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重庆实验外国语学校2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷（含答案）
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这是一份重庆实验外国语学校2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷（含答案），共41页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年重庆实验外国语学校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的（满分40分，120分钟完成）四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x≤2 C．x＜2且x≠﹣1 D．x≤2且x≠﹣1
3．（4分）若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8
4．（4分）进入7月以来，某大型商场前三周的营业收入持续上涨，若7月第1周营业收入为1.3亿元，设平均每周的增长率为x，则可列方程为（ ）
A．1.3（1+x）＝2
B．1.3（1+x）2＝2
C．1.3（1+2x）＝2
D．1.3+1.3（1+x）+1.3（1+x）2＝2
5．（4分）一次函数y＝ax﹣b（ab≠0）和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DFE是以点O为位似中心的位似图形，若△AOB的面积为6，则△DOF的面积为（ ）
A．3 B．2 C． D．
7．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点F是AE的中点，连接OF，AB＝1，则FO的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．（4分）某天，墩墩和容融在同一直线道路上同起点出发，分别以不同的速度匀速行走3600米．当墩墩领先容融1000米时，当容融追上墩墩的瞬间，墩墩立即又以原来的速度继续走向终点，墩墩和容融之间的距离y（米）与它们出发时间x（分钟），下列说法正确的是（ ）
A．容融的速度为60米/分钟
B．墩墩休息了23分钟
C．第80分钟时，墩墩到达终点
D．领先者到达终点时，两者相距200米
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在函数，∠ACB＝90°，边CB在y轴上，连接DC并延长交x轴于点E，连接BE，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
10．（4分）对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数（b+c）﹣（﹣d﹣e），其中称a为“数1”，b为“数2”，﹣d为“数4”，﹣e为“数5”，则称这个过程为“换位思考”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位思考”（b+c）﹣（﹣d+a）；又如对“数2”和“数3”进行“换位思考”，得到：a﹣（c+b）﹣（﹣d﹣e）
①代数式（a﹣b）+（c﹣d）﹣e进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果；
②代数式a﹣（b+c﹣d﹣e）进行一次“换位思考”，化简后可以得到5种结果；
③代数式a+[b﹣（c﹣d﹣e）]进行一次“换位思考”，化简后可以得到6种结果；
④代数式a+[b+c﹣（d﹣e）]进行一次“换位思考”，化简后可以得到8种结果（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．（4分）计算：＝ ．
12．（4分）现有三张正面分别标有数字1，2，5的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，从中随机抽取一张，将卡片上的数字记为m，将卡片上的数字记为n，则满足m•n为偶数的概率为 ．
13．（4分）已知m，n是方程x2﹣2x﹣7＝0的两个实数根，则代数式m2n﹣2mn+7m+2023的值为 ．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点B在第二象限，过点B作BA⊥x轴于点A，反比例函数，连接EF，若F为OB的中点，则k的值为 ．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数，点M是线段AB的中点，连接OM，则线段MN＝ ．
16．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，将△ABC沿AB向下翻折得到△ABC'，点D为BC′上一点，若∠ECB＝∠ABC，BD＝4，则△ACE的面积为 ．
17．（4分）若关于x的一元一次不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
18．（4分）对于一个各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数p，将它各个数位上的数字分别乘以3后再取其个位数，得到三个新的数字，当（xy﹣xz）的值最小时，称此时的，并规定K（p）＝（|y﹣z|+x）2．例如：p＝157时，其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：3、5、1，重新组合后的数为351、315、531、513、135、153（3×1﹣3×5）的值最小，所以315是157的“魅力数”（p）＝（|5﹣1|+3）2＝49，则K（248）＝ ，若s、t都是各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数，且s＝100a+21，t＝120b+a（1≤a≤9，1≤b≤4，a、b均为整数）若（s+t）能被5整除，（s﹣t）能被11整除（t）的最大值为 ．
三、解答题：（本大题共8个小题，19小题8分，其余每小题8分，共78分）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）x（x+6）＝8（x+3）．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，连接BE，请完成下面的作图和填空．
（1）用尺规完成以下基本作图：以点C为顶点，在BC的右边作∠BCF＝∠EBD，射线CF交AD的延长线于点F，FC．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证：四边形BECF是菱形．
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴ ，
∴BE＝CE．
在△BED和△CFD中，，
∴△BED≌△CFD，
∴BE＝CF．
∵∠EBD＝∠BCF，
∴ ，
∴四边形BECF是平行四边形．
∵ ，∴四边形BECF是菱形．
21．（10分）为提高学生面对突发事故的应急救护能力，某校组织了一场关于防自然灾害的知识讲座，并在讲座后进行了满分为100分的“防自然灾害知识测评”，学校在七、八年级中分别随机抽取了50名学生的分数进行整理分析，已知分数x均为整数，B，C，D，E五个等级，分别是：
A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，E：0≤x＜60．
并给出了部分信息：
【一】七年级D等级的学生人数占七年级抽取人数的20%；
八年级C等级中最低的10个分数分别为：70，70，72，73，73，74，75
【二】两个年级学生防自然灾害知识测评分数统计图：
【三】两个年级学生防自然灾害知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：
平均数
中位数
众数
七年级
76
75
73
八年级
76
a
69
（1）直接写出a，m的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对防自然灾害知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）；
（3）若分数不低于80分表示该生对防自然灾害知识掌握较好，且该校七年级有1800人，八年级有1700人，对防自然灾害知识掌握较好的学生人数．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点E，连接BE
（1）若，求AB的长度；
（2）若∠C＝30°，求sin∠BEA．
23．（10分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，AD＝6，动点P以每秒，从点A出发，沿折线A→O→D方向运动，设运动时间为x（0＜x＜6），动点Q是射线CD上一点，且1，△OCQ的面积为y2．
（1）请直接写出y1，y2与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中，画出y1和y2的函数图象，并写出函数y1的一条性质： ；
（3）结合函数图象，估计当y1＝y2时x的近似值．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
24．（10分）长白山之巅的天池是松花江、图们江、鸭绿江三江之源，夏融池水湛蓝：所以每年的七月和八月都会吸引大量游客前往观看．今年7月份，北坡游客接待中心平均每天每小时接待人数比西坡游客接待中心平均每天每小时接待人数多50%
（1）求7月份这两个游客接待中心平均每天每小时分别接待游客各多少人；
（2）因为8月份用天较多，游客减少，北坡游客接待中心平均每天每小时接待的人数比7月少16m人，在m个小时内，这两个接待中心共接待1248名游客
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，直线OC：y＝﹣2x与直线AB交于点C，已知OA＝2
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图1，点P为直线OC上一动点且位于点C的左侧，M、Q为y轴上两个动点，且MQ＝2，当S△PCB＝6时，求PQ+QM+MA最小值；
（3）如图2，将△AOB沿着射线CO方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，已知动点H在直线AB上，在平面直角坐标系中是否存在点N，若存在，请直接写出点N的横坐标，请说明理由．
26．（10分）在正方形ABCD中，E、F分别为AD边上的两点，连接BF、CE并延长交于点Q，H为CQ上一点，连接BH、DH．
（1）如图1，若H为CE的中点，且4DE＝AB，求线段BC的长；
（2）如图2，过点H作HP∥BC，且HB＝HP，刚好交CH的中点G，当∠QFE+∠QBH＝90°时DQ＝2CQ；
（3）如图3，在（1）的条件下，点M为线段AD上一动点，作BN⊥CM于点N，将△BCN沿BC翻折得到△BCN′，且BC＝4CS，N′C＝3N′R，连接CO，请直接写出△BCO面积的最大值．
2023-2024学年重庆实验外国语学校九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的（满分40分，120分钟完成）四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、C、B不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x≤2 C．x＜2且x≠﹣1 D．x≤2且x≠﹣1
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：2﹣x＞0，
