1）若z是纯虚数，则，∴，则m的值为1；

（2）

（3）若z在复平面内对应的点在第四象限，则，∴，则m的取值范围为．

19．解：（1），

（2），证明：由（1）得，，，

∴，∴，∴．

20．解：（1）∵中，．

∴由正弦定理可得：，∵，

∴，可得，∵，∴．

（2）∵，，，

∴，即，

∴，∵．

21．解：（1）

（2），当，

22．解：（1）中，由余弦定理得，

且的面积为，

由，得，化简得，

又，，所以，

化简得，解得，或（不合题意，舍去）

（2）由（1）可得，

所以，

由，且，，解得，

所以，所以，所以，设，其中，

所以，当且仅当时，即时取最小值，

由于，且函数在上单调递减，在上单调递增，

又，，

所以．