2022-2023学年吉林省长春市十一中高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年吉林省长春市十一中高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则的子集个数为

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】C

【详解】试题分析：由，解得，所以，所以，所以的子集个数为，故选C．

【解析】1、不等式的解法；2、集合的交集运算；3、集合的子集．

2．“或”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要

【答案】B

【分析】分别判断充分性和必要性即可求解.

【详解】解：“或”不能推出“”，不满足充分性;

反之，“”能推出“或”，满足必要性，

则“或”是“”的必要不充分条件，

故选：B

3．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】本题从存在量词的否定为全称量词出发即可得出答案.

【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，即先将量词“"改成量词“”,再将结论否定，该命题的否定是“”.

故选：B.

4．若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据不等式的基本性质可判断A，利用作差法可判断BD的正误，利用反例可判断C的正误.

【详解】解：，故，，

故，故，

故，故A成立.

对于B，因为，故，

而，故，故B错误.

对于C，取，则，故C错误.

对于D，因为，故，

故，故D错误

故选：A．

5．已知，则的最大值为（　　）

A．2 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【分析】由基本不等式求解即可

【详解】因为，

所以可得，

则，

当且仅当，即时，上式取得等号，

的最大值为2．

故选：A．

6．若函数，且，则实数的值为（    ）

A． B．或 C． D．3

【答案】B

【分析】令，配凑可得，再根据求解即可

【详解】令（或），，，，.

故选；B

7．已知集合，，若中恰好含有个整数，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】可根据题意得出∁RB＝{x|﹣4＜x≤a}，根据条件得出A∩（∁RB）＝{x|﹣4＜x＜﹣3或1＜x≤a}，从而可得出a的取值范围．

【详解】根据题意，a＞﹣4，则∁RB＝{x|﹣4＜x≤a}，

又A＝{x|x＜﹣3或x＞1}，A∩（∁RB）中恰好含有2个整数，

∴A∩（∁RB）＝{x|﹣4＜x＜﹣3或1＜x≤a}，

∴3≤a＜4．

故选：B．

【点睛】本题考查描述法的定义，以及交集、补集的运算，注意数轴法的应用及端点值问题，是易错题

8．已知函数，若存在实数，使得对于任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，得到函数存在最大值，结合分段函数的性质即可求解结论．

【详解】解：函数，若存在实数，

使得对于任意的实数都有成立，

即函数有最大值，

又因为当时，，单调递减，且，

故当时，，

且，故，

故选：．

二、多选题

9．（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】BC

【分析】根据两函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数.

【详解】在A选项中，函数与的定义域均为，

，，对应关系不同，

所以与不是同一个函数；

在B选项中，，，

对应关系与定义域均相同，所以B选项中的两个函数是同一个函数；

在C选项中，与，

对应关系与定义域均相同，故是同一个函数；

在D选项中，对于函数，

由，解得，故定义域为，

对于函数，

由，解得定义域为或，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数．

故选：BC.

10．不等式的解集是，则下列结论正确的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据二次函数图像与二次不等式关系求解即可.

【详解】解：因为不等式的解集是，

所以，且，

所以所以，，，

故AC正确，D错误．

因为二次函数的两个零点为，2，且图像开口向下，

所以当时，，故B正确．

故选：ABC．

11．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】先根据方程根的分布得到判别式和两根之积的关系式，解出等价条件，再利用真子集是其充分不必要条件即得结果.

【详解】若方程有一个正根和一个负根，

则 ，解得，

则一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件应为的真子集，故BC正确，AD错误.

故选：BC.

12．函数被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（    ）

A．函数的值域为 B．若，则

C．若，则 D．，

【答案】BD

【分析】求得函数的值域判断选项A；推理证明判断选项B；举反例否定选项C；举例证明，.判断选项D.

【详解】选项A：函数的值域为.判断错误；

选项B：若，则，，则.判断正确；

选项C：，但.判断错误；

选项D：当时，.

则，.判断正确.

故选：BD

三、填空题

13．若，则实数______．

【答案】

【分析】讨论或，解出的值，由集合的互异性即可得出答案.

【详解】当x＝-2时，，与互异性矛盾.

当时，解得x＝-1或x＝-2（舍去）．

当x＝-1时符合题意，

故答案为：.

14．已知函数的定义域，则的定义域为___________.

【答案】

【分析】先利用复合函数的定义域求出中的的范围，再结合分式的父母不为0求定义域.

【详解】因为函数的定义域为，

所以，解得，

又因为，所以，

所以或，

即的定义域为.

故答案为：.

