2022-2023学年黑龙江省绥化市绥棱县第一中学高一下学期4月月考数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省绥化市绥棱县第一中学高一下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．已知向量，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由向量坐标运算直接求解即可.

【详解】.

故选：A

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用诱导公式可得且，即可得答案.

【详解】∵，

∴，

∴.

故选：A.

3．设，是平面向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

【答案】D

【分析】根据基底向量的定义逐项分析判断.

【详解】对A：∵，则与共线，

故和不能作为基底向量，A错误；

对B：∵，则与共线，

故和不能作为基底向量，B错误；

对C：∵，则与共线，

故和不能作为基底向量，C错误；

对D：∵，则与不共线，

故和不能作为基底向量，D正确；

故选：D.

4．如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此图象可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（    ）

A．10 B．8 C．6 D．5

【答案】A

【分析】根据图象由最小值可得，即可求得的值，进而可得最大值.

【详解】某港口某天时到时的水深变化曲线近似满足函数，

据此图象可知，这段时间水深最小值为，所以，

故这段时间水深的最大值为，

故选: A.

5．已知点，，，，若是与方向相同的单位向量，则向量在方向上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先求出、的坐标，再求出、，最后根据向量在方向上的投影向量为计算可得.

【详解】因为，，，，

所以，，

所以， ，

又是与方向相同的单位向量，所以向量在方向上的投影向量为.

故选：D

6．若，则（    ）

A．6 B．3 C．1 D．

【答案】D

【分析】根据同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，分子分母同除以余弦平方得到正切的式子，再将正切值代入即可.

【详解】.

故选：D.

7．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．如图是书画家唐寅（1470—1523）的《枯木寒鸦图》扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造扇形，根据已知条件求出半径，由扇形面积不出扇面面积.

【详解】如图，设，，

由弧长公式可得：，解得：，

扇形的面积，

扇形的面积

所以扇面的面积．

故选：D．

8．设的内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状是（    ）

A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三边比为1：2：3的三角形

【答案】B

【分析】由正弦定理可得或；或，利用三角形的性质验证得，可得结论.

【详解】因为，由正弦定理可得，即，

因为，为三角形的内角，所以或，即或，

同理可得或；

当时，不可能成立（三内角和不等于），

当时，也不可能成立，

所以只有，即为等边三角形．

故选：B

二、多选题

9．下列说法错误的是（    ）

A．平面内的单位向量是唯一存在的

B．

C．单位向量的方向相同或相反

D．零向量没有大小，没有方向

【答案】ACD

【分析】结合单位向量定义，举反例判断AC，根据零向量的定义判断D，根据向量的模和相反向量的定义判别B.

【详解】设为单位向量，存在向量满足条件，，故A错误，C错误，

零向量的大小为，任意方向都可作为零向量的方向，D错误，

与的大小相等，方向相反，即，B正确，

故选：ACD.

10．对任意向量、，下列关系式中恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据平面向量的线性运算和数量积的定义与运算逐项分析判断.

【详解】对A：根据数量积的运算律可得：恒成立，A正确；

对B：根据，可得恒成立，B正确；

对C：，其中为的夹角，

∵，可得，

∴恒成立，C正确；

对D：根据向量减法可得：，当且仅当同向或中有零向量时等号成立，

故不恒成立，D错误；

故选：ABC.

11．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（    ）

A．

B．函数图象的一个对称中心坐标为

C．在区间上，函数与都单调递减

D．，，使得

【答案】ABD

【分析】由平移变换写出表达式，然后由对称性求得，直接判断A，再根据正弦函数的性质判断BCD．

【详解】对于A，的图象向左平移个单位得，

因为的图象与的图象关于轴对称，所以，A正确；

对于B，，令，，得其对称中心为，，B正确；

对于C，当，在此区间上单调递减，在此区间上单调递增，C错误；

对于D，当时，，的值域为，的值域为，

因此，，使得，正确．

故选：ABD．

12．对于函数下列说法中正确的是（    ）

A．是以为最小正周期的周期函数

B．的对称轴方程为，

C．的最大值为1，最小值为

D．当且仅当时，

【答案】ABD

【分析】根据题意写出的解析式，作出的图象，结合图象逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.

【详解】由可知即为和较大者，

所以，

作出函数的图象如图所示：

由图可知，是以为最小正周期的周期函数，故选项A正确；

的对称轴方程为，故选项B正确；

当或时，的最大值是1，当时，取得最小值，故选项C错误；

当时，，故选项D正确；

故选：ABD.

三、填空题

13．已知，，，则与的夹角是           .

