初中3 平行线的判定教案设计

第七章 平行线的证明

3．平行线的判定

一、学生知识状况分析

    学生技能基础：在学习本课之前，学生对平行线的判定已经比较熟悉，也有了初步的逻辑推理能力，对简单的证明步骤有较清楚的认识，这为今天的学习奠定了一个良好的基础．

     活动经验基础：在以往的几何学习中，学生对动手操作、猜想、说理、讨论等活动形式比较熟悉，本节课主要采取学生分组交流、讨论等学习方式，学生已经具备必要的基础．

二、教学任务分析

在以前的几何学习中，主要是针对几何概念、运算以及几何的初步证明（说理），在学生的头脑中还没有形成一个比较系统的几何证明体系，本节课安排《为什么它们平行》旨在让学生从简单的几何证明入手，逐步形成一个初步的、比较清晰的证明思路，为此，本课时的学习目标是：

   通过学生画图、讨论、推理等活动熟练掌握平行线的判定公理及定理，能对平行线的判定进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中．

教学重点：判定定理的得出及应用.

教学难点：判定定理的证明及书写.

三、教学过程分析

本节课的设计分为四个环节：情景引入——探索平行线判定方法的证明——反馈练习——小结——教学反思．

第一环节：情景引入

活动内容：

回顾两直线平行的判定方法

师：前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？

生1：在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线．

生2：两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行．

生3：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．

师：很好．这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的．

上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题．除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实．

我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义．“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理．那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨．

第二环节：探索平行线判定方法的证明

活动内容：

    ① 证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

   师：这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言．所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：

如图，已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：a∥b．

如何证明这个题呢？我们来分析分析．

师生分析：要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明．这时从图中可以知道：∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a与b即平行．

因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°,所以：∠3=180°－∠2．又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即：∠2+∠1=180°,所以∠1=180°－∠2,因此由等量代换可以知道：∠1=∠3．

师：好．下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写．（在书写的同时说明：符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”）

证明：∵∠1与∠2互补（已知）   ∴∠1+∠2=180°（互补定义）

∴∠1=180°－∠2（等式的性质）∵∠3+∠2=180°（平角定义）

∴∠3=180°－∠2（等式的性质）

∴∠1=∠3（等量代换）

∴a∥b（同位角相等，两直线平行）

这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理．

这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行．

注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据．用来证明新定理．（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理．在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内．

② 证明：内错角相等,两直线平行．

师：小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？（见相关动画）

生：我认为他的作法对．他的作法可用上图来表示：∠CFE=45°,∠BEF=45°．因为∠BEF与∠FEA组成一个平角，所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45°=135°．而∠CFE与∠FEA是同旁内角．且这两个角的和为180°，因此可知：CD∥AB．

师：很好．从图中可知：∠CFE与∠FEB是内错角．因此可知：“内错角相等，两直线平行”是真命题．下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程．

师生分析：已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2．

求证：a∥b

证明：∵∠1=∠2（已知）     ∠1+∠3=180°（平角定义）

∴∠2+∠3=180°（等量代换）  ∴∠2与∠3互补（互补的定义）

∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．

这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：内错角相等，两直线平行．

③ 借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？

生1：已知，如图，直线a⊥c,b⊥c．求证：a∥b．

证明：∵a⊥c,b⊥c（已知）

∴∠1=90°∠2=90°（垂直的定义）

∴∠1=∠2（等量代换）

∴b∥a（同位角相等，两直线平行）

生2：由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论．

师：同学们讨论得真棒．下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理．

第三环节：反馈练习

1、看图填空：

如右图，(1)∵∠1＝∠2 

                     ∴       ∥        ，

                 (                                       )

        (2)∵∠2＝    

            ∴    ∥    （同位角相等，两直线平行）

       (3) ∵∠3＋∠4＝180°

            ∴    ∥      (                                          )

第四环节：学生反思与课堂小结

1、证明的基本步骤：

   (1)根据题意画出相应的图形；      

   (2)根据条件和结论写出已知,求证；                                  

  (3)分析证明思路,写出证明过程.

2、平行线的判定公理：同位角相等，两直线平行。

3、平行线的判定定理

定理：内错角相等，两直线平行。

定理：同旁内角互补，两直线平行。

第五环节：作业与思考

1、作业：习题7.4 的1、2、3、4

2、思考：借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？

第六环节：教学反思

   本节课是根据学生的认知基础来确定教学的起点和目标，利用多媒体辅助教学来扩大课堂容量，注重学生的逻辑思维发展和语言表达能力，课堂气氛活跃，学生积极踊跃发言表达自己的想法，收到了很好的效果。不足之处应该强化学生的书写过程。