解得：x＜8，
故选：A．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
3．（4分）若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8
【分析】首先将化简得，然后根据36＜40＜49得6＜＜7，进而可估算出的值即可得出答案．
【解答】解：∵
＝
＝
＝
∵36＜40＜49，
∴8＜＜7，
∴5＜﹣6＜6，
∴在5和6之间．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的估算，二次根式的化简，解答此题的关键是将化简得，并估算出6＜＜7．
4．（4分）进入7月以来，某大型商场前三周的营业收入持续上涨，若7月第1周营业收入为1.3亿元，设平均每周的增长率为x，则可列方程为（ ）
A．1.3（1+x）＝2
B．1.3（1+x）2＝2
C．1.3（1+2x）＝2
D．1.3+1.3（1+x）+1.3（1+x）2＝2
【分析】设平均每周的增长率为x，利用7月第3周的营业收入＝7月第1周营业收入×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设平均每周的增长率为x，
依题意得：1.3（4+x）2＝2，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程．
5．（4分）一次函数y＝ax﹣b（ab≠0）和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数图象的性质，和反比例函数图象的性质逐一判断即可．
【解答】解：A．由一次函数图象得a＞0，所以ab＞0、三象限；
B．由一次函数图象得a＞4，所以ab＜0、四象限；
C．由一次函数图象得a＞0，所以ab＞8，故C错误；
D．由一次函数图象得a＜0，所以ab＞0，故D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象的性质和反比例函数图象的性质，掌握函数关系式中a、b的取值与函数图象的位置关系是解题的关键．
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DFE是以点O为位似中心的位似图形，若△AOB的面积为6，则△DOF的面积为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【分析】根据位似变换的概念得到DF∥AB，得到△DOF∽△AOB，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC与△DFE是以点O为位似中心的位似图形，
∴DF∥AB，
∴△DOF∽△AOB，
∵OA＝2OD，
∴＝，
∴＝（）4，即＝，
∴△DOF的面积为，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点F是AE的中点，连接OF，AB＝1，则FO的长度为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由矩形的性质得∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝90°，OA＝OC＝OD，由∠BDC+∠ADB＝90°，且∠BDC＝2∠ADB，求得∠ADB＝30°，则∠ODC＝60°，所以△OCD是等边三角形，而CD＝AB＝1，则OA＝OC＝CD＝1，所以AC＝2，由勾股定理得BC＝＝，由AE平分∠BAD交BC边于点E，得∠BAE＝∠DAE＝45°，则∠BEA＝∠BAE＝45°，所以BE＝AB＝1，则EC＝﹣1，由三角形的中位线定理得FO＝EC＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，
∴∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝90°，OA＝OC＝，OB＝OD＝，且AC＝BD，
∴OA＝OC＝OD，
∵∠BDC+∠ADB＝90°，且∠BDC＝2∠ADB，
∴2∠ADB+∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝30°，
∴∠ODC＝∠ADC﹣∠ADB＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∵CD＝AB＝1，
∴OA＝OC＝CD＝1，
∴AC＝5OC＝2，
∴BC＝＝＝，
∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝45°，
∴∠BEA＝∠BAE＝45°，
∴BE＝AB＝1，
∴EC＝BC﹣BE＝﹣1，
∵点F是AE的中点，点O是AC的中点，
∴FO＝EC＝，
故选：D．
【点评】此题重点考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，证明△OCD是等边三角形是解题的关键．
8．（4分）某天，墩墩和容融在同一直线道路上同起点出发，分别以不同的速度匀速行走3600米．当墩墩领先容融1000米时，当容融追上墩墩的瞬间，墩墩立即又以原来的速度继续走向终点，墩墩和容融之间的距离y（米）与它们出发时间x（分钟），下列说法正确的是（ ）
A．容融的速度为60米/分钟
B．墩墩休息了23分钟
C．第80分钟时，墩墩到达终点
D．领先者到达终点时，两者相距200米
【分析】根据题意和图象中的数据，可以计算出各个选项中的结果是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：由图象可得，
容融的速度为：3600÷90＝40（米/分钟），故选项A错误；
墩墩休息了：1000÷40＝25（分钟），故选项B错误；
墩墩的速度为：40+1000÷50＝60（米/分钟），
50+25+（3600﹣60×50）÷60＝85（分钟），
即第85分钟时，墩墩到达终点，不符合题意；
（90﹣85）×40＝200（米），
即领先者到达终点时，两者相距200米，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在函数，∠ACB＝90°，边CB在y轴上，连接DC并延长交x轴于点E，连接BE，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【分析】先根据题意证明△COE∽△CCA，根据相似比及面积公式得出CO×AC的值即为|k|的值，再由函数所在的象限确定k的值．
【解答】解：∵CD为Rt△ABC的斜边AB上的中线，
∴BD＝DC，∠DCB＝∠ABC，
又∠DCB＝∠ECO，
∴∠ECO＝∠ABC，
又∠COE＝∠BCA＝90°，
∴△COE∽△BCA，
∴＝，即BC×OE＝CO×AC．
又∵S△BEC＝3，
∴BC•EO＝3，
即BC×OE＝6＝CO×AC＝|k|．
∵反比例函数图象在第一象限，k＞4．
∴k＝6．
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义．反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
10．（4分）对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数（b+c）﹣（﹣d﹣e），其中称a为“数1”，b为“数2”，﹣d为“数4”，﹣e为“数5”，则称这个过程为“换位思考”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位思考”（b+c）﹣（﹣d+a）；又如对“数2”和“数3”进行“换位思考”，得到：a﹣（c+b）﹣（﹣d﹣e）
①代数式（a﹣b）+（c﹣d）﹣e进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果；
②代数式a﹣（b+c﹣d﹣e）进行一次“换位思考”，化简后可以得到5种结果；
③代数式a+[b﹣（c﹣d﹣e）]进行一次“换位思考”，化简后可以得到6种结果；
④代数式a+[b+c﹣（d﹣e）]进行一次“换位思考”，化简后可以得到8种结果（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意，分别讨论每种“换为思考”的运算结果，再求解即可．
【解答】解：①（a﹣b）+（c﹣d）﹣e中括号前都是加号，所以无论怎么换位，
∴化简后是1种，故符合题意；
②当a、b“换位思考”，
当a、c“换位思考”，
当a、e“换位思考”，
当a、d“换位思考”，
当b、c“换位思考”，
当b、d“换位思考”，
当b、e“换位思考”，
当c、d“换位思考”，
当c、e“换位思考”，
当d、e“换位思考”，
∴化简后可以得到5种结果；故符合题意；
③当a、b“换位思考”，
当a、c“换位思考”，
当a、e“换位思考”，
当a、d“换位思考”，
当b、c“换位思考”，
当b、d“换位思考”，
当b、e“换位思考”，
当c、d“换位思考”，
当c、e“换位思考”，
当d、e“换位思考”，
∴化简后可以得到3种结果；故符合题意；
④当a、b“换位思考”，
当a、c“换位思考”，
当a、e“换位思考”，
当a、d“换位思考”，
当b、c“换位思考”，
当b、d“换位思考”，
当b、e“换位思考”，
当c、d“换位思考”，
当c、e“换位思考”，
当d、e“换位思考”，
∴化简后可以得到8种结果；故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则，弄清定义，准确计算是解题的关键．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．（4分）计算：＝ ﹣5+ ．
【分析】利用有理数的乘方法则，负整数指数幂的意义和绝对值的意义化简运算即可．
【解答】解：原式＝﹣1+（﹣2）﹣（5﹣）
＝﹣1﹣2﹣2+
＝﹣5+．
【点评】本题主要考查了实数的运算，有理数的乘方法则，负整数指数幂的意义和绝对值的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
12．（4分）现有三张正面分别标有数字1，2，5的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，从中随机抽取一张，将卡片上的数字记为m，将卡片上的数字记为n，则满足m•n为偶数的概率为 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
1
2
7
1
1
6
5
2
2
4
10
5
2
10
25
由表知，共有9种等可能结果，
∴满足m•n为偶数的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及概率公式，画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（4分）已知m，n是方程x2﹣2x﹣7＝0的两个实数根，则代数式m2n﹣2mn+7m+2023的值为 2037 ．
【分析】先根据根与系数的关系得mn＝﹣7，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣6＝0的两个实数根，
∴mn＝﹣7，
∴m2n﹣2mn+7m+2023
＝mn•m﹣3mn+7m+2023
＝﹣7m﹣2mn+7m+2023
＝﹣2mn+2023
＝﹣5×（﹣7）+2023
＝2037．
故答案为：2037．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点B在第二象限，过点B作BA⊥x轴于点A，反比例函数，连接EF，若F为OB的中点，则k的值为 ﹣8 ．
【分析】根据反比例函数k值的几何意义，利用面积比等于相似比的平方，设S△OFM＝S△OEA＝S，可得S+S＝10，求出k值即可．
