2022-2023学年福建省厦门外国语学校石狮分校高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省厦门外国语学校石狮分校高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A．30° B．45° C．120° D．135°

【答案】B

【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可.

【详解】的斜率为1，故倾斜角满足，又倾斜角大于等于0°小于180°，故倾斜角为45°.

故选：B

2．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ）

A． B． C． D．与斜交

【答案】B

【分析】根据直线的方向向量与平面法向量的位置关系判断线面位置关系.

【详解】，

，

即，

所以，

故选：B.

3．点到双曲线的一条渐近线的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.

【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，

结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.

故选：A.

4．过圆x2+y2＝5上一点M（1，﹣2）作圆的切线l，则l的方程是（　　）

A．x+2y﹣3＝0 B．x﹣2y﹣5＝0 C．2x﹣y﹣5＝0 D．2x+y﹣5＝0

【答案】B

【分析】本题先根据圆的切线的几何意义建立方程求切线的斜率，再求切线方程即可.

【详解】解：由题意：点M（1，﹣2）为切点，则，，

解得：，

∴l的方程：，整理得：，

故选：B.

【点睛】本题考查圆的切线的几何意义，点斜式直线方程，两线垂直其斜率相乘等于，是基础题.

5．如果，，那么直线不通过（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】把直线方程化为，根据，，对分类讨论即可得出．

【详解】把直线化为．

因为，，

假设，则，．所以，，

则直线不通过第二象限．

假设，则，．所以，，

则直线不通过第二象限．

故选：．

6．已知椭圆：与双曲线：的离心率之积为2，则双曲线的两条渐近线的方程分别为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由二者离心率之积为2，可得，从而得到双曲线渐近线方程.

【详解】因为椭圆：与双曲线：的离心率之积为2，

所以有，，可得，

因此双曲线的两条渐近线方程为：，

所以双曲线的两条渐近线的方程为．

故选：A．

7．已知点是抛物线上的动点，焦点为F，点，则的最小值为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【分析】由抛物线的定义转化后，当三点共线时取得最小值.

【详解】∵，则，

∴焦点，准线l方程，点在抛物线上方，

设过A作l的垂线，垂足为E，∴由抛物线的定义知，，

如图所示，

∴，当且仅当B、A、E三点共线时取等号，

当B、A、E三点共线时，，故的最小值为，

故选：C.

8．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且．若，则C的离心率的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意延长交椭圆另一交点为，由条件结合椭圆性质可知，

再通过通径的性质有即可得解.

【详解】由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，

延长交椭圆另一交点为，

由再结合椭圆的对称性，

易知，

所以，

由椭圆过焦点的弦通径最短，

所以当垂直 轴时，最短，

所以，

所以，

解得.

故选：C

二、多选题

9．已知数列，则下列说法正确的是（    ）

A．此数列的通项公式是 B．是它的第17项

C．此数列的通项公式是 D．是它的第18项

【答案】AB

【分析】先猜想出通项公式，然后确定是第几项.

【详解】依题意，，

所以，

令，

解得，所以是它的第17项.

故选：AB

10．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，现有一个水平放置的椭圆形台球盘，点是它的焦点，长轴长为4，焦距为2，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程可能是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】ACD

【分析】结合椭圆的定义以及椭圆的光学性质求得正确答案.

【详解】依题意，

当小球从A点出发，经过左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是，

当小球从点出发，经过右顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，

当小球从A点出发，经过非左右顶点的位置，反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是.

故选：ACD

11．已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是（    ）

A．若为线段中点，则 B．若，则

C．存在直线，使得 D．面积的最小值为2

【答案】AD

【分析】对于A，求出点的横坐标，再根据抛物线的定义求出，即可判断；

对于B，根据抛物线的定义求出点的横坐标，再求出，即可判断，

对于C，，则，判断是否有解，即可判断；

对于D，根据，结合基本不等式即可判断.

