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重庆实验外国语学校2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题
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这是一份重庆实验外国语学校2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为.
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A．1.010010001B．C．D．
2．下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．估计的值在（ ）
A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间
5．一组图形按下列规律排序，其中第①个图形有5个圆球，第②个图形有8个圆球，第③个图形有13个圆球，…，按此规律排列下去，则第⑧个图形的圆球的个数是（ ）
A．53B．55C．68D．69
6．如图，，，平分，过点作于点，则的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．20°
7．为了让大家都能用上实惠药，医保局与药商多次谈判，将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）
A．20%B．22%C．25%D．80%
8．如图，、、是的圆周上三点，与相切于点，连接、、，若，，则的度数为（ ）
A．40°B．60°C．70°D．80°
9．如图，在正方形中，点在边上，点在边上，连接、、，有，，若，求的长为（ ）
A．8B．C．D．
10．在多项式（其中）中，任选两个字母，在两侧加绝对值后再去掉绝对值化简可能得到的式子，称为第一轮“绝对操作”.例如，选择，进行“绝对操作”，得到，…在第一轮“绝对操作”后的式子进行同样的操作，称为第二轮“绝对操作”，如：，…按此方法，进行第轮“绝对操作”.
以下说法：
①存在某种第一轮“绝对操作”的结果与原多项式相等；
②对原多项式进行第一轮“绝对操作”后，共有8种不同结果；
③存在第轮“绝对操作”，使得结果与原多项式的和为0.
其中正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．计算：______________.
12．如果一个多边形的每一个外角都是30°，那么这个多边形的边数为______________.
13．式子有意义，则的取值范围是______________.
14．2024年暑假重庆各旅游景区持续火热，小明和小亮相约来到重庆旅游，两人分别从洪崖洞，磁器口，解放碑，李子坝四个景点中随机选择一个景点游览，小明和小亮选择不同景点的概率为______________.
15．如图，的面积为4，将沿方向平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是______________.
16．若关于的一元一次不等式组恰有2个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是______________.
17．如图，是的直径，是的切线，连接交于点，点为上一点，满足，连接交于点，若，，则______________，______________.
18．若一个四位自然数的千位数字、百位数字与十位数字的和恰好等于个位数字的平方，则称这个四位数为“方和数”.若“方和数”且（），将“方和数”的千位数字与十位数字对调、百位数字与个位数字对调得到新数，规定，若为整数，除以13余7，则的值为______________，满足条件的的值为______________.
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．计算：（1）；（2）.
20．为了解学生的暑期每日学习时间情况，学校开学进行了问卷调查.现从高二、高三的学生中各随机抽取20名学生的问卷调查进行收集、整理、描述、分析.所有学生的学习时长均高于2小时（时间用表示，共分成四组：A.；B.；C.；D.），下面给出了部分信息：高二年级20名学生的学习时长为：2.1，2.2，3，3，4.5，5.2，7，8，8，8，8，8.5，9，10，12，12，12.5，13，13，14.
高三年级20名学生的学习时长在C组的数据是：8.2，8.6，9，9.4，9.6，10.
高二、高三所抽取学生的学习时长统计表
高三所抽取学生的学习时长统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中_____________，_____________，_____________；
（2）根据以上数据分析，你认为该校高二、高三年级中哪个年级学生的学习时长较好？请说明理由（写出一条理由即可）
（3）该校高二年级有2000名学生、高三年级有1800名学生参加了此次问卷调查，估计该校高二、高三年级参加此次问卷调查学习时长的学生人数是多少？
21．在学习了矩形与菱形的相关知识后，重外数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可先证得到的图形是平行四边形继而得到此结论.根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
（1）如图，在菱形中，于点.用尺规过点作的垂线交于点（不写作法，保留作图痕迹）.
（2）已知：菱形中，于点，于点.
求证：四边形是矩形.
证明：四边形是菱形，
，，___①_____
又
.
