2022-2023学年海南省定安县定安中学高一下学期3月月考数学试题含答案

2022-2023学年海南省定安县定安中学高一下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据一元二次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.

【详解】由，而，

所以，

故选：B

2．设向量，，若，则（    ）

A．－3 B．0 C．3 D．3或－3

【答案】D

【分析】根据向量平行的坐标表示可得求解即可.

【详解】由题设，有，可得.

故选：D

3．设是两个非零向量，若命题p：，命题q：的夹角是钝角，则命题p是命题q成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】分成充分性和必要性分别判断.

【详解】若的夹角为钝角，则，成立；若，则的夹角为钝角不一定成立.如且反向，此时，，所以命题p是命题q成立的必要不充分条件，

故选：B.

【点睛】解决充要条件类问题的四种方法：

（1）定义法；（2）传递性法；（3）集合法；（4）等价命题法.

4．在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，它的面积为，则角A等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据余弦定理可得，再根据面积公式可得，从而可求出角．

【详解】解：由余弦定理得，

又根据三角形面积公式得，

∴，

又角为的内角，

∴，

故选：B．

【点睛】本题主要考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属于基础题．

5．为了得到函数的图像，可以将函数的图像上（    ）

A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位

B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位

C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位

D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位

【答案】B

【分析】由函数图像的伸缩变换和平移变化规律求解.

【详解】由可知，函数的图像每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图像，再向右平移个单位，得函数的图像.

故选：B

6．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小.

【详解】由对数函数的图像与性质可得

，

，

，

所以，

故选：A.

7．已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，则β＝(　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用和平方关系得到，再利用两角差的余弦公式和平方关系得到关于的方程组，进而求出角.

【详解】由，可得cosαcosβ＋sinαsinβ＝，因为cosα＝，0＜β＜α＜，

所以.即，即2cosβ＋8sinβ＝13，

又根据sin2β＋cos2β＝1，解得sinβ＝，∴β＝，故选C.

【点睛】本题主要考查两角差的余弦公式、同角三角函数基本关系式，意在考查学生的基本运算能力，属于中档题．解决本题的较好方法是研究已知角和所求角的关系，即；具体解法如下:

因为，所以，因为，

所以，又，所以，则，又，所以.

8．在中，已知点在线段上，点是的中点，，，，则的最小值为（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】C

【解析】利用三点共线可得，由，利用基本不等式即可求解.

【详解】由点是的中点，

则，

又因为点在线段上，则，

所以，

当且仅当，时取等号，

故选：C

【点睛】本题考查了基本不等式求最值、平面向量共线的推论，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

二、多选题

9．下列说法错误的为（    ）

A．共线的两个单位向量相等

B．若，，则.

C．若，则一定有直线

D．若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上

【答案】ABCD

【分析】根据共线向量、单位向量、零向量的相关性质判断各项的正误.

【详解】A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故错误；

B：，不一定有，故错误；

C：直线与可能重合，故错误；

D：若与平行，则A，B，C，D四点不共线，故错误.

故选：ABCD

10．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．的面积为

【答案】BC

【分析】由题设得，应用正弦定理及边角关系确定不为钝角，进而确定，应用余弦定理求及，最后由面积公式求的面积，即可判断各项正误.

【详解】由题设，则，即，故，

所以不为钝角，否则、都为钝角，则，

又，即，

整理得，故，

，且为三角形内角，则，

综上，的面积，

故A、D错误，B、C正确.

故选：BC

11．古代典籍《周易》中的“八卦”思想在我国建筑中有一定影响．如图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若是正八边形的中心，且，则（    ）

A．与能构成一组基底 B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】连接BG，CF，由正八边形的性质可知，，，可判断选项A；从而可得，可判断选项B；连结AC交OB于点M，可判断选项C；先判断出，结合向量的加法和数量积的运算性质可判断选项D .

【详解】连接，，由正八边形的性质可知，，，

所以，所以与是共线向量，所以与不能构成一组基底，A项错误；

又，所以，所以，B项正确；

由上过程可知，连结交于点，

在直角三角形中，为的中点，

则，

又，

所以，C项正确；

又正八边形的每一个内角为：，

延长，，相交于点，则，

所以，故，

所以，D项正确.

故选：BCD.

12．函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ）

A．

B．该函数的解析式为

C．是该函数图象的一个对称中心

D．该函数的减区间是

【答案】ABD

【分析】根据图象求得，结合三角函数的对称性、单调性求得正确答案.

【详解】由图可知，，

则，当时，，

由于，所以，

所以，所以AB选项正确.

由于，所以C选项错误.