【解答】解：作FM⊥x轴于点M，连接OE，
∵BA⊥x轴于点A，
∴AB∥FM，
∴△OFM∽△OAB，
∵F为OB的中点，
∴＝，
设S△OFM＝S，根据反比例函数k值的几何意义，
∴S△OAB＝2S，
∵S△OBE＝S△OAB﹣S△OAE＝4S﹣S＝3S，
∴S△OFE＝S，
∴S+S＝10，
解得S＝4．
∴‖k‖＝2S＝5，
∵反比例函数在第二象限，
∴k＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，反比例函数图象上点的纵横坐标之积等于k．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数，点M是线段AB的中点，连接OM，则线段MN＝ ．
【分析】根据题意，可以先求出点A和点B的坐标，然后即可求得点M的坐标，再根据勾股定理即可得到OM的长，再根据锐角三角函数即可求得MN的长．
【解答】解：∵一次函数，
∴当x＝0时，y＝8，x＝6；
∴点A的坐标为（6，0），8），
∵点M是线段AB的中点，
∴点M的坐标为（3，4），
∴OM＝＝5，
∵MN⊥OM，
∴tan∠OMN＝＝，
即＝，
解得MN＝，
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、锐角三角函数值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，将△ABC沿AB向下翻折得到△ABC'，点D为BC′上一点，若∠ECB＝∠ABC，BD＝4，则△ACE的面积为 6 ．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠ABC＝40°，根据三角形的内角和定理得到∠ACB＝100°，根据折叠的性质得到AC＝AC′，BC＝BC′，根据菱形的性质得到AC∥BC′，求得∠BDC＝∠ACD＝60°，过B作BF⊥CD于F，得到BF＝BD＝2，过C作CH⊥AB于H，根据全等三角形的性质得到CH＝BF＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵AC＝BC，∠ABC＝40°，
∴∠CAB＝∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝100°，
∵将△ABC沿AB向下翻折得到△ABC'，
∴AC＝AC′，BC＝BC′，
∵AC＝BC，
∴四边形ACBC′是菱形，
∴AC∥BC′，
∵∠ECB＝∠ABC＝40°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝60°，
∴∠BDC＝∠ACD＝60°，
过B作BF⊥CD于F，
∵BD＝4，
∴BF＝BD＝2，
过C作CH⊥AB于H，
∴∠CHB＝∠BFC＝90°，
∵∠BCF＝∠HBC，BC＝CB，
∴△BHC≌△CFB（AAS），
∴CH＝BF＝8，
∵AE＝6，
∴S△AEC＝AE•CH＝＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
17．（4分）若关于x的一元一次不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程，则所有满足条件的整数a的值之和为 8 ．
【分析】不等式组整理后，根据至少有4个整数解，确定出a的范围，再由分式方程解为非负数，确定出满足题意整数a的值，求出之和即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
解得：a﹣8≤x≤2，
∵不等式组至少有4个整数解，即﹣8，0，1，2，
∴a﹣5≤﹣1，
解得：a≤4，
分式方程去分母得：2a﹣4y＝3y﹣2﹣y﹣1，
解得：y＝，
∵分式方程解为非负数，
∴≥8且，
解得：a≥﹣且a≠2，
∴a的范围是﹣≤a≤3且a≠1，
则整数解为﹣1，7，2，3，6，之和为8．
故答案为：8．
【点评】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
18．（4分）对于一个各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数p，将它各个数位上的数字分别乘以3后再取其个位数，得到三个新的数字，当（xy﹣xz）的值最小时，称此时的，并规定K（p）＝（|y﹣z|+x）2．例如：p＝157时，其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：3、5、1，重新组合后的数为351、315、531、513、135、153（3×1﹣3×5）的值最小，所以315是157的“魅力数”（p）＝（|5﹣1|+3）2＝49，则K（248）＝ 64 ，若s、t都是各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数，且s＝100a+21，t＝120b+a（1≤a≤9，1≤b≤4，a、b均为整数）若（s+t）能被5整除，（s﹣t）能被11整除（t）的最大值为 121 ．
【分析】利用“魅力数”的定义求出248的“魅力数”，再利用K（p）＝（|y﹣z|+x）2，计算K（248）即可；利用整数的整除的性质和数位上的数字的特征求得a，b值，求得t值，利用“魅力数”的定义求出t的“魅力数”，再利用K（p）＝（|y﹣z|+x）2，分别计算K（t）即可得出结论．
【解答】解：当p＝248时，
其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：6、5、4，
重新组合后的数为：624，642，462，264，
∵（4×5﹣4×6）的值最小，
∴426是248的“魅力数”，
此时K（248）＝（|8﹣2|+4）8＝64．
∵s＝100a+21，t＝120b+a，
∴s+t＝101a+21+120b，
∵（s+t）能被5整除，
∴101a+21也能被5整除，
∵2≤a≤9，a为整数，
∴a＝4或3．
∵s＝100a+21，t＝120b+a，
∴s﹣t＝99a+21﹣120b，
∵（s﹣t）能被11整除，
∴21﹣120b也能被11整除，
∵1≤b≤4，b为整数，
∴b＝2．
∴t＝124或129．
当p＝124时，
其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：3、8、2，
重新组合后的数为：623，632，362，263，
∵（3×4﹣3×6）的值最小，
∴326是124“魅力数”，
此时K（124）＝（|7﹣2|+3）6＝49．
当p＝129时，
其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：6、7、7，
重新组合后的数为：627，672，762，267，
∵（6×7﹣7×6）的值最小，
∴627是129的“魅力数”，
此时K（129）＝（|7﹣2|+6）8＝121．
综上，则K（t）的最大值为121．
故答案为：64；121．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，有理数的混合运算，有理数的整除性，本题是阅读型题目，准确理解题目中概念与公式并熟练应用是解题的关键．
三、解答题：（本大题共8个小题，19小题8分，其余每小题8分，共78分）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）x（x+6）＝8（x+3）．
【分析】（1）根据分式的混合运算法则可以解答本题；
（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．．
【解答】解：（1）（x﹣1﹣）÷
＝•
＝•
＝﹣x﹣6；
（2）整理，得：x2﹣2x﹣24＝4，
（x+4）（x﹣6）＝7，
∴x+4＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝6．
【点评】本题考查分式的混合运算，解一元二次方程﹣配方法，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，连接BE，请完成下面的作图和填空．
（1）用尺规完成以下基本作图：以点C为顶点，在BC的右边作∠BCF＝∠EBD，射线CF交AD的延长线于点F，FC．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证：四边形BECF是菱形．
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴ BD＝CD ，
∴BE＝CE．
在△BED和△CFD中，， ∠BDE＝∠CDF
∴△BED≌△CFD，
∴BE＝CF．
∵∠EBD＝∠BCF，
∴ BE∥CF ，
∴四边形BECF是平行四边形．
∵ BE＝CE ，∴四边形BECF是菱形．
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）先根据等腰三角形三线合一的性质得出BD＝CD，然后根据线段垂直平分线的性质得出BE＝CE，然后利用ASA证明△BED≌△CFD，从而可以证明BE∥CF，最后根据菱形判定证明即可．
【解答】（1）解：如图，
∠BCF即为所求；
（2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴BE＝CE，
在BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD，
∴BE＝CF，
∵∠EBD＝∠BCF，
∴BE∥CF，
∴四边形BECF是平行四边形，
∵BE＝CE，
∴四边形BECF是菱形．
故答案为：BD＝CD；∠BDE＝∠CDF；BE＝CE．
【点评】本题考查了尺规作图，菱形的判定等知识，掌握基本作图方法，菱形的判定等知识是解题的关键．
21．（10分）为提高学生面对突发事故的应急救护能力，某校组织了一场关于防自然灾害的知识讲座，并在讲座后进行了满分为100分的“防自然灾害知识测评”，学校在七、八年级中分别随机抽取了50名学生的分数进行整理分析，已知分数x均为整数，B，C，D，E五个等级，分别是：
A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，E：0≤x＜60．
并给出了部分信息：
【一】七年级D等级的学生人数占七年级抽取人数的20%；
八年级C等级中最低的10个分数分别为：70，70，72，73，73，74，75
【二】两个年级学生防自然灾害知识测评分数统计图：
【三】两个年级学生防自然灾害知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：
平均数
中位数
众数
七年级
76
75
73
八年级
76
a
69
（1）直接写出a，m的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对防自然灾害知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）；
（3）若分数不低于80分表示该生对防自然灾害知识掌握较好，且该校七年级有1800人，八年级有1700人，对防自然灾害知识掌握较好的学生人数．
【分析】（1）根据题意和统计图中的数据、表格中的数据可以分别得到a、m的值，根据七年级D等级的学生人数占七年级抽取人数的20%求出七年级D等级的学生人数，再求出E等级的学生人数，即可补全条形统计图；
（2）根据表格中的数据，由中位数的定义写出即可；
（3）分别求出该校七、八年级不低于80分的人数，再相加即可求解．
【解答】解：（1）由题干数据可知a＝（73+73）÷2＝73，
（1﹣32%﹣32%﹣2%）÷2＝16%，
∴m＝16，
七年级D等级的学生人数为：50×20%＝10（人），E等级的学生人数为：50﹣10﹣12﹣16﹣10＝2（人），
补全条形统计图如图：
答：a＝74，m＝16；
（2）七年级年级的学生对近视防控知识掌握较好．理由如下：
虽然七、八年级的平均数，但是七年级的中位数比八年级的高；