，___②_____
，
____③____
，
又，
四边形是平行四边形.
，
四边形是矩形.
进一步思考，如果“菱形”改为“平行四边形”还有相同的结论么？请你写出你猜想的结论：
______________________________④__________________________________
22．经重庆市发改委统筹考虑重庆电力供需状况、电网负荷特性、居民用电习惯等，在保持价格总水平基本稳定的前提下，现制定分时电价标准，分成三个时段计费，即高峰时段、低谷时段和平段.
1.高峰时段：11：00一17：00、20：00一22：00，在平段电价基础上提高0.10元/千瓦时.
2.低谷时段：00：00一08：00，在平段电价基础上降低0.18元/千瓦时.
3.平段：08：00一11：00、17：00-20：00、22：00一24：00，平段电价为国家规定的销售电价.
（1）某家庭8月份总电量400千瓦时，其中平段电量为总电量30%.低谷电量占总电量，根据相关政策，使用新方案计算电费与原来全部按照平段电价费用一样，则平段电价为多少元/千瓦时？
（2）电力公司采用新能源节约成本，9月份将所有时段电费单价在（1）中的费用的情况下均降低相同费用，若该家庭9月份高峰时段费用与低谷时段费用一样，而低谷时段电量为高峰时段电量的2倍，则降价后高峰时段电价为多少元/千瓦时？
23．如图1，在菱形中，对角线与交于点，点沿着的方向每秒1个单位运动，点沿着的方向每秒1个单位运动，连接，点，的距离为，两动点同时出发，设运动时间为秒，当两动点到达终点时即时，.
（1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出有3个解时的取值范围.
24．小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山处，再沿着前往寺庙处，在处测得亭台在北偏东15°方向上，而寺庙在的北偏东30°方向上，小玲沿着的东北方向上步行一段时间到达亭台处，再步行至正东方向的寺庙处.
（1）求小山与亭台之间的距离；（结果保留根号）
（2）若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙处.（结果精确到个位，参考数据：，，）
25．如图1，已知抛物线的图象与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点.
（1）抛物线顶点为，连接、、，求点到的距离；
（2）如图2，在轴正半轴有一点满足，点为直线下方抛物线上的一个动点，连接、，过点作交轴于点，为轴上一个动点，为轴上一个动点，平面内有一点，连接、、，当最大时，求的最小值；
（3）如图3，连接、，将抛物线沿着射线平移得到新的抛物线，上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.
26．如图，在中，，在边上，在边上，连接、，点为上一点且满足.
（1）如图1，若平分，，，，求的面积；
（2）如图2，若，取中点为，连接，求证：；
（3）如图3，在（1）的条件下，点为直线上一点，连接，若，则最小时，直接写出的值.
重庆实验外国语学校
2024-2025学年度（上）初2025届九上开学定时作业参考答案
（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线.
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答卷上对应的方框涂黑.
1．C 2．D 3．B 4．B 5．C 6．A 7．A 8．C 9．C 10．D
10答案：①对“绝对操作”后结果与原多项式一样，所以①对；
②依次取，，…结果有8种；
③先对“绝对操作”后得到，再对刚刚式子进行“绝对操作”后得到，所以③对.
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．12．十二13．14．
15．16．17．，18．10 6554
16．不等式解得解得，解得且，解得，，整数的值之和.
17．导角得，，连接，则，，.
18．解：由题意可得：，
，，，为整数，；，故，；设，，，
，故，，，，，；故答案为：10；6554.