【详解】解：抛物线的准线为，焦点，

若为中点，所以，所以，故A正确；

若，则，所以，故B错误；

设，则，所以，，

所以，所以与不垂直，故C错误；

，

当且仅当，即时，取等号，

所以面积的最小值为2，故D正确.

故选：AD.

12．如图，正方形和矩形所在平面所成的角为60°，且，为的中点，则下列结论正确的有（    ）

A．

B．直线与所成角的余弦值是

C．直线与平面所成角的正弦值是

D．点到平面的距离是

【答案】BCD

【分析】由条件建立空间直角坐标系，利用向量方法判断的位置关系，利用空间角的向量求法判断B，C，再结合点到平面的距离的向量求法判断D.

【详解】由已知，，又，平面，

所以平面，以为坐标原点，，为轴正方向建立空间直角坐标系，

又正方形和矩形所在平面所成的角为60°，所以，，

所以，，，，

所以，，

所以，所以不垂直，A错，

，，

所以，

所以直线与所成角的余弦值是，B对，

设平面的法向量为，，

由已知，所以，取可得，，

即可取法向量为，

直线的方向向量，

所以，

所以线与平面所成角的正弦值是，C对，

因为，平面的法向量为，

设点到平面的距离为，则，D对，

故选：BCD.

三、填空题

13．已知椭圆的焦距是，则的值是____．

【答案】

【分析】根据、、的关系可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.

【详解】在椭圆中，，，

由已知可得，解得.

故答案为：.

14．设是等差数列， 且，若，则______.

【答案】20

【分析】利用等差数列的性质求出和，然后根据列方程求解即可.

【详解】因为，所以，又，所以公差，从而，解得.

故答案为：20.

15．已知圆，直线.若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为______.

【答案】

【分析】由题可知，圆的半径是2，圆上点到直线距离为1，该距离为半径的一半，则要使圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则圆心到l的距离为1，据此即可求解．

【详解】由题可知，圆的圆心为(0，0)，半径为2，

故要使圆上恰有3个点到l的距离为1，

则圆心到直线l的距离为1，

即．

故答案为：．

四、双空题

16．我们初中分别把反比例函数图象和二次函数图象称为“双曲线”和“抛物线”，事实上，它们就是圆锥曲线中的双曲线和抛物线，只是对称轴不是坐标轴，但满足基本的定义，也有相对应的焦点、准线、离心率等.已知反比例函数解析式为，其图象所表示的双曲线的焦距为______；已知二次函数解析式为，其图象所表示的抛物线焦点坐标为______.

【答案】         

【分析】结合反比例函数图象的对称轴求得焦距；根据图象变换的知识求得抛物线的焦点坐标.

【详解】的图象关于直线对称，即是双曲线的实轴，

由解得或，

设，所以，所以双曲线的实轴长为.

由于轴和轴是双曲线的渐近线，所以双曲线是等轴双曲线，

所以双曲线的虚轴长为，

所以双曲线的焦距为.

二次函数，

可看作的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到.

即，其焦点坐标为，

点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，

即抛物线的焦点坐标为.

故答案为：；

五、解答题

17．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点.

(1)求直线与直线的所成角的余弦值；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与直线的所成角的余弦值.

（2）利用向量法求得点到平面的距离.

【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，

，

设直线与直线的所成角为，

所以.

（2），

，

设平面的法向量为，

，故可设.

设到平面的距离为，

则.

18．已知数列的前项和.

(1)求的通项公式；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用求得.

（2）根据等差数列前项和公式求得正确答案.

【详解】（1）由，

令得，

当时，由得，

所以，

所以.

（2）由于是首项为，公差为的等差数列，

所以

.

19．已知圆:，点坐标为，为圆上动点，中点为.

(1)当点在圆上动时，求点的轨迹方程；

(2)过点的直线与的轨迹相交于两点，且，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）设，利用代入法求得点的轨迹方程.

（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合求得直线的方程.

