福建省漳州市某校2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

2022年高一（下）期中考试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 若在复平面内，复数所对应的点为，则的共轭复数为

A.  B.  C.  D.

2. 已知向量，，则与的夹角为

A.  B.  C.  D.

3. 在中，，，，则：

A.  B.  C.  D.

4. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近表示满意程度越高，现随机抽取位小区居民，他们的幸福感指数分别为、、、、、、、，则这组数据的第百分位数是 

A.    B.        C.        D.

5. 的面积为，角，，的对边分别为，，，若，则的值是    

 A.   B.     C.      D.

6. 镜花缘是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有大小两种，大灯下挂个小灯是小灯球，大灯下挂个小灯是大灯球，若这座楼阁的大灯共个，小灯共个，随机选取个灯球，则这个灯球是大灯球的概率为  A.                 B.                 C.                  D.
7. 已知，，均为单位向量，且满足，则的值为

A.  B.  C.  D.

8. 某同学掷骰子次，并记录每次骰子出现的点数，则可以判断出这组数据一定没有出现点数的是

A. 平均数为，中位数为   B. 中位数为，众数为

       C. 中位数，方差为   D. 平均数为，方差为

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 一个人连续射击次，则下列各事件关系中，说法正确的是

A. 事件“两次均击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件

B. 事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件

C. 事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件

D. 事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件

 10.已知​是复数​的共轭复数，下列式子中与​相等的有（ ）

A. ​  B. ​   C. ​    D. ​

11.已知是边长为的等边三角形，，分别是，上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是

A.                       B.

C.                 D. 在方向上的投影向量的模为

12.在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论中正确的是

A. 若，则一定是等腰三角形

B. 若，则

C. 若是锐角三角形，

D. 若是钝角三角形，则

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.是虚数单位，复数           ．

14.如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校在校学生人，根据统计图计算该校共捐款          元．

15.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国乒乓球队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为　　　　. 

16.如图，无人机在离地面高​的处，观测到山顶处的仰角为、山脚处的俯角为45，已知，则山的高度​为（ ）

A. ​   B. ​

C. ​   D. ​

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.(10分)设向量，，．

若向量与向量平行，求的值；

若向量与向量互相垂直，求的值．

18.（12分）在中，内角，，所对的边长分别是，，，已知，，

Ⅰ若，求；

Ⅱ若，求的面积．

19.（12分）我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年月我校进行一次化学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取名同学将其成绩百分制，均为整数分成六组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，得到部分频率分布直方图如图，观察图形中的信息，回答下列问题  求补全这个频率分布直方图，并利用组中值估计本次考试成绩的平均数；

从频率分布直方图中，估计第百分位数是多少；

(3)  已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于分时为优秀等级，若从第组和第组两组学生中，随机抽取人，求所抽取的人中至少人成绩优秀的概率．

(4)   

20.（12分）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班名学生参加测试的结果如下：从该班任意抽取名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；测试成绩为“优”的名男生记为，，，名女生记为，现从这人中任选人参加学校的某项体育比赛．写出所有等可能的基本事件；求参赛学生中恰有名女生的概率．

21.（12分）在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取了一个 容量为40 的样本，其中男生18 人，女生 22 人，其观测数据（单位:cm)如下:

（1)利用所学过的统计知识比较样本中男生、女生的身高的整齐程度；

(2)估计该中学高一年级全体学生身高的方差(精确0.1 ）．

参考数据：

18      2 1 22 2 2

 xi

i 1

29083.3 ，

x  170.5 ，

 yi

i 1

25799.4 ，

y  160.5

，

 29070.3 ，

160.52  25760.3 ，其中男生样本记为  ，女生样本记为  ．

22.（12分）重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的项点为，，设．

Ⅰ将，用含有的关系式表示出来；

Ⅱ该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计、的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？

1

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：复数所对应的点为，

则，

则，

则的共轭复数为，

故选：．

复数的运算法则和共轭复数的定义即可求出．

本题考查了复数的运算法则和共轭复数的定义，考查了运算求解能力，属于基础题．

2.【答案】

【解析】

解：根据题意，设与的夹角为，

向量，，

则，，，

则，

又由，则；

故选：．

根据题意，设与的夹角为，由、的坐标可得，，，进而由夹角公式可得的值，由的范围分析可得答案．

本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．

3.【答案】

【解析】

解：中，，，，

由余弦定理得：，可得：，即，

．

：：：．

故选：．

利用余弦定理可求得，利用正弦定理即可求解．

本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握相关定理是基础，属于基础题．

4.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查百分位数的计算方法，考查数学运算能力，属于基础题．

