2022-2023学年海南省农垦中学高一下学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年海南省农垦中学高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知全集，，，则如图所示的阴影部分表示的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分析韦恩图可知，其阴影部分所表示的集合为，再利用集合的交并补运算即可得解.

【详解】分析韦恩图可知，其阴影部分所表示的集合为，

因为，，所以，

因为，所以.

故选：D.

2．与终边相同的最小正角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将表示为，即可得答案.

【详解】因为,,

故与终边相同的最小正角是，

故选：C

3．在平行四边形中，为上任一点，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据相反向量的意义及向量加法的三角形法则，化简可得答案．

【详解】

故选：．

4．已知角的终边过点，且，则（    ）

A．40° B．50° C．220° D．310°

【答案】D

【分析】利用三角函数的定义和诱导公式即可.

【详解】；

角的终边过点；

且；

故选：D

5．若A，B，C是三个互不相同的点，则“”是“A，B，C三点共线”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分、必要条件、向量共线、三点共线的知识确定正确答案.

【详解】因为A，B，C是三个互不相同的点，

所以均不为零向量，

若，则A，B，C三点共线，反之亦成立，

故“”是“A，B，C三点共线”的充要条件．

故选：C

6．已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞,0]上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据条件，可得函数是偶函数，且在区间上是增函数，然后将问题转化为含绝对值的一次不等式来求解即可.

【详解】函数的图象关于y轴对称，为偶函数，，

∴不等式可变为，

偶函数在区间上单调递减，

在区间上单调递增，

∴，解得.

故选：B.

7．（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角差的正弦公式求得正确答案.

【详解】

.

故选：A

8．已知函数与直线交于两点，且线段长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好关于原点对称，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】确定函数的最小正周期，可求得，根据图像的平移变换可得平移后函数的解析式，结合函数的对称性可求出，依据，即可求得答案.

【详解】由题意知，函数的最小正周期,则,得,

所以，将函数的图象向左平移个单位长度，

得到的图象，

因为该图象关于原点对称，则 ，所以

当时，，，不合题意，当时，，

又，所以当时，取，当时，，不合题意，

故最大值为，

故选：C

二、多选题

9．已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（    ）

A．函数为奇函数

B．函数在定义域内为减函数

C．若，则

D．若，则

【答案】AC

【分析】将点代入函数得到，利用函数奇偶性的定义可判断A，举反例可判断BD，利用作差法可判断D.

【详解】因为图象经过点，

所以，即，则，

对于A，易得的定义域为，关于原点对称，

又，所以为奇函数，故A正确；

对于B，，函数不是减函数，故B错误；

对于C，因为，

所以，即，故C正确.

对于D，，故D错误；

故选：AC.

10．若向量满足，则（    ）

A． B．与的夹角为

C． D．在上的投影向量为

【答案】BC

【分析】由模与数量积的关系求得，再根据数量积的性质确定与的夹角，判断向量垂直，求解投影向量即可得结论.

【详解】因为，所以，

则，故A不正确；

又，，所以，即与的夹角为，故B正确；

又，所以，故C正确；

又在上的投影向量为，故D不正确.

故选：BC.

11．已知x，y均为正实数，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】由基本不等式判断各选项．

【详解】A选项：，所以，当且仅当，即，时取等号，故A错误；

B选项：，由A知，则，故B正确；

C选项：，当且仅当，即，时取等号，故C正确；

D选项：由，得，即，当且仅当，即，时取等号，故D错误.

故选：BC．

12．一半径为4米的摩天轮如图所示，摩天轮圆心O距离地面6米，已知摩天轮按逆时针方向旋转，每分钟转动2．5圈，现在最低点的位置坐上摩天轮（图中点）开始计时，以与底面的交点为坐标原点，所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设点P距离地面的高度h（米）与时间t（秒）的函数关系为，其中，，则下列选项正确的是（    ）

A．OP旋转的角速度

B．摩天轮最低点离地面的高度为2米

C．点P距离地面的高度h（米）与时间t（秒）的函数关系为

D．点P第二次到达最高点需要的时间32秒

【答案】ABC

【分析】对选项A，根据角速度公式求解即可判断A正确.