（3）1800×+1700×7×16%
＝792+544
＝1336（人）．
答：估计该校七、八年级所有学生中．
【点评】本题考查用样本估计总体、统计图、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点E，连接BE
（1）若，求AB的长度；
（2）若∠C＝30°，求sin∠BEA．
【分析】（1）根据三角形的中位线的性质及勾股定理求解；
（2）根据勾股定理及三角函数的意义求解．
【解答】解：过B作BF⊥AC于F，过D作DH⊥BF，
∴∠BFC＝∠ABC＝90°，DH∥AC，
∴DE∥BF，
∵点D为BC的中点，
∴E平分CF，H平分BF，
∵DE⊥AC于点E，
∴△CDE∽△DBH（AAS），四边形DEHF为矩形，
∴BH＝DE＝FH＝2，
∴BF＝4；
（1）∵，
∴CE＝4，
∴EF＝BF＝8，
∴∠BEF＝∠EBF＝45°，
∴∠EAB＝∠ABF＝45°，
∴AB＝4；
（2）∵∠C＝30°，
∴CD＝8，CE＝2，
∴DH＝CE＝EF＝7，
∴BE＝＝＝2，
∴sin∠BEA＝＝＝．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的意义、勾股定理及三角形的中位线的性质是解题的关键．
23．（10分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，AD＝6，动点P以每秒，从点A出发，沿折线A→O→D方向运动，设运动时间为x（0＜x＜6），动点Q是射线CD上一点，且1，△OCQ的面积为y2．
（1）请直接写出y1，y2与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中，画出y1和y2的函数图象，并写出函数y1的一条性质： 当0＜x≤3时，y随x的增大而减小，当3＜x＜6时，y随x的增大而减小 ；
（3）结合函数图象，估计当y1＝y2时x的近似值．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
【分析】（1）由题可知点P分两部分从A到O和从O到D，分别过点P向AD作垂线，过点Q向BD作垂线，分别表示出y1，y2进而作答．
（2）y1是分段函数，根据分段函数的性质作答．
（3）结合图象，两个函数相等时，求出x即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴AO＝OD＝AD＝2×，
过点P向AD作垂线交AD于点H，
过点Q向BD作垂线交BD于点E，
△APH与△DQE是等腰直角三角形，①当P在AO运动时，
动点P以每秒个单位的速度，
∴AP＝x，
∴PH＝•AP＝×，
∴y1＝S△APD＝AD•PH＝，
②当点P在OD上运动时．如图2，
∴PH＝•PD＝﹣x），
∴y1＝S△APD＝AD•PH＝（2﹣，
∵3＜x＜6，
∴y1＝，
∵，点O到CD的距离为4，
∴y2＝S△COQ＝••CQ＝＝，
∴y4＝（0＜x＜6）．
（2）图象如图，
函数y3是分段函数，
∴当0＜x≤3时，y随x的增大而减小＜x＜6时，
故答案为：当8＜x≤3时，y随x的增大而减小＜x＜6时．
（3）结合函数图象，
当x＝2时，函数交于一点，
即y5＝y2．
【点评】本题考查正方形的综合题，解题的关键作辅助线，熟练掌握正方形对角线和等腰直角三角形等相关性质．
24．（10分）长白山之巅的天池是松花江、图们江、鸭绿江三江之源，夏融池水湛蓝：所以每年的七月和八月都会吸引大量游客前往观看．今年7月份，北坡游客接待中心平均每天每小时接待人数比西坡游客接待中心平均每天每小时接待人数多50%
（1）求7月份这两个游客接待中心平均每天每小时分别接待游客各多少人；
（2）因为8月份用天较多，游客减少，北坡游客接待中心平均每天每小时接待的人数比7月少16m人，在m个小时内，这两个接待中心共接待1248名游客
【分析】（1）设7月份北坡游客接待中心平均每天每小时接待游客x人，西坡游客接待中心平均每天每小时接待游客y人，根据“今年7月份，北坡游客接待中心平均每天每小时接待人数比西坡游客接待中心平均每天每小时接待人数多50%，两游客接待中心平均每天每小时接待游客共500人”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据“在m个小时内，这两个接待中心共接待1248名游客”，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设7月份北坡游客接待中心平均每天每小时接待游客x人，西坡游客接待中心平均每天每小时接待游客y人，
根据题意得：，
解得：．
答：5月份北坡游客接待中心平均每天每小时接待游客300人，西坡游客接待中心平均每天每小时接待游客200人；
（2）根据题意得：（300﹣16m）m+200×（1﹣18%）m＝1248，
整理得：m2﹣29m+78＝8，
解得：m1＝3，m8＝26，
当m＝3时，300﹣16m＝300﹣16×3＝252＞4；
当m＝26时，300﹣16m＝300﹣16×26＝﹣116＜0，舍去．
答：m的值为3．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，直线OC：y＝﹣2x与直线AB交于点C，已知OA＝2
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图1，点P为直线OC上一动点且位于点C的左侧，M、Q为y轴上两个动点，且MQ＝2，当S△PCB＝6时，求PQ+QM+MA最小值；
（3）如图2，将△AOB沿着射线CO方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，已知动点H在直线AB上，在平面直角坐标系中是否存在点N，若存在，请直接写出点N的横坐标，请说明理由．
【分析】（1）根据题意求出A、B点坐标，再用待定系数法求直线AB的解析式即可；
（2）过P点作PG⊥y轴交于G点，则S△PCB＝S△POG﹣S△PBG﹣S△OCB＝6，能求出P（﹣4，8），作A点关于y轴的对称点H，过Q点作QK∥MH，过H点作HK∥QM，QK与KH交于K点，连接PK，则AM+QM+PQ＝QK+PQ+QM≥PK+QM，求出K（2，2），得到PK＝6，则PQ+QM+MA最小值为2+6；
（3）设△AOB沿x轴正方向平移m个单位长度，则沿y轴负方向平移2m个单位长度，平移后直线DF的解析式为y＝2x+4﹣4m，当DF经过原点时，m＝1，可得D（﹣2，﹣2），E（1，﹣2），F（1，2），设H（n，2n+4），N（x，y），分三种情况讨论：当HN为菱形对角线时，HD＝HF；当HD为菱形对角线时，HF＝DF；当HF为菱形对角线时，HD＝DF；利用对角线互相平分和两点间距离公式列出方程组，求出x的值即可求解．
【解答】解：（1）∵OA＝2，
∴A（﹣2，3），
∵OB＝2OA，
∴OB＝4，
∴B（5，4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x+4；
（2）过P点作PG⊥y轴交于G点，
当﹣3x＝2x+4时，x＝﹣4，
∴C（﹣1，2），
设P（t，﹣4t），
当x＝0时，y＝4，
∴B（3，4），
∴S△PCB＝S△POG﹣S△PBG﹣S△OCB＝×（﹣t）×（﹣2t）﹣×（﹣t）×（﹣7t﹣4）＝6，
解得t＝﹣3，
∴P（﹣4，8），
作A点关于y轴的对称点H，过Q点作QK∥MH，QK与KH交于K点，
∴AM＝MH，四边形QMHK是平行四边形，
∴QK＝MH，KH＝QM，
∴AM+QM+PQ＝QK+PQ+QM≥PK+QM，
∵A（﹣4，0），
∴M（2，2），
∵KH⊥x轴，QM＝2，
∴K（2，7），
∴PK＝6，
∴PQ+QM+MA最小值为4+6；
（3）存在点N，使得以H、N、D，理由如下：
设△AOB沿x轴正方向平移m个单位长度，则沿y轴负方向平移8m个单位长度，
∴D（﹣2+m，﹣2m），﹣4m），4﹣2m），
∵直线AB沿直线OC方向平移，
∴平移后直线DF的解析式为y＝7x+4﹣4m，
当DF经过原点时，2﹣4m＝0，
解得m＝2，
∴D（﹣1，﹣2），5），
设H（n，2n+4），y），
当HN为菱形对角线时，HD＝HF，
∴，
解得x＝，
∴N点横坐标为；
当HD为菱形对角线时，HF＝DF，
∴，
解得x＝或x＝，
∴N点横坐标或；
当HF为菱形对角线时，HD＝DF，
∴，
解得x＝﹣1或x＝5，
∴N点横坐标为﹣1或3；
综上所述：N点横坐标为或或或﹣1或7．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．
26．（10分）在正方形ABCD中，E、F分别为AD边上的两点，连接BF、CE并延长交于点Q，H为CQ上一点，连接BH、DH．
（1）如图1，若H为CE的中点，且4DE＝AB，求线段BC的长；
（2）如图2，过点H作HP∥BC，且HB＝HP，刚好交CH的中点G，当∠QFE+∠QBH＝90°时DQ＝2CQ；
（3）如图3，在（1）的条件下，点M为线段AD上一动点，作BN⊥CM于点N，将△BCN沿BC翻折得到△BCN′，且BC＝4CS，N′C＝3N′R，连接CO，请直接写出△BCO面积的最大值．
【分析】（1）设DE＝a，则CD＝AD＝4a，在Rt△CDE中，由勾股定理得，CE2+DE2＝CE2，从而（4a）2+a2＝（2）2，求得a的值，进一步得出结果；
（2）作DR⊥CQ于R，可证得△PHG≌△BCG，从而PH＝BC，BP＝2BG＝2PG，进而可证得△BHQ是等腰直角三角形，可证得△BCG≌△CDR，从而CG＝DE，CE＝BG，进而证得△DQR是等腰直角三角形，进一步得出结论；
（3）作ST∥CN′，交BR于T，作OX⊥BC于X，作N′V⊥BC于V，可证得△BST∽△BCN′，△SOT∽△NOR，OX∥OV，从而，△SXO∽△SVN′，进而得出，，从而得出当VN′最大时，OX最大，△BOC的面积最大，根据∠BN′C＝∠BNC＝90°，从而得出N′在以BC为直径的圆上运动，进一步得出结果．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，BC＝CD＝AD，
∵H是CE的中点，
∴CE＝2DH＝2，
设DE＝a，则CD＝AD＝2a，
由勾股定理得，
CE2+DE2＝CE2，
∴（4a）2+a4＝（2）2，
∴a＝2，a＝﹣2（舍去），
∴BC＝4a＝6；
（2）证明：如图1，
作DR⊥CQ于R，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠A＝90°，BC＝CD，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，
∵∠QFE＝∠AFB，
∴∠ABE+∠QFE＝90°，
∵∠QFE+∠QBH＝90°，
∴∠QBH＝∠ABF，
∵PH∥BC，
∴∠P＝∠CBG，
∵G是CH的中点，
∴GH＝CG，
∵∠PGH＝∠BGC，
∴△PHG≌△BCG（AAS），
∴PH＝BC，BP＝2BG＝6PG，
∵PH＝BH，
∴BH＝BC，
∴∠CBG＝∠HBG，BG⊥CQ，
∴∠QGB＝90°，
∵∠ABF+∠FBH+∠HBG+∠CBG＝90°，
∴2∠FBH+2∠HBG＝90°，
∴∠FBH+∠HBG＝45°，
∴∠QBG＝45°，
∴tan∠QBG＝，
∴BG＝QG，
∵∠BCD＝90°，
∴∠BCG+∠DCR＝90°，
∵∠CRD＝90°，
∴∠DCR+∠CDR＝90°，
∴∠BCG＝∠CDR，
∵∠CRD＝∠BHC＝90°，
∴△BCG≌△CDR（AAS），
∴CG＝DE，CE＝BG，
∴QG＝CR，
∴CG＝QR，
∴QR＝DR＝DQ，
∴CQ＝QR+CR＝DQ+BG，
∴2CQ＝6BG+DQ，
∴BP+DQ＝6CQ；
（3）解：如图2，
作ST∥CN′，交BR于T，作N′V⊥BC于V，
∴△BST∽△BCN′，△SOT∽△NOR，
∴，△SXO∽△SVN′，
∴BC＝4SC，，
∴，
∴CN′＝3RN′，
∴
∴，
∴当VN′最大时，OX最大，
∵∠BN′C＝∠BNC＝90°，