三、解答题：（本大题8个小题，19小题8分，20-26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（1）
4分
（2） 8分
20．（1）8，8.8，30；
（2）高三年级学生学习时长较好，高三年级的中位数8.8高于高二年级的中位数8，整体上看高三年级学生学习时长较好；
（3）（人），
答：该校高二、高三年级参加此次问卷调查学习时长的学生人数是1980人. 10分
21．（1）如图所示，即为所求作； 6分
（2）①；②；③；④过平行四边形的一条对角线的两端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形. 10分
22．（1）设平段电价为元/千瓦时，则高峰电价为元/千瓦时，低谷电价为元/千瓦时，则
解得 答：平段电价为0.5元/千瓦时. 4分
（2）高峰电价元/千瓦时，低谷电价为元/千瓦时，
设降价元/千瓦时，9月份高峰时段费用，费用为万元
则 7分
解得 经检验是原方程的解 9分
降价后高峰电价元/千瓦时，
答：降价后高峰电价元/千瓦时， 10分
23．解：（1）；（解析式及范围均正确给1分） 3分
2．如图所示，即为所求： 6分
性质：时，随增大而增大，时，随增大而减小，时，随增大而增大；（的图象3分，性质2分，有1处错扣1分，全错0分） 8分
3．. 10分
24．解：（1）作于点，，，，，
在中，
在中，，米
小山与亭台之间的距离米 4分
（2）延长，作于点，作于点，则，
则在中，，米，
在中，，
米，
米，
且两人速度一致，小玲先到.
答：小玲先到达寺庙处. 10分
25．（1）当时，，故，当时，或，故，，
对称轴，当时，，故，易求得，，
，得
到的距离为 2分
（2）设解析式为，代入，，得，解得，
的解析式为；
连接，作轴交于
设，则，即，
当时，，此时的坐标为 6分
将的关于轴对称得到坐标为，将的关于轴对称得到坐标为
连接交于轴于点，交于轴于点，则
（3）平移后的新抛物线，在轴上找点满足，则，
，联立，解得或（舍）
，联立，解得或（舍）
所以
26．（1）
设，
在中，，
在中，，
，即，
3分
法二：过作于点，则，故设，
在中，，，下同
（2）简证如下：
倍长至点，连接，由（1）得，
，
，
为等腰直角三角形
中点为，
（3） 10分
年级
高二年级
高三年级
平均数
8.15
8.15
中位数
8
众数
7.5
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为.
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A．1.010010001B．C．D．
2．下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．估计的值在（ ）
A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间
5．一组图形按下列规律排序，其中第①个图形有5个圆球，第②个图形有8个圆球，第③个图形有13个圆球，…，按此规律排列下去，则第⑧个图形的圆球的个数是（ ）
A．53B．55C．68D．69
6．如图，，，平分，过点作于点，则的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．20°
7．为了让大家都能用上实惠药，医保局与药商多次谈判，将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）
A．20%B．22%C．25%D．80%
8．如图，、、是的圆周上三点，与相切于点，连接、、，若，，则的度数为（ ）
A．40°B．60°C．70°D．80°
9．如图，在正方形中，点在边上，点在边上，连接、、，有，，若，求的长为（ ）
A．8B．C．D．
10．在多项式（其中）中，任选两个字母，在两侧加绝对值后再去掉绝对值化简可能得到的式子，称为第一轮“绝对操作”.例如，选择，进行“绝对操作”，得到，…在第一轮“绝对操作”后的式子进行同样的操作，称为第二轮“绝对操作”，如：，…按此方法，进行第轮“绝对操作”.
以下说法：
①存在某种第一轮“绝对操作”的结果与原多项式相等；
②对原多项式进行第一轮“绝对操作”后，共有8种不同结果；
③存在第轮“绝对操作”，使得结果与原多项式的和为0.
其中正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．计算：______________.
12．如果一个多边形的每一个外角都是30°，那么这个多边形的边数为______________.
13．式子有意义，则的取值范围是______________.
14．2024年暑假重庆各旅游景区持续火热，小明和小亮相约来到重庆旅游，两人分别从洪崖洞，磁器口，解放碑，李子坝四个景点中随机选择一个景点游览，小明和小亮选择不同景点的概率为______________.
15．如图，的面积为4，将沿方向平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是______________.
16．若关于的一元一次不等式组恰有2个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是______________.
