福建省厦门市厦门外国语学校2023-2024学年高一上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份福建省厦门市厦门外国语学校2023-2024学年高一上学期期中数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知全集,集合,,则( )
A.B.C.D.
2、下列四组函数中,不是同一个函数的一组是( )
A.与B.与
C.与D.与
3、已知幂函数的图象过点,则函数在区间上的最小值是( )
A.-1B.-2C.-4D.-8
4、函数的图象大致是( )
A.B.
C.D.
5、已知函数的定义域为,且满足,则( )
A.B.C.D.
6、已知,,则( )
A.B.C.D.
7、,对于,,,都有成立,求a的取值范围( )
A.B.C.D.
8、若定义在R上的奇函数在上单调递减,且,则满足的x的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、下列命题正确的是( )
A.命题“,,”的否定是“,,”
B.函数且的图象恒过定点
C.函数的值域为
D.若函数的定义域为,则函数的定义域为
10、已知,且,下列结论中正确的是( )
A.xy的最大值是B.的最小值是
C.的最小值是9D.的最小值是
11、已知非零实数a,b满足,则下列不等关系中正确的是( )
A.B.若,则
C.D.若,则
12、已知函数,则下列说法正确的是( )
A.函数的图象关于点对称
B.在R上是减函数
C.的值域为
D.不等式的解集为
三、填空题
13、已知函数,若,则______________.
14、已知定义在R上的奇函数满足,当,则_______________.
15、已知不等式对于恒成立,则实数a的取值范围是________________.
四、解答题
16、已知函数,函数有四个不同零点,从小到大依次为,,,则实数a的取值范围为___________;的取值范围为________.
17、回答下列问题.
（1）比较和的大小,并证明;
（2）求值：.
18、已知,.
(1)若,求;
(2)若是的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
19、已知二次函数的图象过点,且不等式的解集为.
(1)求的解析式;
(2)若在区间上有最小值2,求实数t的值;
(3)对任意,恒成立,求实数的取值范围.
20、回答下列问题
（1）已知函数为偶函数.求a的值,并证明在上单调递增;
（2）已知函数为常数.有两个不相等实根,求实数m的取值范围,并求的值.
21、第19届亚运会2023年9月在杭州市举办,本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念,展示杭州生态之美、文化之韵,充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用,从而促进经济快速 发展,筹备期间,某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购,并决定大量投放当地市场,已知 该种设备年固定研发成本为50万元,每生产一万台需另投入80万元,设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完.当时,每万台的年销售收入（万元） 与年产量x（万台）满足关系式:;当时,每万台的年销售收入（万元）与年产量x（万台）满足关系式:.
(1)写出年利润y（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式（利润=销售收入一成本）;
(2)当年产量为多少万台时,该公司获得的年利润最大? 并求最大利润.
22、已知定义域为R,对任意x,都有.当时,,且.
(1)求的值;
(2)判断函数的单调性,并证明;
(3)若对,都有恒成立,求实数t的取值范围.
参考答案
1、答案：B
解析：因为,
所以.
故选：B.
2、答案：D
解析：根据题意可知,选项ABC中的两组函数定义域、值域、对应关系完全相同,故他们表示的是同一个函数,
而选项D中,的定义域为,而的定义域为,
显然两函数定义域不同,所以表示的不是同一个函数.
故选：D.
3、答案：D
解析：因为幂函数的图像过点,所以,得,
所以,则显然在区间上单调递增,
所以所求最小值为.
故选：D.
4、答案：D
解析：函数的定义域为,
因为,
所以为奇函数,所以的图象关于原点对称,
所以排除A,
当时,,所以排除C,
当时,,
因为和在上递增,所以在上递增,所以排除B,
故选：D.
5、答案：C
解析：因为①,
所以②,
得,
即,
所以.
故选：C.
6、答案：B
解析：由,单调递增,
则可知,即B正确.
故选：B.
7、答案：C
解析：因为定义在R上的函数满足对,,
,都有,
所以函数是R上的减函数,
则函数和均为减函数,且有,
即,解得,
因此,实数a的取值范围是.
故选：C.
8、答案：A
解析：定义在R上的奇函数在上单调递减,且,
则在上单调递减,且,,
当时,,当时,,
由可得
,或,或,
解得,或,
则满足的的取值范围是,或.
故选：A.