∴N′在以BC为直径的圆上运动，
∴当VN′＝BC时最大＝7，
∴OX最大＝VN′＝，
∴S△BCO最大＝BC•OX＝＝．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形和全等三角形．
2023-2024学年重庆实验外国语学校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的（满分40分，120分钟完成）四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x≤2 C．x＜2且x≠﹣1 D．x≤2且x≠﹣1
3．（4分）若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8
4．（4分）进入7月以来，某大型商场前三周的营业收入持续上涨，若7月第1周营业收入为1.3亿元，设平均每周的增长率为x，则可列方程为（ ）
A．1.3（1+x）＝2
B．1.3（1+x）2＝2
C．1.3（1+2x）＝2
D．1.3+1.3（1+x）+1.3（1+x）2＝2
5．（4分）一次函数y＝ax﹣b（ab≠0）和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DFE是以点O为位似中心的位似图形，若△AOB的面积为6，则△DOF的面积为（ ）
A．3 B．2 C． D．
7．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点F是AE的中点，连接OF，AB＝1，则FO的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．（4分）某天，墩墩和容融在同一直线道路上同起点出发，分别以不同的速度匀速行走3600米．当墩墩领先容融1000米时，当容融追上墩墩的瞬间，墩墩立即又以原来的速度继续走向终点，墩墩和容融之间的距离y（米）与它们出发时间x（分钟），下列说法正确的是（ ）
A．容融的速度为60米/分钟
B．墩墩休息了23分钟
C．第80分钟时，墩墩到达终点
D．领先者到达终点时，两者相距200米
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在函数，∠ACB＝90°，边CB在y轴上，连接DC并延长交x轴于点E，连接BE，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
10．（4分）对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数（b+c）﹣（﹣d﹣e），其中称a为“数1”，b为“数2”，﹣d为“数4”，﹣e为“数5”，则称这个过程为“换位思考”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位思考”（b+c）﹣（﹣d+a）；又如对“数2”和“数3”进行“换位思考”，得到：a﹣（c+b）﹣（﹣d﹣e）
①代数式（a﹣b）+（c﹣d）﹣e进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果；
②代数式a﹣（b+c﹣d﹣e）进行一次“换位思考”，化简后可以得到5种结果；
③代数式a+[b﹣（c﹣d﹣e）]进行一次“换位思考”，化简后可以得到6种结果；
④代数式a+[b+c﹣（d﹣e）]进行一次“换位思考”，化简后可以得到8种结果（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．（4分）计算：＝ ．
12．（4分）现有三张正面分别标有数字1，2，5的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，从中随机抽取一张，将卡片上的数字记为m，将卡片上的数字记为n，则满足m•n为偶数的概率为 ．
13．（4分）已知m，n是方程x2﹣2x﹣7＝0的两个实数根，则代数式m2n﹣2mn+7m+2023的值为 ．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点B在第二象限，过点B作BA⊥x轴于点A，反比例函数，连接EF，若F为OB的中点，则k的值为 ．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数，点M是线段AB的中点，连接OM，则线段MN＝ ．
16．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，将△ABC沿AB向下翻折得到△ABC'，点D为BC′上一点，若∠ECB＝∠ABC，BD＝4，则△ACE的面积为 ．
17．（4分）若关于x的一元一次不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
18．（4分）对于一个各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数p，将它各个数位上的数字分别乘以3后再取其个位数，得到三个新的数字，当（xy﹣xz）的值最小时，称此时的，并规定K（p）＝（|y﹣z|+x）2．例如：p＝157时，其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：3、5、1，重新组合后的数为351、315、531、513、135、153（3×1﹣3×5）的值最小，所以315是157的“魅力数”（p）＝（|5﹣1|+3）2＝49，则K（248）＝ ，若s、t都是各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数，且s＝100a+21，t＝120b+a（1≤a≤9，1≤b≤4，a、b均为整数）若（s+t）能被5整除，（s﹣t）能被11整除（t）的最大值为 ．
三、解答题：（本大题共8个小题，19小题8分，其余每小题8分，共78分）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）x（x+6）＝8（x+3）．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，连接BE，请完成下面的作图和填空．
（1）用尺规完成以下基本作图：以点C为顶点，在BC的右边作∠BCF＝∠EBD，射线CF交AD的延长线于点F，FC．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证：四边形BECF是菱形．
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴ ，
∴BE＝CE．
在△BED和△CFD中，，
∴△BED≌△CFD，
∴BE＝CF．
∵∠EBD＝∠BCF，
∴ ，
∴四边形BECF是平行四边形．
∵ ，∴四边形BECF是菱形．
21．（10分）为提高学生面对突发事故的应急救护能力，某校组织了一场关于防自然灾害的知识讲座，并在讲座后进行了满分为100分的“防自然灾害知识测评”，学校在七、八年级中分别随机抽取了50名学生的分数进行整理分析，已知分数x均为整数，B，C，D，E五个等级，分别是：
A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，E：0≤x＜60．
并给出了部分信息：
【一】七年级D等级的学生人数占七年级抽取人数的20%；
八年级C等级中最低的10个分数分别为：70，70，72，73，73，74，75
【二】两个年级学生防自然灾害知识测评分数统计图：
【三】两个年级学生防自然灾害知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：
平均数
中位数
众数
七年级
76
75
73
八年级
76
a
69
（1）直接写出a，m的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对防自然灾害知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）；
（3）若分数不低于80分表示该生对防自然灾害知识掌握较好，且该校七年级有1800人，八年级有1700人，对防自然灾害知识掌握较好的学生人数．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点E，连接BE
（1）若，求AB的长度；
（2）若∠C＝30°，求sin∠BEA．
23．（10分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，AD＝6，动点P以每秒，从点A出发，沿折线A→O→D方向运动，设运动时间为x（0＜x＜6），动点Q是射线CD上一点，且1，△OCQ的面积为y2．
（1）请直接写出y1，y2与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中，画出y1和y2的函数图象，并写出函数y1的一条性质： ；
（3）结合函数图象，估计当y1＝y2时x的近似值．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
24．（10分）长白山之巅的天池是松花江、图们江、鸭绿江三江之源，夏融池水湛蓝：所以每年的七月和八月都会吸引大量游客前往观看．今年7月份，北坡游客接待中心平均每天每小时接待人数比西坡游客接待中心平均每天每小时接待人数多50%
（1）求7月份这两个游客接待中心平均每天每小时分别接待游客各多少人；
（2）因为8月份用天较多，游客减少，北坡游客接待中心平均每天每小时接待的人数比7月少16m人，在m个小时内，这两个接待中心共接待1248名游客
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，直线OC：y＝﹣2x与直线AB交于点C，已知OA＝2
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图1，点P为直线OC上一动点且位于点C的左侧，M、Q为y轴上两个动点，且MQ＝2，当S△PCB＝6时，求PQ+QM+MA最小值；
（3）如图2，将△AOB沿着射线CO方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，已知动点H在直线AB上，在平面直角坐标系中是否存在点N，若存在，请直接写出点N的横坐标，请说明理由．
26．（10分）在正方形ABCD中，E、F分别为AD边上的两点，连接BF、CE并延长交于点Q，H为CQ上一点，连接BH、DH．
（1）如图1，若H为CE的中点，且4DE＝AB，求线段BC的长；
（2）如图2，过点H作HP∥BC，且HB＝HP，刚好交CH的中点G，当∠QFE+∠QBH＝90°时DQ＝2CQ；
（3）如图3，在（1）的条件下，点M为线段AD上一动点，作BN⊥CM于点N，将△BCN沿BC翻折得到△BCN′，且BC＝4CS，N′C＝3N′R，连接CO，请直接写出△BCO面积的最大值．
2023-2024学年重庆实验外国语学校九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的（满分40分，120分钟完成）四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、C、B不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x≤2 C．x＜2且x≠﹣1 D．x≤2且x≠﹣1
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：2﹣x＞0，
解得：x＜8，
故选：A．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
3．（4分）若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8
