2022-2023学年辽宁省朝阳市建平县实验中学高一下学期3月月考数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省朝阳市建平县实验中学高一下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是

A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差

C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数

【答案】B

【详解】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.

点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平；

中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平；

平均数：反映一组数据的平均水平；

方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．

标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度．

2．已知与满足，若的中位数为6，则的中位数为（    ）

A．6 B．12 C．15 D．24

【答案】C

【分析】由于中，与 成正比，记 为的中位数，则中对应的中位数为.； 从而求出的中位数.

【详解】解：记 为的中位数，为中对应的中位数

因为，，

所以为

故选C.

3．为研究病毒的变异情况，某实验室成功分离出贝塔毒株、德尔塔毒株、奥密克戎毒株共130株，其数量之比为7:2:4，现采用按比例分配的分层抽样的方法从中抽取一个容量为26的样本，则奥密克戎毒株应抽取（    ）株

A．4 B．6 C．8 D．14

【答案】C

【分析】根据分层抽样的性质运算求解.

【详解】由题意可得：奥密克戎毒株应抽取株.

故选：C.

4．飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由对立事件概率公式和独立事件的概率公式计算．

【详解】记甲是通过飞沫传播被感染为事件，乙是通过飞沫传播被感染为事件，

，

甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为：

．

故选：D．

5．在中，D为AC的中点，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据得到，再根据可求出结果.

【详解】因为，所以，所以，

.

故选：D

6．已知定义在上的函数在上是增函数，若是奇函数，且，则不等式的解集是．

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据是奇函数，确定函数图象的对称中心为，再根据函数在上是增函数，确定函数在上为增函数，由以及函数的对称性，得出.画出函数图象的草图，结合图象确定不等式的解集.

【详解】是奇函数.

函数图象的对称中心为．

函数图象的对称中心为且．

又函数在上是增函数.

函数在上为增函数.

.

由对称性，．

画出函数图象的草图（如图）．

结合图象可得的解集是．

故选C．

【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性及其简单应用，发展了学生的直观想象的核心素养，属于中档题.

7．某保险公司为客户定制了A，B，C，D，E共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：

用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（    ）．

A．57周岁以上参保人数最少

B．18～30周岁人群参保总费用最少

C．C险种更受参保人青睐

D．31周岁以上的人群约占参保人群80％

【答案】B

【分析】根据扇形图、散点图、频率图对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，57周岁以上参保人数所占比例是，是最少的，A选项正确.

B选项，“18～30周岁人群参保平均费用”比“57周岁以上人群参保平均费用”的一半还多，

而18～30周岁人群参保人数所占比例是57周岁以上参保人数所占比例的两倍，

所以57周岁以上参保人群参保总费用最少，B选项错误.

C选项，C险种参保比例，是最多的，所以C选项正确.

D选项，31周岁以上的人群约占参保人群，D选项正确.

故选：B

8．如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】要使系统正常工作，则A、B要都正常或者C正常，D必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.

【详解】记零件或系统能正常工作的概率为，

该系统正常工作的概率为:

,

故选：C.

二、多选题

9．[多选]向量，则下列说法正确的是（　　）

A． B．向量方向相反

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据向量的数乘运算，即可得到答案；

【详解】因为 ，

所以，故D正确；

由向量共线定理知，A正确；

－3<0，与方向相反，故B正确；

由上可知，故C错误．

故选：ABD

10．以下对各事件发生的概率判断正确的是(    )

A．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中取出一个球是红球的概率是

B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为

C．将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6)先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是

D．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是

【答案】ABC

【分析】根据古典概型概率计算方法可直接判断A；利用列举法可判断BC，利用列举法或画树状图，可判断D.

