2022-2023学年黑龙江省绥化市绥棱县第一中学高二下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年黑龙江省绥化市绥棱县第一中学高二下学期期末数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省绥化市绥棱县第一中学高二下学期期末数学试题 一、单选题1．已知集合，，则的一个真子集为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出集合，再根据交集的定义求出，即可得出的真子集；【详解】解：因为，所以，所以，所以故选：C2．已知，，，则，，的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】先由对数与指数的性质，判定，，即可得出结果.【详解】，，，故.故选：C.【点睛】本题主要考查比较对数式、指数式的大小，常常先判断每一个数与0，1的大小关系，属于中档题.3．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的函数是A． B． C． D．【答案】C【详解】逐一考查所给函数的性质：A.是偶函数，在上单调递增，不合题意；B.是非奇非偶函数，在上单调递增，不合题意；C.是偶函数，在上单调递减，符合题意；D.是偶函数，在上不具有单调性，不合题意；本题选择C选项.4．设函数，若角的终边经过，则的值为A． B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】由题意得，代入分段函数，即可求解．【详解】因为角的终边经过，所以，所以，则，故选C【点睛】本题考查三角函数的概念，分段函数求值，考查计算化简的能力，属基础题．5．已知，，则的值是（    ）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由给定条件求出，再由差角的余弦公式计算即得.【详解】因，，则，于是得，所以的值是.故选：B6．在下列函数中，最小值为2的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】结合基本不等式的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，时，为负数，A错误.对于B选项，，，，但不存在使成立，所以B错误.对于C选项，，当且仅当时等号成立，C正确.对于D选项，，，，但不存在使成立，所以D错误.故选：C7．若，那么的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用诱导公式进行变换，即可得答案；【详解】由题意可得，故选：D.【点睛】本题考查诱导公式求值，考查运算求解能力.8．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可.【详解】解：由得，且，当时，此时，排除B,C函数的导数，由得，即时函数单调递增，由得且，即或时函数单调递减，故选：D【点睛】此题考查函数图像的识别和判断，根据函数的性质，利用定义域，单调性，极值等函数特点是解决此题的关键，属于中档题. 二、多选题9．已知，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用基本不等式及重要不等式，结合指数的运算、对数的运算和对数函数的性质即可求解.【详解】对于A：因为，，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故A正确；对于B：因为，，，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故B错误；对于C：因为，，，所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；对于D：因为，，，所以，即，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：ACD10．已知为偶函数，其图象与直线的其中两个交点的横坐标分别为，的最小值为，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列选项正确的是（    ）A．B．函数在上单调递减C．是函数图象的一个对称中心D．若方程在上有两个不等实根，则【答案】ABD【分析】由题知，，再结合余弦函数的性质与图象依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为为偶函数，所以，因为的图象与直线的其中两个交点的横坐标分别为，的最小值为，所以，的最小正周期为，所以，即，所以，，故A选项正确；当时，，此时函数为单调递减函数，故函数在上单调递减，B选项正确；当时，，此时不是函数的对称中心，故C选项错误；当时，，此时函数在上单调递增，在上单调递减，所以，函数在上单调递增，在上单调递减，，所以，当方程在上有两个不等实根时，，即，故D选项正确.故选：ABD11．已知，则下列不等式一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】A选项，由不等式基本性质得到；B选项，利用基本不等式求出；C选项，举出反例即可；D选项，作差法比较出大小关系.【详解】对A选项，因为，所以，不等式两边同时乘以，可得，故A正确；对B选项，因为，所以，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，但，故等号取不到，，B正确；对C选项，不妨设，则，C不一定成立对D选项，，因为，，故，故，D正确；故选：ABD12．已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断不正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据题意令，利用导数及题干所给条件求得的单调性，利用函数的对称性，可得，对其进行比较即可判断各选项.【详解】令，则 ，因为函数满足，当时 在上单调递增，当时在上单调递减，又由，所以关于对称，从而，即，，，故A正确；由，，，故B错误；由，即，，故C正确；由，即，，故D错误；故选：BD. 三、填空题13．正数满足，则a与大小关系为      ．【答案】/【分析】构造函数，并运用其单调性比较大小即可.【详解】因为，所以，设，则，所以，又因为与在上单调递增，所以在上单调递增，所以.故答案为：.14．已知函数，若任意的正数，均满足，则的最小值为        ．【答案】【分析】先判断出的单调性和奇偶性，再由得出与满足的等式，再由基本不等式“1”的妙用求解即可.【详解】∵恒成立，∴函数的定义域为．，有成立，，，∴，∴为定义在上的奇函数．由复合函数的单调性易知，当时，与均单调递减，∴在区间上单调递减，又∵为定义在上的奇函数，∴在上单调递减.