15．已知函数在闭区间，上的值域为，，则的最大值为 __．

【答案】4

【分析】根据题意可得，且时，或，题意转化为，，且，或，要使值最大，即，可得，此时，构造函数（b），即可得出答案．

【详解】函数，

函数对称轴为，当时，.

又函数在闭区间，上的值域为，，

，

当时，即，解得或.

要使函数在闭区间，上的值域为，，则必有或，

，，且，或，

要使值最大，即，

当，此时，且，

令（b），在，上单调递减，

（b），

的最大值为4，

故答案为：4．

16．已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为______.

【答案】####

【分析】先由题意得到“，”为真命题，讨论和两种情况，即可求出结果.

【详解】命题“，”为假命题，则其否定“，”为真命题.

当时，集合，符合.

当时，因为，

所以由，，得对于任意恒成立，

又，所以.

综上，实数a的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知A={x|a<x<a2}，B={x|}，命题p：x∈A，命题q：x∈B.

（1）若1∈A，求实数a的取值范围；

（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据可得关于的不等式组，从而可求的取值范围.

（2）根据条件关系可得是的真子集，从而可得关于的不等式组，故可求实数a的取值范围.

【详解】（1）因为，所以，故.

（2）因为是的充分不必要条件，故是的真子集.

又.

当时即时，，满足是的真子集；

当或时，，因为是的真子集，

所以（无解舍去）或（等号不同时成立），故，

故.

【点睛】本题考查元素与集合的关系、充分不必要条件以及集合的包含关系，注意条件关系与集合的包含关系的对应，另外讨论含参数的集合的包含关系时，优先考虑含参数的集合为空集或全集的情形，本题属于中档题.

18．已知函数且.

(1)求；

(2)若，求实数m的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接代入求解即可；

（2）根据分段函数解方程即可.

【详解】（1）得，

，

，

；

（2）当时，由得解得；

当m＜0时，由得，无实数解，

综上所述，.

19．已知函数

(1)若不等式在R上恒成立，求实数的取值范围

(2)若在上恒成立，求实数的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）不等式变形后，由一元二次不等式恒成立，由求解．

（2）用分类讨论方法，由在上最小值不小于0可得．

【详解】（1）即为，此不等式在R上恒成立，

则，解得；

（2）在上恒成立，

若，则，，所以，

若，则，，所以，

若，则，，，

综上的取值范围是．

20．已知．

(1)求证：；

(2)利用（1）的结论，试求函数的最小值．

【答案】(1)见解析

(2)1

【分析】（1）根据结合基本不等式即可得证；

（2）利用（1）中的结论即可得出答案.

【详解】（1）证明：∵，

∴，

当且仅当，即时等号成立，

∴；

（2）解：由于，则，

可将看作（1）中的，看作（1）中的，

依据（1）的结论，则有，

当且仅当，即时，等号成立，

所以函数的最小值为1．

21．习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”.某市一乡镇响应号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）.已知这种水果的市场售价大约为10元，且供不应求.记该单株水果树获得的利润为（单位：元）.

（1）求的函数关系式；

（2）当投入的肥料费用为多少元时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）；（2）当投入的肥料费用为元时，单株水果树获得的利润最大为元.

【分析】（1）根据题意减去肥料费用再减去他成本投入即可得的函数关系式；

（2）分别利用二次函数的单调性以及基本不等式求分段函数的最值即可求解.

【详解】（1）由题意可得，

即，

所以函数的函数关系式为.

（2）当时，为开口向上的抛物线，

对称轴为，

所以当时，

当时，

，

当且仅当即时等号成立，此时，

综上所述：当投入的肥料费用为元时，单株水果树获得的利润最大为元.

22．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数．

(1)当，时，求函数的不动点；

(2)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；

(3)若的两个不动点为，，且，当时，求实数的最小值．

【答案】(1)，4为函数的不动点；

(2)

(3)6

【分析】（1）由，，得到，再利用不动点的定义求解即可；

（2）根据恒有两个不动点，转化为恒有两个不等实根，利用判别式求解即可；

（3）由题意得到，进而得到，利用基本不等式求解即可．

【详解】（1）解：当，时，，

设为不动点，因此，解得或，

所以，4为函数的不动点；

（2）解：因为恒有两个不动点，

即恒有两个不等实根，

整理为，

所以且恒成立，

即对于任意，恒成立，

令，

则，

解得；

（3）解：因为，，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以当时，实数的最小值为6．

【点睛】本题考查函数和方程的综合应用，考查学生的计算能力，属于中档题．