【详解】对于A，袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中取出一个球是红球的概率是，故A正确；

对于B，不超过14的素数有共6个，从这6个素数中任取2个有如下组合：

，，，共15种结果，

其中和等于14的只有一组，

∴在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为，故B正确；

对于C，基本事件总共有(种)情况，其中点数之和是6的有，共5种情况，则所求概率是，故C正确；

对于D，画树形图如下：

从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，

(乙获胜)，故玩一局甲不输的概率是，故D错误；

故选：ABC.

11．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A，“第二枚反面朝上”为事件，“两枚硬币朝上的面相同”为事件，则 （    ）

A． B．事件A与事件互斥

C．事件与事件对立 D．事件A与事件相互独立

【答案】AD

【分析】对A：根据古典概型的计算公式分析运算；对B：根据互斥事件的概念分析判断；对C：根据对立事件的概念分析判断；对D：根据独立事件的概念分析判断.

【详解】对A：由题意可知：一枚硬币有两个等可能结果：正面朝上、反面朝上，

则，

两枚硬币有两个等可能结果：正正、正反、反正、反反，

则，A正确；

对B：事件A与事件可以同时发生，即事件A与事件不是互斥，B错误；

对C：事件对立事件包含两种情况：正反、反正，事件仅有一种情况：正反，

故事件与事件不对立，C错误；

对D：∵，故事件A与相互独立，D正确.

故选：AD.

12．若有样本容量为的样本平均数为，方差为，现样本中又加入一新数据为，现样本容量为，则增加数据后关于样本平均数和方差下列正确的是（    ）

A．平均数为 B．平均数为 C．方差为 D．方差为

【答案】AC

【分析】由样本平均数及方差公式进行计算即可.

【详解】设样本容量为时的数据为，，，，样本平均数为，方差为，则

，∴，

，

∴，

设增加的数据为，增加数据后的样本平均数为，方差为，

则，

，

∴增加数据后的样本平均数为，方差为.

故选：AC.

三、填空题

13．设，是非零向量，则是成立的        条件．

【答案】必要不充分

【分析】正向推导分同向时，反向时讨论，反向推导时利用向量共线定理即可得到.

【详解】，是非零向量

当同向时，，

当反向时，，

故前者无法推出后者，

若 ，即，则，

故后者可以推出前者，

故是成立的必要不充分条件，

故答案为：必要不充分.

14．福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02， ，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字作为所选球的编号，则选出来的第2个红色球的编号为          .

【答案】32

【分析】由题意，结合随机数表读取的方法，即可得到结果.

【详解】依题意，选出来的第1个红色球的编号为，

选出来的第2个红色球的编号为.

故答案为：.

15．将一组正数，，，…，的平均数和方差分别记为与，若，，则      ．

【答案】

【分析】列出方差公式，代入数据，即可求解.

【详解】由题意得，

，

代入数据得，，

解得.

故答案为：

16．将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为b和c，则函数图象与x轴无公共点的概率是      ．

【答案】

【分析】求出投掷骰子两次的所有结果，再求出函数图象与x轴无公共点的事件所含结果数，即可计算作答.

【详解】一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，不同结果有：

，

，

，共36个，

函数图象与x轴无公共点，即，解得，

则点有，共7个，

所以函数图象与x轴无公共点的概率.

故答案为：

四、解答题

17．（1）化简；

（2）若，，，求证：A，B，D三点共线.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用减法法则化简即可；（2）计算出，利用平面向量共线的基本定理可证得，由此可证得结论成立.

【详解】（1）=；

（2）证明：，，

则，

故共线，又有公共点，所以三点共线.

18．在一只袋子中装有2个红玻璃球和3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．

(1)求取得两个同颜色的玻璃球的概率；

(2)求至少取得一个绿玻璃球的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用互斥事件的概率求解；

（2）利用对立事件的概率求解.