9、答案：ABD
解析：对于A,由全称命题的否定知：原命题的否定为,,,A正确;
对于B,,恒过定点,B正确;
对于C,令,则且,,
则当时,,的值域为,C错误;
对于D,令,解得：,的定义域为,D正确.
故选：ABD.
10、答案：BCD
解析：,且,
对于A,由,解得,当且仅当,时等号成立,
则xy的最大值为,所以A错误;
对于B,由,
当且仅当,时等号成立,所以的最小值为,所以B正确;
对于C,,
当且仅当,即时等号成立,所以的最小值是9,所以C正确;
对于D,由,
得,当且仅当,时等号成立,
则的最小值是,所以D正确.
故选：BCD.
11、答案：BCD
解析：如图,
由指数函数的图象可知,或者,所以A错误,B、C正确;
D选项中,,则有,所以D正确.
故选：BCD.
12、答案：ACD
解析：A选项,,
则,
故的图象关于点对称,A正确;
B选项,,,,故在R上不是减函数,B错误;
C选项,因为,所以,
则,故的值域为,C正确;
D选项,由A知,,故,
又,且,
则,
因为在R上单调递增,又,所以,
故,故在R上单调递增,
故,解得,D正确.
故选：ACD.
13、答案：4
解析：依题意,当时,函数单调递增,;
当时,单调递增,,
因此由,得,解得,
所以.
故答案为：4.
14、答案：-1
解析：由于函数为R上的奇函数,则,
由,得,
,
函数的周期为4,
则.
故答案为：-1.
15、答案：
解析：不等式对于恒成立,
即不等式对于恒成立,
令,则,所以不等式对于恒成立,
所以对于恒成立,
令,则,函数在上单调递减,
所以,即,
所以,即实数a的取值范围是.
故答案为：.
16、答案：,
解析：由题设,当时,,且单调递减;
当时,,且单调递增;
当,,且单调递减;
当,,且单调递增;
综上,的函数图象如下：
所以有四个不同零点,即与有四个交点,由图知：,
则,在上,,在上,
令,则,即,是的两个根,
故,
而,是,即的两个根,故,
所以.
故答案为：,
17、答案：（1）,证明见解析;
（2）3
解析：（1）依题意,
.
由,,得,当且仅当,,取等号,
所以A与B的大小关系为.
（2）原式
.
18、答案：(1)
(2)
解析：（1）由题意可得：,
当时,,
所以.
（2）由题意可知：集合B是集合A的真子集,
因为不等式等价于,则有：
当时,,满足题意;
当时,,则;
当时,,;
综上所述：实数m的取值范围.
19、答案：(1)
(2)或
(3)
解析：（1）依题意可知,,
所以1和3是一元二次方程的两根,
由根与系数关系可得,.
解得,.
所以.
（2）由（1）可得
,
当时,在上递增,
所以当时,,得;
当时,,
所以,解得;
当时,在上递减,
所以,所以,解得（舍）.
综上所述：或.
（3）对任意,
因此,原不等式等价于
令,
则,
易知在上单调递增,
所以,
可得,
因此.
20、答案：（1）,证明见解析;
（2）实数m的取值范围是,.
解析：（1）由题意函数为偶函数,
,即
对任意恒成立,则,解得,
,
任取,则
由,可得,.
,即,
在上单调递增.
（2）令,因为,所以,
令,
因为有两个不相等实根,则函数在内有两个不相等实根、,
其中,,
所以,解得,所以实数m的取值范围是.
根据根与系数的关系,可知,即,
所以,即.
21、答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：（1）由题意,当时,年收入为,
当时,年收入为,
故年利润为,
即.
（2）当时,,
由函数图象开口向下,对称轴方程为可知函数单调递增,
所以当时,,
当时,
,
当且仅当时,即时等号成立,
因为,所以当年产量为29万台时,该公司获得年利润最大为1360万元.
22、答案：(1)
(2)是R上的单调递减函数,证明见解析
(3)
解析：（1）取,
则,于是,
令,,
则,
又,则;
（2）是R上的单调递减函数.
证明：
任取m,,,
则,
由于当时,,易知,则,
故,
可得是R上的单调递减函数.
（3）不等式可化为,
也即,
令
于是,都有恒成立,
由于为R上的单减函数,则,,
都有恒成立,
即,成立,即恒成立;
令,它是关于m的一次函数,
故只需,解得.
即,
解得.