【详解】（1），所以在圆外.

设，由于的中点是，所以，

所以，

整理得，

所以点的轨迹方程为.

（2）点的轨迹方程为，所以是以为圆心，半径为的圆，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

由，解得或，满足.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

由于，，，

所以圆心到直线的距离为，

即，解得，所以直线的方程为，

即.

综上所述，直线的方程为或.

20．已知双曲线C：（）的右焦点为，渐近线方程为．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)双曲线C的左支与x轴交于点A，经过点F的直线与C交于P，Q两点，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意列出方程组，求得的值，即可得出双曲线的方程．

（2）对直线PQ的斜率分类讨论：①直线PQ的斜率为0时，；②直线PQ的斜率不为0时，设直线PQ的方程为，与双曲线的方程联立化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系、数量积运算性质可得的值．

【详解】（1）由题意可知，解得

所以双曲线C的标准方程为．

（2）①直线PQ斜率为0时，．

②直线PQ斜率不为0时，设直线PQ方程为，，，

联立方程，消去x并整理得，

因为直线与C交于两点，故，此时，

所以，．

而，．

又有，，

所以．

综上可得，．

21．如图，在四棱台中，底面为矩形，平面平面，且.

（1）证明：平面；

（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）要证线面垂直，只要证垂直于平面内的两条相交直线，根据所给数据和垂直关系，即可得证；

（2）要求二面角，本题可用空间直角坐标系，连结，由（1）可知，平面，所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，求出各个面的法向量利用向量的夹角公式，即可得解.

【详解】

（1）如图，在梯形中，因为，

作于，则，所以，

所以，连结，由余弦定理可求得，

因为，所以，

因为平面平面且交于，

所以平面，

因为平面，所以，

因为，，

所以平面；

（2）连结，由（1）可知，平面，

以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

因为平面，所以在平面内的射影为，

所以与平面所成的角为，即，

在中，因为，所以，

则，，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，

则有，即，

令，则，，故，

设平面的法向量为，

则有，即，

令，则，，故，

所以，

由图可知，二面角锐二面角，

故二面角的余弦值为.

【点睛】本题考查了线面垂直的证明，考查了利用空间直角坐标系求法向量求二面角，要求逻辑思维能力和较高的计算能力，属于较难题.本题的关键点有：

（1）利用数据构造直角三角形得到垂直关系；

（2）建立适当的空间直角坐标系，利用方程求二面角的法向量是求二面角的关键.

22．已知椭圆的左右顶点为A、B，右焦点为F，C为短轴一端点，的面积为，离心率为．

(1)求椭圆的标准方程：

(2)过点F的直线交椭圆于M，N两点（异于A，B），直线AM与BN的交点为Q.

①求证：Q点在定直线上；

②求证：射线FQ平分∠MFB.

【答案】(1)

(2)①Q点在定直线上，证明见解析；②证明见解析

【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可；

（2）①设直线的方程为，，联立直线与椭圆的方程，进而表达出直线，的方程，联立可得交点横坐标，进而结合韦达定理化简即可；

②设，的倾斜角分别为，当时，计算各点坐标，结合斜率与倾斜角的关系可得，当时，设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得坐标，进而可得，再根据正切的二倍角公式证明即可.

【详解】（1）由题意，，故，解得，故椭圆的方程为.

（2）①设直线的方程为，，联立可得，故，，所以.

又直线的方程为，直线的方程为，联立可得，解得，即Q点在定直线上.

②设，的倾斜角分别为，当时，轴，此时不妨设，则直线的方程，代入可得，即，故直线的斜率为１，倾斜角，此时射线FQ平分∠MFB，同理时射线FQ平分∠MFB.

当时，设由斜率与倾斜角的关系有，，此时直线的方程，联立椭圆方程有，由韦达定理可得，即，代入可得，故直线的斜率为，即，由倾斜角的范围可得，故射线FQ平分∠MFB.