专题04 恒成立和存在性问题 -高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版必修第一册)

恒成立和存在性问题

1 恒成立和存在性问题

单变量的恒成立问题

①  恒成立，则；

②  恒成立，则；

③  恒成立，则；

④ 恒成立，则;

单变量的存在性问题

① 使得成立，则；

② 使得成立，则；

③ ，使得恒成立，则；

④ 使得  恒成立，则;

双变量的恒成立与存在性问题

①  使得 恒成立，则;

②  使得 恒成立，则;

③恒成立，则;

④使得 恒成立，则;

相等问题

① 使得，则两个函数的值域的交集不为空集；

②  使得，则的值域的值域

2 解题方法

  恒成立和存在性问题最终可转化为最值问题，具体的方法有

       直接最值法

       分类参数法

       变换主元法

       数形结合法

【题型一】恒成立和存在性问题的解题方法

1 直接构造函数最值法

【典题1】 设函数的最大值是，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是        .

2 分离参数法

【典题1】 已知函数关于点对称，若对任意的，恒成立，则实数k的取值范围为       .

【典题2】 已知，其中为常数 

(1)当时，求的值；

(2)当时，关于的不等式恒成立，试求的取值范围；

3 变换主元法

【典题1】对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

4 数形结合法

【典题1】已知当时，有恒成立，求的取值范围.

【题型二】 恒成立与存在性问题混合题型

【典题1】已知函数．

(1)若对任意，任意都有成立，求实数的取值范围．

(2)若对任意，总存在使得成立，求实数m的取值范围．

.

【典题2】 设，，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是　  　．

巩固练习

1(★★) 已知对一切上恒成立，则实数的取值范围是　  　．

2(★★) 若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是　   　．.

3(★★) 若不等式在内恒成立，实数的取值范围是　   　．

4(★★★) 已知函数，，若对任意，总存在使得，则实数的取值范围是　     　．

5(★★★)  已知且，函数，．

(1)求的单调区间和值域；

(2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围；

(3)若对于任意，任意，都有恒成立，求的取值范围．