按照百分位数的计算方法假设即可．

【解答】

解：，其比邻整数为，

把、、、、、、、

从小到大排列为：

，，，，，，，，

第个数为，

故选：．

5.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了余弦定理、三角形面积公式以及三角函数的化简求值，要注意角的范围，属于中档题．

首先由三角形面积公式得到，再由余弦定理，结合，得出，然后通过，求出结果即可．

【解答】

解：，由余弦定理：，

由，可得：，

整理得，

，

，

，

，

，

．

故选：．  

6.【答案】

【解析】

解：设大灯下缀个小灯为个，大灯下缀个小灯有个，

根据题意可得，解得，，

则灯球的总数为个，

故这个灯球是大灯球的概率为．

故选：．

设大灯下缀个小灯为个，大灯下缀个小灯有个，根据题意列出方程组，解得，，根据概率公式计算即可．

本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，问题关键是求出两种灯球的种数，考查运算求解能力，是基础题．

7.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力，属于中档题．

设的中点为，由为等腰三角形，得，即，且，，即可求解结论．

【解答】

解：，，均为单位向量，且满足，

故A，，围成，

设的中点为，连接，，，，

因为，

，

故A，，三点共线，且，

，

故为等腰三角形，

故有，即，且，，

，

．

故选：．

8.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查数据的平均数、中位数、众数、方差，考查数学运算能力及数据分析能力，属于基础题．

对于中数据都不能判断这组数据是否出现点数；

对于，假设这组数据出现点数，又因为平均数为，以此可计算方差，可判断．

【解答】

解：对于中数据都不能判断这组数据是否出现点数，

不选ABC；

对于，假设这组数据出现点数，又因为平均数为，可计算得到方差大于，

选D．

故选：．

9.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了互斥事件与对立事件的应用问题，属于基础题．

根据互斥事件与对立事件的定义，对选项中的命题判断正误即可．

【解答】

解：对于，事件“至多一次击中”包含“一次击中”和“两次均未击中“，与事件“两次均击中”是对立事件，故A正确；

对于，事件“第一次击中”与事件“第二次击中”可以同时发生，故B不正确；

对于，事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”不能同时发生，是互斥事件，故C正确；

对于，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，故D错误．

故选：．

10.【答案】

【解析】

解：设，，，

若，则，

此时不一定成立，故A错误；

若，，则，

又因，所以，故B正确；

若，则，，

所以，

所以，故C正确；

当时，，

此时不一定成立，故D错误．

故选：．

设，，，利用复数的模的定义，复数乘法的运算法则以及复数相等，共轭复数的定义依次判断四个选项即可．

本题考查了复数的乘法运算法则的运用，复数模的定义的运用，共轭复数的定义以及复数相等的定义，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．

11.【答案】

【解析】

解：由题意可知，为的中点，则，所以，故选项A错误；

由平面向量线性运算可得，，故选项B正确；

以为坐标原点，，分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，

则，

设，，

所以，

因为，所以，解得，

故，故选项C正确；

因为，

所以在方向上的投影为，故选项D错．

故选：．

利用向量垂直的充要条件即可判断选项A，利用平面向量的线性运算求出，即可判断选项B，建立平面直角坐标系，设，，求出所需向量的坐标，利用向量的坐标运算以及模的计算公式求解，即可判断选项C，求出和的坐标，利用投影的计算公式求解即可．

本题以命题的真假判断为载体考查了平面向量的综合应用，解题的关键是建立直角坐标系，将向量问题转化为坐标问题进行求解，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．

12.【答案】

【解析】

解：对于，若，则由正弦定理得，即，

则或，即或，则为等腰三角形或直角三角形，故A错误；

对于，在中，“”，由余弦函数在是减函数，故有，

可得，即有，

则“”可以推出“”，故B正确；

对于，为锐角三角形，，则，

在上是增函数，，

同理可得，，

，故C正确；

对于，不妨设为钝角，可得，，，

因为，可得，即，

又，，

则，故D正确．

故选：．

由正弦定理和二倍角的正弦公式，可判断；由余弦函数的单调性和正弦定理可判断；由锐角三角形的定义和正弦函数的单调性，结合诱导公式可判断；由两角和的正切公式，以及不等式的性质可判断．

本题考查三角形的正弦定理和三角函数的图象和性质，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了复数模的计算，属于基础题．

由复数，再利用复数模的计算公式即可得出．

【解答】

解：复数

，

故答案为．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了统计图的应用问题，考查了统计知识的应用问题，属于基础题．