【答案】

【分析】根据平面向量的模和数量积计算，即可直接得出结果.

【详解】，

因为，所以，

与的夹角是.

故答案为：.

14．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则          ．

【答案】/0.5

【分析】根据角终边上的点，利用三角函数的定义求值.

【详解】角的终边经过点，点在单位圆上，则．

故答案为：.

15．如图所示，点A是等边外一点，且，，，则的周长为          ．

【答案】/

【分析】在中，由余弦定理求得，然后结合等腰三角形、直角三角形求得结论．

【详解】在中，由余弦定理可知，

整理可得，解得，所以，

又是等边三角形，所以，，

由勾股定理可得，，所以的周长为．

故答案为：.

16．如图，在平面四边形中，若，，则          ．

【答案】5

【分析】根据，将问题转化为，结合数量积的运算律求解.

【详解】由题意可得：，

故，则，即.

故答案为：5.

四、解答题

17．已知平面内三个向量，，．

（1）求；

（2）求满足的实数，；

（3）若，求实数．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）根据向量坐标运算法则求出求出模长；

（2）根据得，建立方程组即可求解；

（3）求出，，根据向量平行的坐标表示即可得解.

【详解】（1）∵，

∴．

（2）由得，

∴解得

（3），．

∵，∴，解得．

18．设函数．

(1)请指出函数的定义域、周期性；（不必证明）

(2)请以正弦函数的性质为依据，并运用函数的单调性定义证明：在区间上单调递减．

【答案】(1)函数的定义域为，周期为；

(2)证明见解析.

【分析】（1）由题意利用函数的定义域、周期性的定义，结合正弦函数的性质，得出结论；

（2）以正弦函数的单调性为依据，并运用函数的单调性定义，证得结论.

【详解】（1）函数，，，，

故函数的定义域为．

设的最小正周期为，

则，

则，

则的周期即的周期，为．

（2）正弦函数在区间上单调递增，且的值域为，

设，则，

，即，

在区间上单调递减．

19．已知平行四边形ABCD的周长为20，对角线AC的长为6，用坐标法求的最小值．

【答案】8

【分析】如图建立平面直角坐标系，设，表示出，再由周长为20可得，而，再结合基本不等式可得，而AC的长为6，从而可求出的最小值

【详解】如图建立平面直角坐标系，设，则

，，

由周长为20，得，

所以，

,

因为，当且仅当时取等号，

所以，

所以，

所以的最小值为8，

20．已知向量，其中，且．

(1)求和的值；

(2)若，且，求角的值．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）由得，化简可求，结合万能公式可求；

（2）采用整体法，由，结合角度范围，分别求出，进而得解.

【详解】（1）因为，所以，即；

；

（2）由（1）得，，

，

因为，，所以，

因为，所以，，

所以，

所以.

21．已知函数（，，）同时满足下列四个条件中的三个：①当时，函数值为0；②的最大值为；③的图象可由的图象平移得到；④函数的最小正周期为．

(1)请选出这三个条件并求出函数的解析式；

(2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)选择①②④三个条件，

(2)

【分析】（1）条件③与②④矛盾，故③不符合题意，选择①②④三个条件，由最大值和周期得到，代入得到，可得函数的解析式；

（2）由定义区间讨论单调性，计算，由得实数的取值范围．

【详解】（1）由条件③可知，函数的周期，最大值为1，与②④矛盾，故③不符合题意．

选择①②④三个条件．

由②得，由④中，知，则，

由①知，解得，

又，则．

所求函数表达式为．

（2）由题意知．

若，则．所以先递减再递增．

又，，

所以，所以，即的取值范围为．

22．邳州市沙沟湖水杉公园为了更好的服务游客，对赏柳观光区进行改造升级．如图，已知扇形是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案：

（1）如图1，拟在观光区内规划一条三角形形状的道路，道路的一个顶点在弧上，另一顶点在半径上，且，求周长的最大值；

（2）如图2，拟在观光区规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃的一个顶点在弧上，另两个顶点在半径上，且，求花圃面积的最大值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】(1)设，在中，利用正弦定理求出各边，将问题转化为求角的三角函数的最大值；

(2)利用等面积法，转化为求面积的最大值，利用余弦定理与基本不等式得出， 进而可求得面积的最大值.

【详解】(1) 因为，，所以，

又，设，，

在中，由正弦定理得，，

所以，，

所以的周长为，.

化简得.

所以当时，的周长有最大值米.

 (2)因为图2中与图1中面积相等，

而在中，因为，，，所以.

由余弦定理得，，

所以，，，

所以平方米.

当且仅当时等号成立，

所以花圃面积的最大值为平方米.