由解得，

所以函数的减区间是，

所以D选项正确.

故选：ABD

三、填空题

13．已知夹角为的非零向量满足，，则          .

【答案】2

【分析】由得，化简代入结合数量积的定义即可得出答案.

【详解】因为的夹角为，且，

而，则，

所以，

则，解得：.

故答案为：2.

14．在中，，，，则最大角的余弦值为      .

【答案】/

【分析】先判断最大角，然后由余弦定理计算可得.

【详解】因为，所以中角A最大，

由余弦定理可得.

故答案为：

15．已知为单位向量，且=0，若 ，则           .

【答案】.

【分析】根据结合向量夹角公式求出，进一步求出结果.

【详解】因为，，

所以，

，所以，

所以 ．

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．

16．如图放置的边长为2的正方形ABCD顶点A，D分别在轴，轴正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是            ．

【答案】8

【分析】设、，易得、、，利用向量数量积的坐标表示有，即可确定最大值.

【详解】设，，则，

所以，，

于是.

当且仅当时，等号成立.

故答案为：．

四、解答题

17．已知向量，，，．

(1)求；

(2)若，求实数的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据平面向量的线性运算的坐标表示即可求得结果；（2）由即可得到.

【详解】（1）；

（2）由可得，，

又，则，解得.

18．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角A的大小；

（2）若，，求边c的大小．

【答案】（1）；（2）

【详解】试题分析:（1）根据正弦定理将边角关系统一为角的关系，再根据三角形内角和关系以及两角和正弦公式可得，即得角A的大小（2）由余弦定理得c的一元二次方程，解得边c

试题解析：(1)因为，所以

即，又因为

所以，所以，又因为，所以．

(2) 因为，即

所以，解得．

19．已知，，.

（1）求的最小正周期；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值.

【答案】（1）；（2）最大值为3，最小值为0.

【分析】（1）由向量的数量积运算，再利用二倍角的正弦公式和余弦公式以及辅助角公式，化简得，再根据正弦型函数的最小正周期，即可求出结果；

（2）由可得，结合正弦型函数的图象与性质，即可求出函数在区间上的最大值和最小值.

【详解】解：（1），，

由

，

的最小正周期；

（2）由可得：

当时，函数取得最小值为，

当时，函数取得最大值为，

故得函数在区间上的最大值为3，最小值为0.

20．为测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得，，，同时测得海里．

(1)求AD的长度；

(2)求C，D之间的距离．

【答案】(1)海里

(2)海里

【分析】（1）在△ABD中，利用正弦定理即可得出答案；

（2）在△ABC中，利用余弦定理求得，在△ADC中，再利用余弦定理即可得出答案.

【详解】（1）解：由题意得：在△ABD中，，，

故，

由正弦定理，即，

所以，

所以AD的长度为海里；

（2）解：在△ABC中，，，

所以，故，

由余弦定理可得，，

在△ADC中，，，

由余弦定理可得，

所以C，D之间的距离为海里．

21．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点.

(1)试用向量，表示向量，；

(2)若，求的值.

【答案】(1)，；

(2)

【分析】（1）由即可求出；设，，由向量的线性运算分别得到，，解出，即可求得；

（2）利用（1）中结论结合数量积运算律求得，进而得到，即可求解.

【详解】（1），

设，，则，

又,

所以，解得，所以；

（2），

则，所以，所以，所以.

22．1.在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，．

(1)求角A的大小；

(2)求 .

在①△ABC面积的最大值；②△ABC周长的最大值；③△ABC的内切圆的半径最大值. 中任选一个做为问题（2），并给出问题的解答．

【答案】(1)

(2)选①，答案为：；选②，答案为：；选③，答案为：.

【分析】（1）先用正弦定理，再用余弦定理可求；（2）选①②时，均可利用基本不等式进行求解，选③时，利用三角形面积的两种求解方法，求得内切圆半径关于三角形三边长的关系式，利用选②时求得的结论进行求解

【详解】（1）因为，由正弦定理得：，化简得：，所以

∵

∴

（2）选①△ABC面积的最大值；

∵，

∴

整理得：

由基本不等式得：，当且仅当时等号成立.

即，解得：

所以，即△ABC面积的最大值为

选②△ABC周长的最大值；

∵，

∴

整理得：，即

由由基本不等式得：，当且仅当时等号成立.

所以

解得：，又因为，则

所以△ABC周长的最大值为

选③△ABC的内切圆的半径最大值；

设△ABC的内切圆半径为r，则

则

令，且

所以（当且仅当时取“=”）

所以△ABC的内切圆的半径最大值为