根据统计图计算出初一、初二、初三的学生数，再求出捐款数．

【解答】

解：根据统计图，得；

初一人数为，捐款数是元；

初二人数为，捐款数是元；

初三人数为，捐款数是元，

所以该校学生共捐款为元．

故答案为：12590．

15.【答案】

【解析】

解：某家庭电话在家中有人时，

打进的电话响第一声时被接的概率为，

响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，

响第四声时被接的概率为，

那么电话在响前声内被接的概率是．

故答案为：．

利用互斥事件概率加法公式能求出电话在响前声内被接的概率．

本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

16.【答案】

【解析】

【分析】

设此山高，在中，利用仰角的正切表示出，进而在中利用正弦定理求得．

本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．

【解答】

解：设此山高，则，

在中，，，，．

根据正弦定理得，

解得

故答案为：．

17.【答案】

解：，，，

向量与向量平行，

，解得．

若向量与向量互相垂直，

，

，．

【解析】

本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．

由题意利用两个向量平行的性质，求得的值．

由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得的值．

18.【答案】

解：Ⅰ法一：，

由余弦定理得，，

解得．

法二：由题意知为等边三角形，故

Ⅱ因，

所以，

所以，

所以或，

若，则，，，，

所以

若，

则，，，

综上，或．

【解析】

由已知结合余弦定理即可直接求解；

法二：由题意知为等边三角形，从而可求；

由已知结合三角形的诱导公式及和差角公式，二倍角公式进行化简，然后结合三角形面积公式可求．

本题主要考查了余弦定理，和差角公式，二倍角公式，属于中档题．

19.【答案】

解：第五组数据频率为

，

对应纵轴数值为，补全这个频率分布直方图如下：

本次考试成绩的中位数为；

第百分位数是；

第五组与第六组学生总人数为，

其中第五组有人记为、、、，第六组有人记为、、，

从中随机抽取人的情况有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、共有种，

其中至少人成绩优秀的情况有种，

所抽取的人中至少人成绩优秀的概率．

【解析】

本题考查频率分布直方图中平均数、百分位数、频数求法，考查古典概型，考查数学运算能力，属于中档题．

根据频率和为求得第五组数据对应纵轴数值，然后补全这个频率分布直方图，根据频率分布直方图中平均数计算方法计算即可；

根据频率分布直方图，及第百分位数的概念计算即可；

计算出第五组与第六组人数，进行编号，列出抽取人的所有情况，然后求得概率．

20.【答案】

解：记“测试成绩为良或中”为事件，“测试成绩为良”为事件，“测试成绩为中”为事件，事件，是互斥的．

由已知，有，．

因为当事件，之一发生时，事件发生，

所以由互斥事件的概率公式，得．

故这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为．

有个基本事件：，，，，，，，，，

记“参赛学生中恰好有名女生”为事件在上述等可能的个基本事件中，事件包含了，，，，，

故所求的概率为．

即参赛学生中恰有名女生的概率为．

21.【答案】【答案】

解：根据题意，读出的编号依次是：

超界，，，超界，，，超界，超界，超界，，超界，重复，，超界，，超界，，，，故抽取的样本编号为，，，，，，，，，．

将中有效的编号从小到大排列，得，，，，，，，，，，所以中抽取的样本编号对应的数的极差为，中位数为．

记样本中个题目成绩分别为，，，；

个题目成绩分别为，，

由题意可知，，，，

故样本平均数为，

样本方差为

．

所以估计该校名考生的选做题得分的平均数为，方差为．

解：由表可知，第组的频数为，

所以，，

第组的频率为，，

前天内每天接待的顾客人数的平均数为：

；

设前天接待的顾客人数分别为，，，，

后天接待的顾客人数分别为，，，，

则由可知，前天的平均数，方差，

后天的平均数为，方差，

故这天的平均数为，

所以

，

同理可得，

这天的方差，

由以上三个式子可得，

．

【解析】

本题考查了频率分布直方图的应用，平均数与方差的计算公式的应用，解题的关键是掌握频率分布直方图中频率的求解方法，掌握频率、频数、样本容量之间的关系，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．

利用频率与频数的关系、频率直方图纵坐标的含义、平均数的计算公式进行分析求解即可；

由平均数和方差的计算公式分析求解即可．

22.【答案】

解：Ⅰ在中，

由正弦定理可知，

则，

由正弦定理可得，

则．

Ⅱ，

，

在中，由余弦定理可知

，

，，

当时，即时，

取最大值，

，

，

即当时，取最大值．

【解析】

本题考查三角函数的图象与性质，考查正弦定理在解三角形中的应用，考查数学建模的核心素养，属于较难题．

Ⅰ在中，结合正弦定理可将，用来表示；

Ⅱ先求出，在中，由余弦定理可求出用来表示，再利用三角恒等变换结合三角函数图象求最值即可得到答案．