对选项B，根据题意得到摩天轮最低点离地面的高度为（米），即可判断B正确.

对选项C，根据题意得到，再将代入即可判断C正确.

对选项D，根据点第二次到达最高的需要的时间是秒，即可判断D错误.

【详解】对于选项A，由题意可得，每分钟转动圈，

旋转的角速度（弧度/秒），故选项A正确；

对于选项B，因为摩天轮的半径为，

所以摩天轮最低点离地面的高度为（米），故选项B正确；

对于选项C，由题可知，

所以.

把代入中，则．又，所以，

所以，故选项C正确；

对于选项D，，求得，

所以（秒），根据摩天轮转一周需要（秒），

故点第二次到达最高的需要的时间是秒，故选项D错误，

故选：ABC．

三、填空题

13．________．

【答案】

【分析】由两角和的正切公式求解即可.

【详解】解：.

故答案为：

14．已知向量，，则_________．

【答案】

【分析】求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值.

【详解】因为，，则，因此，.

故答案为：.

15．已知在上的最大值为，则实数的最大值为__________.

【答案】/

【分析】由，得，再根据余弦函数的性质列出不等式，即可得解.

【详解】由，得，

因为在上的最大值为，

所以，解得，

所以实数的最大值为.

故答案为：.

16．高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值域为______.

【答案】

【分析】先把函数分离常数，然后求分离常数后的取值范围，最后根据取值范围求解.

【详解】

又，

当时，所以的值域里有

当时，所以的值域里有

当时，所以的值域里有

所以的值域为

故答案为：

四、解答题

17．如图，在菱形中，.

(1)若，求的值；

(2)若，，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可知，即可求解；

（2），从而即可求解.

【详解】（1）因为在菱形中，.

故，

故，所以.

（2）显然，

所以

①，

因为菱形，且，，

故，.

所以.

故①式.

故.

18．已知，为锐角，，.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据同角的三角函数关系式，结合正弦二倍角公式进行求解即可；

（2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可.

【详解】（1）因为为锐角，，所以，

则；

（2）由于，为锐角，则，

又，所以

.

19．已知函数.

(1)利用“五点法”完成下面表格，并画出在区间上的图象；

(2)解不等式.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）根据表格中数据直接计算可完成表格，由此可作出函数的图象；

（2）结合函数图象解三角不等式，即得答案.

【详解】（1）由题意，列表如下：

画出在区间上的图象如图：

（2）不等式，即，所以，

所以，即，

故的解集为.

20．已知函数．

(1)当时，解关于的不等式；

(2)求实数的取值范围，使得在区间上是单调函数．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）带入数据得到，解不等式得到答案.

（2）函数对称轴为，根据单调性得到或，解得答案.

【详解】（1），，，即，，

解得，即

（2），函数对称轴为，

在区间上是单调函数，则或，解得或.

即.

21．在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记．

(1)写出矩形的面积S与角的函数关系式；

(2)求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积．

【答案】(1)，

(2)当时，矩形的面积最大，最大值为

【分析】（1）首先得出，再用的三角函数分别表示出和，则，再根据二倍角公式，降幂公式和辅助角公式化简即可；

（2）由，得出，根据正弦函数的图像，得出时，面积最大，即可得出最大面积．

【详解】（1）由题可知，，

在中，

，

，

，

在中，

，

，

，．

（2），

，

当，即时，

，

故当时，矩形的面积最大，最大值为．

22．若函数满足：对于任意正数s、t，都有，则称函数为“L函数”.

(1)试判断函数是否是“L函数”；

(2)若函数为L函数”，求实数a的取值范围.

【答案】(1)是“L函数”

(2)

【分析】（1）根据题意结合作差法分析判断；

（2）根据题意可得对一切正数s，t恒成立，结合指数函数分析运算.

【详解】（1）对于，当时，，

因为，

所以，所以是“L函数”.

（2）当时，由是“L函数”，

得对一切正数t恒成立，

因为，则，可得，所以对一切正数t恒成立，

又因为，则，解得；

由，得

，

所以，因为，所以，

由对一切正数s，t恒成立，，所以，即；

综上可知：实数a的取值范围为.