17．如图，是的直径，是的切线，连接交于点，点为上一点，满足，连接交于点，若，，则______________，______________.
18．若一个四位自然数的千位数字、百位数字与十位数字的和恰好等于个位数字的平方，则称这个四位数为“方和数”.若“方和数”且（），将“方和数”的千位数字与十位数字对调、百位数字与个位数字对调得到新数，规定，若为整数，除以13余7，则的值为______________，满足条件的的值为______________.
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．计算：（1）；（2）.
20．为了解学生的暑期每日学习时间情况，学校开学进行了问卷调查.现从高二、高三的学生中各随机抽取20名学生的问卷调查进行收集、整理、描述、分析.所有学生的学习时长均高于2小时（时间用表示，共分成四组：A.；B.；C.；D.），下面给出了部分信息：高二年级20名学生的学习时长为：2.1，2.2，3，3，4.5，5.2，7，8，8，8，8，8.5，9，10，12，12，12.5，13，13，14.
高三年级20名学生的学习时长在C组的数据是：8.2，8.6，9，9.4，9.6，10.
高二、高三所抽取学生的学习时长统计表
高三所抽取学生的学习时长统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中_____________，_____________，_____________；
（2）根据以上数据分析，你认为该校高二、高三年级中哪个年级学生的学习时长较好？请说明理由（写出一条理由即可）
（3）该校高二年级有2000名学生、高三年级有1800名学生参加了此次问卷调查，估计该校高二、高三年级参加此次问卷调查学习时长的学生人数是多少？
21．在学习了矩形与菱形的相关知识后，重外数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可先证得到的图形是平行四边形继而得到此结论.根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
（1）如图，在菱形中，于点.用尺规过点作的垂线交于点（不写作法，保留作图痕迹）.
（2）已知：菱形中，于点，于点.
求证：四边形是矩形.
证明：四边形是菱形，
，，___①_____
又
.
，___②_____
，
____③____
，
又，
四边形是平行四边形.
，
四边形是矩形.
进一步思考，如果“菱形”改为“平行四边形”还有相同的结论么？请你写出你猜想的结论：
______________________________④__________________________________
22．经重庆市发改委统筹考虑重庆电力供需状况、电网负荷特性、居民用电习惯等，在保持价格总水平基本稳定的前提下，现制定分时电价标准，分成三个时段计费，即高峰时段、低谷时段和平段.
1.高峰时段：11：00一17：00、20：00一22：00，在平段电价基础上提高0.10元/千瓦时.
2.低谷时段：00：00一08：00，在平段电价基础上降低0.18元/千瓦时.
3.平段：08：00一11：00、17：00-20：00、22：00一24：00，平段电价为国家规定的销售电价.
（1）某家庭8月份总电量400千瓦时，其中平段电量为总电量30%.低谷电量占总电量，根据相关政策，使用新方案计算电费与原来全部按照平段电价费用一样，则平段电价为多少元/千瓦时？
（2）电力公司采用新能源节约成本，9月份将所有时段电费单价在（1）中的费用的情况下均降低相同费用，若该家庭9月份高峰时段费用与低谷时段费用一样，而低谷时段电量为高峰时段电量的2倍，则降价后高峰时段电价为多少元/千瓦时？
23．如图1，在菱形中，对角线与交于点，点沿着的方向每秒1个单位运动，点沿着的方向每秒1个单位运动，连接，点，的距离为，两动点同时出发，设运动时间为秒，当两动点到达终点时即时，.
（1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出有3个解时的取值范围.
24．小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山处，再沿着前往寺庙处，在处测得亭台在北偏东15°方向上，而寺庙在的北偏东30°方向上，小玲沿着的东北方向上步行一段时间到达亭台处，再步行至正东方向的寺庙处.
（1）求小山与亭台之间的距离；（结果保留根号）
（2）若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙处.（结果精确到个位，参考数据：，，）
25．如图1，已知抛物线的图象与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点.