【分析】首先将化简得，然后根据36＜40＜49得6＜＜7，进而可估算出的值即可得出答案．
【解答】解：∵
＝
＝
＝
∵36＜40＜49，
∴8＜＜7，
∴5＜﹣6＜6，
∴在5和6之间．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的估算，二次根式的化简，解答此题的关键是将化简得，并估算出6＜＜7．
4．（4分）进入7月以来，某大型商场前三周的营业收入持续上涨，若7月第1周营业收入为1.3亿元，设平均每周的增长率为x，则可列方程为（ ）
A．1.3（1+x）＝2
B．1.3（1+x）2＝2
C．1.3（1+2x）＝2
D．1.3+1.3（1+x）+1.3（1+x）2＝2
【分析】设平均每周的增长率为x，利用7月第3周的营业收入＝7月第1周营业收入×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设平均每周的增长率为x，
依题意得：1.3（4+x）2＝2，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程．
5．（4分）一次函数y＝ax﹣b（ab≠0）和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数图象的性质，和反比例函数图象的性质逐一判断即可．
【解答】解：A．由一次函数图象得a＞0，所以ab＞0、三象限；
B．由一次函数图象得a＞4，所以ab＜0、四象限；
C．由一次函数图象得a＞0，所以ab＞8，故C错误；
D．由一次函数图象得a＜0，所以ab＞0，故D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象的性质和反比例函数图象的性质，掌握函数关系式中a、b的取值与函数图象的位置关系是解题的关键．
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DFE是以点O为位似中心的位似图形，若△AOB的面积为6，则△DOF的面积为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【分析】根据位似变换的概念得到DF∥AB，得到△DOF∽△AOB，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC与△DFE是以点O为位似中心的位似图形，
∴DF∥AB，
∴△DOF∽△AOB，
∵OA＝2OD，
∴＝，
∴＝（）4，即＝，
∴△DOF的面积为，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点F是AE的中点，连接OF，AB＝1，则FO的长度为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由矩形的性质得∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝90°，OA＝OC＝OD，由∠BDC+∠ADB＝90°，且∠BDC＝2∠ADB，求得∠ADB＝30°，则∠ODC＝60°，所以△OCD是等边三角形，而CD＝AB＝1，则OA＝OC＝CD＝1，所以AC＝2，由勾股定理得BC＝＝，由AE平分∠BAD交BC边于点E，得∠BAE＝∠DAE＝45°，则∠BEA＝∠BAE＝45°，所以BE＝AB＝1，则EC＝﹣1，由三角形的中位线定理得FO＝EC＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，
∴∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝90°，OA＝OC＝，OB＝OD＝，且AC＝BD，
∴OA＝OC＝OD，
∵∠BDC+∠ADB＝90°，且∠BDC＝2∠ADB，
∴2∠ADB+∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝30°，
∴∠ODC＝∠ADC﹣∠ADB＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∵CD＝AB＝1，
∴OA＝OC＝CD＝1，
∴AC＝5OC＝2，
∴BC＝＝＝，
∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝45°，
∴∠BEA＝∠BAE＝45°，
∴BE＝AB＝1，
∴EC＝BC﹣BE＝﹣1，
∵点F是AE的中点，点O是AC的中点，
∴FO＝EC＝，
故选：D．
【点评】此题重点考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，证明△OCD是等边三角形是解题的关键．
8．（4分）某天，墩墩和容融在同一直线道路上同起点出发，分别以不同的速度匀速行走3600米．当墩墩领先容融1000米时，当容融追上墩墩的瞬间，墩墩立即又以原来的速度继续走向终点，墩墩和容融之间的距离y（米）与它们出发时间x（分钟），下列说法正确的是（ ）
A．容融的速度为60米/分钟
B．墩墩休息了23分钟
C．第80分钟时，墩墩到达终点
D．领先者到达终点时，两者相距200米
【分析】根据题意和图象中的数据，可以计算出各个选项中的结果是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：由图象可得，
容融的速度为：3600÷90＝40（米/分钟），故选项A错误；
墩墩休息了：1000÷40＝25（分钟），故选项B错误；
墩墩的速度为：40+1000÷50＝60（米/分钟），
50+25+（3600﹣60×50）÷60＝85（分钟），
即第85分钟时，墩墩到达终点，不符合题意；
（90﹣85）×40＝200（米），
即领先者到达终点时，两者相距200米，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在函数，∠ACB＝90°，边CB在y轴上，连接DC并延长交x轴于点E，连接BE，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【分析】先根据题意证明△COE∽△CCA，根据相似比及面积公式得出CO×AC的值即为|k|的值，再由函数所在的象限确定k的值．
【解答】解：∵CD为Rt△ABC的斜边AB上的中线，
∴BD＝DC，∠DCB＝∠ABC，
又∠DCB＝∠ECO，
∴∠ECO＝∠ABC，
又∠COE＝∠BCA＝90°，
∴△COE∽△BCA，
∴＝，即BC×OE＝CO×AC．
又∵S△BEC＝3，
∴BC•EO＝3，
即BC×OE＝6＝CO×AC＝|k|．
∵反比例函数图象在第一象限，k＞4．
∴k＝6．
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义．反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
10．（4分）对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数（b+c）﹣（﹣d﹣e），其中称a为“数1”，b为“数2”，﹣d为“数4”，﹣e为“数5”，则称这个过程为“换位思考”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位思考”（b+c）﹣（﹣d+a）；又如对“数2”和“数3”进行“换位思考”，得到：a﹣（c+b）﹣（﹣d﹣e）
①代数式（a﹣b）+（c﹣d）﹣e进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果；
②代数式a﹣（b+c﹣d﹣e）进行一次“换位思考”，化简后可以得到5种结果；
③代数式a+[b﹣（c﹣d﹣e）]进行一次“换位思考”，化简后可以得到6种结果；
④代数式a+[b+c﹣（d﹣e）]进行一次“换位思考”，化简后可以得到8种结果（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意，分别讨论每种“换为思考”的运算结果，再求解即可．
【解答】解：①（a﹣b）+（c﹣d）﹣e中括号前都是加号，所以无论怎么换位，
∴化简后是1种，故符合题意；
②当a、b“换位思考”，
当a、c“换位思考”，
当a、e“换位思考”，
当a、d“换位思考”，
当b、c“换位思考”，
当b、d“换位思考”，
当b、e“换位思考”，
当c、d“换位思考”，
当c、e“换位思考”，
当d、e“换位思考”，
∴化简后可以得到5种结果；故符合题意；
③当a、b“换位思考”，
当a、c“换位思考”，
当a、e“换位思考”，
当a、d“换位思考”，
当b、c“换位思考”，
当b、d“换位思考”，
当b、e“换位思考”，
当c、d“换位思考”，
当c、e“换位思考”，
当d、e“换位思考”，
∴化简后可以得到3种结果；故符合题意；
④当a、b“换位思考”，
当a、c“换位思考”，
当a、e“换位思考”，
当a、d“换位思考”，
当b、c“换位思考”，
当b、d“换位思考”，
当b、e“换位思考”，
当c、d“换位思考”，
当c、e“换位思考”，
当d、e“换位思考”，
∴化简后可以得到8种结果；故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则，弄清定义，准确计算是解题的关键．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．（4分）计算：＝ ﹣5+ ．
【分析】利用有理数的乘方法则，负整数指数幂的意义和绝对值的意义化简运算即可．
【解答】解：原式＝﹣1+（﹣2）﹣（5﹣）
＝﹣1﹣2﹣2+
＝﹣5+．
【点评】本题主要考查了实数的运算，有理数的乘方法则，负整数指数幂的意义和绝对值的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
12．（4分）现有三张正面分别标有数字1，2，5的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，从中随机抽取一张，将卡片上的数字记为m，将卡片上的数字记为n，则满足m•n为偶数的概率为 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
1
2
7
1
1
6
5
2
2
4
10
5
2
10
25
由表知，共有9种等可能结果，
∴满足m•n为偶数的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及概率公式，画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（4分）已知m，n是方程x2﹣2x﹣7＝0的两个实数根，则代数式m2n﹣2mn+7m+2023的值为 2037 ．
【分析】先根据根与系数的关系得mn＝﹣7，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣6＝0的两个实数根，
∴mn＝﹣7，
∴m2n﹣2mn+7m+2023
＝mn•m﹣3mn+7m+2023
＝﹣7m﹣2mn+7m+2023
＝﹣2mn+2023
＝﹣5×（﹣7）+2023
＝2037．
故答案为：2037．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点B在第二象限，过点B作BA⊥x轴于点A，反比例函数，连接EF，若F为OB的中点，则k的值为 ﹣8 ．
【分析】根据反比例函数k值的几何意义，利用面积比等于相似比的平方，设S△OFM＝S△OEA＝S，可得S+S＝10，求出k值即可．
【解答】解：作FM⊥x轴于点M，连接OE，
∵BA⊥x轴于点A，
∴AB∥FM，
∴△OFM∽△OAB，
∵F为OB的中点，
∴＝，
设S△OFM＝S，根据反比例函数k值的几何意义，
∴S△OAB＝2S，
∵S△OBE＝S△OAB﹣S△OAE＝4S﹣S＝3S，
∴S△OFE＝S，
∴S+S＝10，
解得S＝4．
∴‖k‖＝2S＝5，
∵反比例函数在第二象限，