【详解】（1）解：设“取得两个红玻璃球”为事件A，“取得两个绿玻璃球”为事件B，

则，，

又，即事件A，B互斥，

∴取得两个同颜色的玻璃球的概率为．

（2）设至少取得一个绿玻璃球的的对立事件为事件C，

∴其概率为．

19．当前疫情防控形势依然复杂严峻，为进一步增强学生的防控意识，某校让全体学生充分了解疫情的防护知识，提高防护能力，做到科学防护，组织学生进行了疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成五组依次为，，，，，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中的值；

(2)试估计这100人的问答成绩的众数和平均数；

(3)采用按比例分配的分层抽样的方法，从问答成绩在内的学生中随机抽取13人作为疫情防控知识宣讲使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取2人作为组长，求这2人来自不同组的概率.

【答案】(1)

(2)75，73.5

(3)

【分析】（1）直接利用频率和为1计算得到答案.

（2）直接利用众数的定义及平均数的公式计算即可.

（3）利用列举法求古典概型的概率即可.

【详解】（1）依题意可得：，解得：；

（2）根据频率分布直方图知：众数的估计值为，

平均数的估计值为，

所以这100人的问答成绩的众数与平均数的估计值分别为75，73.5..

（3）由题可知，在问答成绩，，三组中，人数之比为7:5:1，

现采用分层抽样从中抽取13人，所以三组中每组各抽学生人数分别为7，5，1.

分别记中所抽取的5人编号依次为1，2，3，4，5.

中所抽取的1人编号为.

所以从6人中随机抽取2人的样本空间为：，，

，共15个样本点.

其中这2人来自不同组（记为事件）的样本点有5个，所以.

所以这2人来自不同组的概率为.

20．甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），如果，算甲赢，否则算乙赢．

(1)求的概率；

(2)这种游戏规则公平吗？请说明理由．

【答案】(1)

(2)这种游戏规则不公平，理由详见解析

【分析】(1)列出摸球结果（a，b）全部可能的结果，再找出满足的结果，最后根据古典概型的概率计算公式可得；

(2) 设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件，再分别计算和，就可判断.

【详解】（1）摸球结果（a，b）全部可能的结果是（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25种，

其中的结果为（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4种，故由古典概型的概率计算公式可得；

（2）这种游戏规则不公平，理由如下：

设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件，

由题意事件A包含的基本事件（1，5），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4），（3，5），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共15个，

由古典概型的概率计算公式可得，∴，

∵，故这种游戏规则不公平．

21．某次考试共有四个环节，只有通过前一个环节才能进入后一个环节．现已知某人能够通过第一、二、三、四环节的概率依次是，，，，且每个环节是否通过互不影响．求：

(1)此人进入第四环节才被淘汰的概率；

(2)此人至多进入第三环节的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式直接求解；

（2）利用独立事件的概率乘法公式分别求得此人进入第一环节、第二环节、第三环节被淘汰的概率，从而得出答案．

【详解】（1）由独立事件的概率乘法公式可得，此人进入第四环节才被淘汰的概率；

（2）此人进入第一环节被淘汰的概率；

此人进入第二环节被淘汰的概率；

此人进入第三环节被淘汰的概率，

此人至多进入第三环节的概率为．

22．已知.

(1)求函数的表达式；

(2)判断函数的单调性；

(3)若对恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)在上单调递增

(3)

【分析】（1）设，得，代入已知式后，再把换成即得；

（2）由单调性的定义证明；

（3）设，，由（2）知，原不等式可化为在恒成立，求出左边的最小值即得．

【详解】（1）设，，可得，

，即.

（2）任取且，

则，

∵，∴，，

∴，∴，

∴在上单调递增．

（3）由对恒成立，

即对恒成立，

可得，

则，

，

.

设，，由（2）知，

故原不等式可化为在上恒成立，

又，所以当时，，∴，

∴的取值范围是．

【点睛】方法点睛：解决函数不等式恒成立问题的方法一般是转化为求函数的最值，一种方法是直接求函数最值，然后求解最值满足的不等式得参数范围，另一种方法是分离参数，转化为求没有参数的函数的最值，从而得参数范围．