（1）抛物线顶点为，连接、、，求点到的距离；
（2）如图2，在轴正半轴有一点满足，点为直线下方抛物线上的一个动点，连接、，过点作交轴于点，为轴上一个动点，为轴上一个动点，平面内有一点，连接、、，当最大时，求的最小值；
（3）如图3，连接、，将抛物线沿着射线平移得到新的抛物线，上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.
26．如图，在中，，在边上，在边上，连接、，点为上一点且满足.
（1）如图1，若平分，，，，求的面积；
（2）如图2，若，取中点为，连接，求证：；
（3）如图3，在（1）的条件下，点为直线上一点，连接，若，则最小时，直接写出的值.
重庆实验外国语学校
2024-2025学年度（上）初2025届九上开学定时作业参考答案
（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线.
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答卷上对应的方框涂黑.
1．C 2．D 3．B 4．B 5．C 6．A 7．A 8．C 9．C 10．D
10答案：①对“绝对操作”后结果与原多项式一样，所以①对；
②依次取，，…结果有8种；
③先对“绝对操作”后得到，再对刚刚式子进行“绝对操作”后得到，所以③对.
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．12．十二13．14．
15．16．17．，18．10 6554
16．不等式解得解得，解得且，解得，，整数的值之和.
17．导角得，，连接，则，，.
18．解：由题意可得：，
，，，为整数，；，故，；设，，，
，故，，，，，；故答案为：10；6554.
三、解答题：（本大题8个小题，19小题8分，20-26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（1）
4分
（2） 8分
20．（1）8，8.8，30；
（2）高三年级学生学习时长较好，高三年级的中位数8.8高于高二年级的中位数8，整体上看高三年级学生学习时长较好；
（3）（人），
答：该校高二、高三年级参加此次问卷调查学习时长的学生人数是1980人. 10分
21．（1）如图所示，即为所求作； 6分
（2）①；②；③；④过平行四边形的一条对角线的两端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形. 10分
22．（1）设平段电价为元/千瓦时，则高峰电价为元/千瓦时，低谷电价为元/千瓦时，则
解得 答：平段电价为0.5元/千瓦时. 4分
（2）高峰电价元/千瓦时，低谷电价为元/千瓦时，
设降价元/千瓦时，9月份高峰时段费用，费用为万元
则 7分
解得 经检验是原方程的解 9分
降价后高峰电价元/千瓦时，
答：降价后高峰电价元/千瓦时， 10分
23．解：（1）；（解析式及范围均正确给1分） 3分
2．如图所示，即为所求： 6分
性质：时，随增大而增大，时，随增大而减小，时，随增大而增大；（的图象3分，性质2分，有1处错扣1分，全错0分） 8分
3．. 10分
24．解：（1）作于点，，，，，
在中，
在中，，米
小山与亭台之间的距离米 4分
（2）延长，作于点，作于点，则，
则在中，，米，
在中，，
米，
米，
且两人速度一致，小玲先到.
答：小玲先到达寺庙处. 10分
25．（1）当时，，故，当时，或，故，，
对称轴，当时，，故，易求得，，
，得
到的距离为 2分
（2）设解析式为，代入，，得，解得，
的解析式为；
连接，作轴交于
设，则，即，
当时，，此时的坐标为 6分
将的关于轴对称得到坐标为，将的关于轴对称得到坐标为
连接交于轴于点，交于轴于点，则
（3）平移后的新抛物线，在轴上找点满足，则，
，联立，解得或（舍）
，联立，解得或（舍）
所以
26．（1）
设，
在中，，
在中，，
，即，
3分
法二：过作于点，则，故设，
在中，，，下同
（2）简证如下：
倍长至点，连接，由（1）得，
，
，
为等腰直角三角形
中点为，
（3） 10分
年级
高二年级
高三年级
平均数
8.15
8.15
中位数
8
众数
7.5
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