∴k＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，反比例函数图象上点的纵横坐标之积等于k．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数，点M是线段AB的中点，连接OM，则线段MN＝ ．
【分析】根据题意，可以先求出点A和点B的坐标，然后即可求得点M的坐标，再根据勾股定理即可得到OM的长，再根据锐角三角函数即可求得MN的长．
【解答】解：∵一次函数，
∴当x＝0时，y＝8，x＝6；
∴点A的坐标为（6，0），8），
∵点M是线段AB的中点，
∴点M的坐标为（3，4），
∴OM＝＝5，
∵MN⊥OM，
∴tan∠OMN＝＝，
即＝，
解得MN＝，
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、锐角三角函数值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，将△ABC沿AB向下翻折得到△ABC'，点D为BC′上一点，若∠ECB＝∠ABC，BD＝4，则△ACE的面积为 6 ．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠ABC＝40°，根据三角形的内角和定理得到∠ACB＝100°，根据折叠的性质得到AC＝AC′，BC＝BC′，根据菱形的性质得到AC∥BC′，求得∠BDC＝∠ACD＝60°，过B作BF⊥CD于F，得到BF＝BD＝2，过C作CH⊥AB于H，根据全等三角形的性质得到CH＝BF＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵AC＝BC，∠ABC＝40°，
∴∠CAB＝∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝100°，
∵将△ABC沿AB向下翻折得到△ABC'，
∴AC＝AC′，BC＝BC′，
∵AC＝BC，
∴四边形ACBC′是菱形，
∴AC∥BC′，
∵∠ECB＝∠ABC＝40°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝60°，
∴∠BDC＝∠ACD＝60°，
过B作BF⊥CD于F，
∵BD＝4，
∴BF＝BD＝2，
过C作CH⊥AB于H，
∴∠CHB＝∠BFC＝90°，
∵∠BCF＝∠HBC，BC＝CB，
∴△BHC≌△CFB（AAS），
∴CH＝BF＝8，
∵AE＝6，
∴S△AEC＝AE•CH＝＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
17．（4分）若关于x的一元一次不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程，则所有满足条件的整数a的值之和为 8 ．
【分析】不等式组整理后，根据至少有4个整数解，确定出a的范围，再由分式方程解为非负数，确定出满足题意整数a的值，求出之和即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
解得：a﹣8≤x≤2，
∵不等式组至少有4个整数解，即﹣8，0，1，2，
∴a﹣5≤﹣1，
解得：a≤4，
分式方程去分母得：2a﹣4y＝3y﹣2﹣y﹣1，
解得：y＝，
∵分式方程解为非负数，
∴≥8且，
解得：a≥﹣且a≠2，
∴a的范围是﹣≤a≤3且a≠1，
则整数解为﹣1，7，2，3，6，之和为8．
故答案为：8．
【点评】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
18．（4分）对于一个各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数p，将它各个数位上的数字分别乘以3后再取其个位数，得到三个新的数字，当（xy﹣xz）的值最小时，称此时的，并规定K（p）＝（|y﹣z|+x）2．例如：p＝157时，其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：3、5、1，重新组合后的数为351、315、531、513、135、153（3×1﹣3×5）的值最小，所以315是157的“魅力数”（p）＝（|5﹣1|+3）2＝49，则K（248）＝ 64 ，若s、t都是各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数，且s＝100a+21，t＝120b+a（1≤a≤9，1≤b≤4，a、b均为整数）若（s+t）能被5整除，（s﹣t）能被11整除（t）的最大值为 121 ．
【分析】利用“魅力数”的定义求出248的“魅力数”，再利用K（p）＝（|y﹣z|+x）2，计算K（248）即可；利用整数的整除的性质和数位上的数字的特征求得a，b值，求得t值，利用“魅力数”的定义求出t的“魅力数”，再利用K（p）＝（|y﹣z|+x）2，分别计算K（t）即可得出结论．
【解答】解：当p＝248时，
其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：6、5、4，
重新组合后的数为：624，642，462，264，
∵（4×5﹣4×6）的值最小，
∴426是248的“魅力数”，
此时K（248）＝（|8﹣2|+4）8＝64．
∵s＝100a+21，t＝120b+a，
∴s+t＝101a+21+120b，
∵（s+t）能被5整除，
∴101a+21也能被5整除，
∵2≤a≤9，a为整数，
∴a＝4或3．
∵s＝100a+21，t＝120b+a，
∴s﹣t＝99a+21﹣120b，
∵（s﹣t）能被11整除，
∴21﹣120b也能被11整除，
∵1≤b≤4，b为整数，
∴b＝2．
∴t＝124或129．
当p＝124时，
其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：3、8、2，
重新组合后的数为：623，632，362，263，
∵（3×4﹣3×6）的值最小，
∴326是124“魅力数”，
此时K（124）＝（|7﹣2|+3）6＝49．
当p＝129时，
其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：6、7、7，
重新组合后的数为：627，672，762，267，
∵（6×7﹣7×6）的值最小，
∴627是129的“魅力数”，
此时K（129）＝（|7﹣2|+6）8＝121．
综上，则K（t）的最大值为121．
故答案为：64；121．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，有理数的混合运算，有理数的整除性，本题是阅读型题目，准确理解题目中概念与公式并熟练应用是解题的关键．
三、解答题：（本大题共8个小题，19小题8分，其余每小题8分，共78分）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）x（x+6）＝8（x+3）．
【分析】（1）根据分式的混合运算法则可以解答本题；
（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．．
【解答】解：（1）（x﹣1﹣）÷
＝•
＝•
＝﹣x﹣6；
（2）整理，得：x2﹣2x﹣24＝4，
（x+4）（x﹣6）＝7，
∴x+4＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝6．
【点评】本题考查分式的混合运算，解一元二次方程﹣配方法，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，连接BE，请完成下面的作图和填空．
（1）用尺规完成以下基本作图：以点C为顶点，在BC的右边作∠BCF＝∠EBD，射线CF交AD的延长线于点F，FC．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证：四边形BECF是菱形．
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴ BD＝CD ，
∴BE＝CE．
在△BED和△CFD中，， ∠BDE＝∠CDF
∴△BED≌△CFD，
∴BE＝CF．
∵∠EBD＝∠BCF，
∴ BE∥CF ，
∴四边形BECF是平行四边形．
∵ BE＝CE ，∴四边形BECF是菱形．
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）先根据等腰三角形三线合一的性质得出BD＝CD，然后根据线段垂直平分线的性质得出BE＝CE，然后利用ASA证明△BED≌△CFD，从而可以证明BE∥CF，最后根据菱形判定证明即可．
【解答】（1）解：如图，
∠BCF即为所求；
（2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴BE＝CE，
在BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD，
∴BE＝CF，
∵∠EBD＝∠BCF，
∴BE∥CF，
∴四边形BECF是平行四边形，
∵BE＝CE，
∴四边形BECF是菱形．
故答案为：BD＝CD；∠BDE＝∠CDF；BE＝CE．
【点评】本题考查了尺规作图，菱形的判定等知识，掌握基本作图方法，菱形的判定等知识是解题的关键．
21．（10分）为提高学生面对突发事故的应急救护能力，某校组织了一场关于防自然灾害的知识讲座，并在讲座后进行了满分为100分的“防自然灾害知识测评”，学校在七、八年级中分别随机抽取了50名学生的分数进行整理分析，已知分数x均为整数，B，C，D，E五个等级，分别是：
A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，E：0≤x＜60．
并给出了部分信息：
【一】七年级D等级的学生人数占七年级抽取人数的20%；
八年级C等级中最低的10个分数分别为：70，70，72，73，73，74，75
【二】两个年级学生防自然灾害知识测评分数统计图：
【三】两个年级学生防自然灾害知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：
平均数
中位数
众数
七年级
76
75
73
八年级
76
a
69
（1）直接写出a，m的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对防自然灾害知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）；
（3）若分数不低于80分表示该生对防自然灾害知识掌握较好，且该校七年级有1800人，八年级有1700人，对防自然灾害知识掌握较好的学生人数．
【分析】（1）根据题意和统计图中的数据、表格中的数据可以分别得到a、m的值，根据七年级D等级的学生人数占七年级抽取人数的20%求出七年级D等级的学生人数，再求出E等级的学生人数，即可补全条形统计图；
（2）根据表格中的数据，由中位数的定义写出即可；
（3）分别求出该校七、八年级不低于80分的人数，再相加即可求解．
【解答】解：（1）由题干数据可知a＝（73+73）÷2＝73，
（1﹣32%﹣32%﹣2%）÷2＝16%，
∴m＝16，
七年级D等级的学生人数为：50×20%＝10（人），E等级的学生人数为：50﹣10﹣12﹣16﹣10＝2（人），
补全条形统计图如图：
答：a＝74，m＝16；
（2）七年级年级的学生对近视防控知识掌握较好．理由如下：
虽然七、八年级的平均数，但是七年级的中位数比八年级的高；
（3）1800×+1700×7×16%
＝792+544
＝1336（人）．
答：估计该校七、八年级所有学生中．
【点评】本题考查用样本估计总体、统计图、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点E，连接BE
（1）若，求AB的长度；
（2）若∠C＝30°，求sin∠BEA．