∴由得，∴正数，满足，即，∴由基本不等式，，当且仅当，即，时等号成立，∴的最小值为．故答案为：．15．已知，，则      ．【答案】/【分析】根据指对数互化可得，结合求参数值即可.【详解】由题设，则且，所以，即，故.故答案为：16．已知函数，若，且，则实数的取值范围是          ．【答案】【分析】首先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，再根据函数的单调性，求解不等式.【详解】因为函数的定义域为，且，所以为偶函数，设，而为奇函数，奇函数偶函数奇函数，所以函数为奇函数，关于原点对称，设，则，因为，所以即为上的增函数，故在上单调递增，因为，所以1，解得，实数的取值范围为．故答案为： 四、解答题17．已知，求下列式子的值．(1)为第二象限角，求；(2)．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用诱导公式得，再结合三角函数的商的关系以及同角的平方和关系即可解出，则得到答案；（2）利用弦化切即可得到答案.【详解】（1）利用诱导公式化简，又由，得，又由为第二象限角，，可得， 解得（负舍）， 再由得出，进而得出.（2）由分子分母同除以可得，再由（1）中可得，故得出.18．已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）当时，求的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）的最大值为2，最小值为-1【分析】（1）利用辅助角公式得：，将放入的单调递增区间中，求出的范围即可；（2）根据的范围得的范围，结合的图象可求得最值.【详解】（1）由得：的单调增区间为（2）当时，当时，当时，的最大值为，最小值为【点睛】本题考查的单调区间的求解、函数值域的求解问题，关键是能够通过整体对应的方式，通过分析的图象求得结果.19．已知函数满足，当时，，且.（1）求的值，并判断的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；在上为增函数；（2）.【解析】（1）利用赋值法求出的值，利用函数的单调性定义判断的单调性即可；（2）利用已知等式把不等式转化为，利用函数的单调性，结合常变量分离法、配方法进行求解即可.【详解】（1）令，得，得，令，得，得；设是任意两个不相等的实数，且，所以，所以，因为，所以，所以，因此即在上为增函数；（2）因为，即，即，又，所以，又因为在上为增函数，所以在上恒成立；得在上恒成立，即在上恒成立，因为，当时，取最小值，所以；即时满足题意.20．已知函数且在区间上的最大值是16．(1)求实数的值；(2)假设函数的值域是R，求不等式的实数的取值范围．【答案】(1)或(2) 【分析】（1）对分类讨论，利用对数函数的单调性求出最大值，结合已知可得的方程，即可求解的值；（2）由已知可得方程的判别式，从而可求出的取值范围，结合（1）中结论可得的值，再解对数不等式即可得解．【详解】（1）当时，函数在区间上是减函数，因此当时，函数取得最大值16，即，因此，当时，函数在区间上是增函数，当时，函数取得最大值16，即，因此．（2）因为的值域是，所以可以取到所有正实数，所以方程的判别式，即，解得，由因为或，所以，代入不等式得，即，解得，因此实数的取值范围是．21．已知函数 .（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数，记函数在上的最小值为，求证：.【答案】(1) ;(2)见解析.【详解】试题分析：（1）求导得，结合，由点斜式可得切线方程；（2）由，得，令，，则在上单调递增，又，则存在使得成立，从而得，求导求范围即可.试题解析：（1）由题意知，，∴，∴，，则所求切线方程为，即.（2）由题意知，，∴.令，∴，则在上单调递增，又，则存在使得成立，∵，∴.当时，，当时，，∴.令，则，∵，∴，∴.点睛：利用导数求函数的最值问题，先对函数求导，再求导函数的零点，一般先看能不能因式分解，如果不能就要分三个方面考虑，一是导函数恒正或恒负，二是可观察出函数的零点，再通过二阶导证明导函数单调，导函数只有唯一零点，三是导函数的零点不可求，我们一般称为隐零点，通过图像和根的存在性定理，先判定和设零点，后面一般需要回代消去隐零点或参数，得到最值.22．已知函数f（x）=ex﹣alnx（a∈R且为常数）.（1）讨论函数f（x）的极值点个数；（2）若f（x）≥（1﹣x）ex﹣（a﹣1）lnx+bx+1对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围.【答案】（1）当a≤0时，f（x）无极值点，当a>0时，函数f（x）只有1个极值点；（2）（﹣∞，1].【分析】（1）求出导函数f'（x），再对a分情况讨论，根据导函数f'（x）的正负得到函数f（x）的单调性，进而得到函数f（x）极值点的个数.（2）不等式f（x）≥（1﹣x）ex﹣（a﹣1）lnx+bx+1对任意的x∈（0，+∞）恒成立，对任意的x∈（0，+∞）恒成立，记，通过求F（x）的最小值得结论.【详解】（1）由题设知：f（x）的定义域为（0，+∞），，令g（x）=xex，∵（xex）′=ex+xex>0在（0，+∞）上恒成立，∴函数g（x）=xex在（0，+∞）上单调递增，且值域为（0，+∞），①当a≤0时，xex﹣a>0在（0，+∞）上恒成立，即f′（x）>0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值点；②当a>0时，方程xex﹣a=0有唯一解为x0（x0>0），当0<x<x0时，f′（x）<0，函数f（x）单调递减；当x>x0时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增，∴x0是函数f（x）的极小值点，没有极大值点.综上，当a≤0时，f（x）无极值点，当a>0时，函数f（x）只有1个极值点；（2）不等式f（x）≥（1﹣x）ex﹣（a﹣1）lnx+bx+1对任意的x∈（0，+∞）恒成立，即xex﹣lnx﹣1≥bx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，∴对任意的x∈（0，+∞）恒成立记，则，记h（x）=x2ex+lnx，则，易知h'（x）>0在（0，+∞）上恒成立，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，且，h（1）=e>0，∴存在，使得h（x0）=0，且当x∈（0，x0）时h（x）<0，即F'（x）<0，∴函数F（x）在（0，x0）上单调递减；当x∈（x0，+∞）时h（x）>0，即F'（x）>0，故F（x）在（x0，+∞）上单调递增，∴F（x）min=F（x0），即，又h（x0）=0，故，即，即，由（1）知函数g（x）=xex在（0，+∞）上单调递增，∴，，∴b≤1.综上，实数b的取值范围是（﹣∞，1].