【分析】（1）根据三角形的中位线的性质及勾股定理求解；
（2）根据勾股定理及三角函数的意义求解．
【解答】解：过B作BF⊥AC于F，过D作DH⊥BF，
∴∠BFC＝∠ABC＝90°，DH∥AC，
∴DE∥BF，
∵点D为BC的中点，
∴E平分CF，H平分BF，
∵DE⊥AC于点E，
∴△CDE∽△DBH（AAS），四边形DEHF为矩形，
∴BH＝DE＝FH＝2，
∴BF＝4；
（1）∵，
∴CE＝4，
∴EF＝BF＝8，
∴∠BEF＝∠EBF＝45°，
∴∠EAB＝∠ABF＝45°，
∴AB＝4；
（2）∵∠C＝30°，
∴CD＝8，CE＝2，
∴DH＝CE＝EF＝7，
∴BE＝＝＝2，
∴sin∠BEA＝＝＝．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的意义、勾股定理及三角形的中位线的性质是解题的关键．
23．（10分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，AD＝6，动点P以每秒，从点A出发，沿折线A→O→D方向运动，设运动时间为x（0＜x＜6），动点Q是射线CD上一点，且1，△OCQ的面积为y2．
（1）请直接写出y1，y2与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中，画出y1和y2的函数图象，并写出函数y1的一条性质： 当0＜x≤3时，y随x的增大而减小，当3＜x＜6时，y随x的增大而减小 ；
（3）结合函数图象，估计当y1＝y2时x的近似值．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
【分析】（1）由题可知点P分两部分从A到O和从O到D，分别过点P向AD作垂线，过点Q向BD作垂线，分别表示出y1，y2进而作答．
（2）y1是分段函数，根据分段函数的性质作答．
（3）结合图象，两个函数相等时，求出x即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴AO＝OD＝AD＝2×，
过点P向AD作垂线交AD于点H，
过点Q向BD作垂线交BD于点E，
△APH与△DQE是等腰直角三角形，①当P在AO运动时，
动点P以每秒个单位的速度，
∴AP＝x，
∴PH＝•AP＝×，
∴y1＝S△APD＝AD•PH＝，
②当点P在OD上运动时．如图2，
∴PH＝•PD＝﹣x），
∴y1＝S△APD＝AD•PH＝（2﹣，
∵3＜x＜6，
∴y1＝，
∵，点O到CD的距离为4，
∴y2＝S△COQ＝••CQ＝＝，
∴y4＝（0＜x＜6）．
（2）图象如图，
函数y3是分段函数，
∴当0＜x≤3时，y随x的增大而减小＜x＜6时，
故答案为：当8＜x≤3时，y随x的增大而减小＜x＜6时．
（3）结合函数图象，
当x＝2时，函数交于一点，
即y5＝y2．
【点评】本题考查正方形的综合题，解题的关键作辅助线，熟练掌握正方形对角线和等腰直角三角形等相关性质．
24．（10分）长白山之巅的天池是松花江、图们江、鸭绿江三江之源，夏融池水湛蓝：所以每年的七月和八月都会吸引大量游客前往观看．今年7月份，北坡游客接待中心平均每天每小时接待人数比西坡游客接待中心平均每天每小时接待人数多50%
（1）求7月份这两个游客接待中心平均每天每小时分别接待游客各多少人；
（2）因为8月份用天较多，游客减少，北坡游客接待中心平均每天每小时接待的人数比7月少16m人，在m个小时内，这两个接待中心共接待1248名游客
【分析】（1）设7月份北坡游客接待中心平均每天每小时接待游客x人，西坡游客接待中心平均每天每小时接待游客y人，根据“今年7月份，北坡游客接待中心平均每天每小时接待人数比西坡游客接待中心平均每天每小时接待人数多50%，两游客接待中心平均每天每小时接待游客共500人”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据“在m个小时内，这两个接待中心共接待1248名游客”，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设7月份北坡游客接待中心平均每天每小时接待游客x人，西坡游客接待中心平均每天每小时接待游客y人，
根据题意得：，
解得：．
答：5月份北坡游客接待中心平均每天每小时接待游客300人，西坡游客接待中心平均每天每小时接待游客200人；
（2）根据题意得：（300﹣16m）m+200×（1﹣18%）m＝1248，
整理得：m2﹣29m+78＝8，
解得：m1＝3，m8＝26，
当m＝3时，300﹣16m＝300﹣16×3＝252＞4；
当m＝26时，300﹣16m＝300﹣16×26＝﹣116＜0，舍去．
答：m的值为3．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，直线OC：y＝﹣2x与直线AB交于点C，已知OA＝2
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图1，点P为直线OC上一动点且位于点C的左侧，M、Q为y轴上两个动点，且MQ＝2，当S△PCB＝6时，求PQ+QM+MA最小值；
（3）如图2，将△AOB沿着射线CO方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，已知动点H在直线AB上，在平面直角坐标系中是否存在点N，若存在，请直接写出点N的横坐标，请说明理由．
【分析】（1）根据题意求出A、B点坐标，再用待定系数法求直线AB的解析式即可；
（2）过P点作PG⊥y轴交于G点，则S△PCB＝S△POG﹣S△PBG﹣S△OCB＝6，能求出P（﹣4，8），作A点关于y轴的对称点H，过Q点作QK∥MH，过H点作HK∥QM，QK与KH交于K点，连接PK，则AM+QM+PQ＝QK+PQ+QM≥PK+QM，求出K（2，2），得到PK＝6，则PQ+QM+MA最小值为2+6；
（3）设△AOB沿x轴正方向平移m个单位长度，则沿y轴负方向平移2m个单位长度，平移后直线DF的解析式为y＝2x+4﹣4m，当DF经过原点时，m＝1，可得D（﹣2，﹣2），E（1，﹣2），F（1，2），设H（n，2n+4），N（x，y），分三种情况讨论：当HN为菱形对角线时，HD＝HF；当HD为菱形对角线时，HF＝DF；当HF为菱形对角线时，HD＝DF；利用对角线互相平分和两点间距离公式列出方程组，求出x的值即可求解．
【解答】解：（1）∵OA＝2，
∴A（﹣2，3），
∵OB＝2OA，
∴OB＝4，
∴B（5，4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x+4；
（2）过P点作PG⊥y轴交于G点，
当﹣3x＝2x+4时，x＝﹣4，
∴C（﹣1，2），
设P（t，﹣4t），
当x＝0时，y＝4，
∴B（3，4），
∴S△PCB＝S△POG﹣S△PBG﹣S△OCB＝×（﹣t）×（﹣2t）﹣×（﹣t）×（﹣7t﹣4）＝6，
解得t＝﹣3，
∴P（﹣4，8），
作A点关于y轴的对称点H，过Q点作QK∥MH，QK与KH交于K点，
∴AM＝MH，四边形QMHK是平行四边形，
∴QK＝MH，KH＝QM，
∴AM+QM+PQ＝QK+PQ+QM≥PK+QM，
∵A（﹣4，0），
∴M（2，2），
∵KH⊥x轴，QM＝2，
∴K（2，7），
∴PK＝6，
∴PQ+QM+MA最小值为4+6；
（3）存在点N，使得以H、N、D，理由如下：
设△AOB沿x轴正方向平移m个单位长度，则沿y轴负方向平移8m个单位长度，
∴D（﹣2+m，﹣2m），﹣4m），4﹣2m），
∵直线AB沿直线OC方向平移，
∴平移后直线DF的解析式为y＝7x+4﹣4m，
当DF经过原点时，2﹣4m＝0，
解得m＝2，
∴D（﹣1，﹣2），5），
设H（n，2n+4），y），
当HN为菱形对角线时，HD＝HF，
∴，
解得x＝，
∴N点横坐标为；
当HD为菱形对角线时，HF＝DF，
∴，
解得x＝或x＝，
∴N点横坐标或；
当HF为菱形对角线时，HD＝DF，
∴，
解得x＝﹣1或x＝5，
∴N点横坐标为﹣1或3；
综上所述：N点横坐标为或或或﹣1或7．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．
26．（10分）在正方形ABCD中，E、F分别为AD边上的两点，连接BF、CE并延长交于点Q，H为CQ上一点，连接BH、DH．
（1）如图1，若H为CE的中点，且4DE＝AB，求线段BC的长；
（2）如图2，过点H作HP∥BC，且HB＝HP，刚好交CH的中点G，当∠QFE+∠QBH＝90°时DQ＝2CQ；
（3）如图3，在（1）的条件下，点M为线段AD上一动点，作BN⊥CM于点N，将△BCN沿BC翻折得到△BCN′，且BC＝4CS，N′C＝3N′R，连接CO，请直接写出△BCO面积的最大值．
【分析】（1）设DE＝a，则CD＝AD＝4a，在Rt△CDE中，由勾股定理得，CE2+DE2＝CE2，从而（4a）2+a2＝（2）2，求得a的值，进一步得出结果；
（2）作DR⊥CQ于R，可证得△PHG≌△BCG，从而PH＝BC，BP＝2BG＝2PG，进而可证得△BHQ是等腰直角三角形，可证得△BCG≌△CDR，从而CG＝DE，CE＝BG，进而证得△DQR是等腰直角三角形，进一步得出结论；
（3）作ST∥CN′，交BR于T，作OX⊥BC于X，作N′V⊥BC于V，可证得△BST∽△BCN′，△SOT∽△NOR，OX∥OV，从而，△SXO∽△SVN′，进而得出，，从而得出当VN′最大时，OX最大，△BOC的面积最大，根据∠BN′C＝∠BNC＝90°，从而得出N′在以BC为直径的圆上运动，进一步得出结果．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，BC＝CD＝AD，
∵H是CE的中点，
∴CE＝2DH＝2，
设DE＝a，则CD＝AD＝2a，
由勾股定理得，
CE2+DE2＝CE2，
∴（4a）2+a4＝（2）2，
∴a＝2，a＝﹣2（舍去），
∴BC＝4a＝6；
（2）证明：如图1，
作DR⊥CQ于R，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠A＝90°，BC＝CD，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，
∵∠QFE＝∠AFB，
∴∠ABE+∠QFE＝90°，
∵∠QFE+∠QBH＝90°，
∴∠QBH＝∠ABF，
∵PH∥BC，
∴∠P＝∠CBG，
∵G是CH的中点，
∴GH＝CG，
∵∠PGH＝∠BGC，
∴△PHG≌△BCG（AAS），
∴PH＝BC，BP＝2BG＝6PG，
∵PH＝BH，
∴BH＝BC，
∴∠CBG＝∠HBG，BG⊥CQ，
∴∠QGB＝90°，
∵∠ABF+∠FBH+∠HBG+∠CBG＝90°，
∴2∠FBH+2∠HBG＝90°，
∴∠FBH+∠HBG＝45°，
∴∠QBG＝45°，
∴tan∠QBG＝，
∴BG＝QG，
∵∠BCD＝90°，
∴∠BCG+∠DCR＝90°，
∵∠CRD＝90°，
∴∠DCR+∠CDR＝90°，
∴∠BCG＝∠CDR，
∵∠CRD＝∠BHC＝90°，
∴△BCG≌△CDR（AAS），
∴CG＝DE，CE＝BG，
∴QG＝CR，
∴CG＝QR，
∴QR＝DR＝DQ，
∴CQ＝QR+CR＝DQ+BG，
∴2CQ＝6BG+DQ，
∴BP+DQ＝6CQ；
（3）解：如图2，
作ST∥CN′，交BR于T，作N′V⊥BC于V，
∴△BST∽△BCN′，△SOT∽△NOR，
∴，△SXO∽△SVN′，
∴BC＝4SC，，
∴，
∴CN′＝3RN′，
∴
∴，
∴当VN′最大时，OX最大，
∵∠BN′C＝∠BNC＝90°，
∴N′在以BC为直径的圆上运动，
∴当VN′＝BC时最大＝7，
∴OX最大＝VN′＝，
∴S△BCO最大＝BC•OX＝＝．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形和全等三角形．
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