2022-2023学年福建省安溪县高一上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年福建省安溪县高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据并集和补集概念求解即可.

【详解】由题意，，所以，所以．

故选：B

2．下列命题是全称量词命题的是（    ）

A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360°

C．至少有一个整数，使得是质数 D．，

【答案】B

【分析】根据全称量词命题的定义分析判断.

【详解】对于ACD，均为存在量词命题，

对于B中的命题是全称量词命题.

故选：B

3．已知函数，如下表所示：

则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据表格求解即可.

【详解】由题意，当时，，

当时，，

当时，，

故不等式的解集为．

故选：D

4．函数的部分图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将函数写成分段函数，再根据特殊值判断即可.

【详解】解：因为，且，

，故符合题意的只有A.

故选：A

5．若正实数满足，则的最小值为（    ）

A．10 B．12 C．16 D．24

【答案】C

【分析】利用“1”的妙用和基本不等式即可求解

【详解】由题可知，且，

所以，

当且仅当即时，取等号，

所以的最小值16，

故选：C

6．已知实数x，y，则“”是“”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】结合幂函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义判断结论.

【详解】因为函数在R上单调递增，

由，有，可得；

由，可得，即．

则“”是“”的充要条件．

故选：C.

7．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知可得关于a的不等式组，求解得答案．

【详解】当时，单调递减，且

当时，单调递减，则，

因为函数在上单调递减，

所以，解得，故的取值范围为．

故选：A．

8．已知是定义域为的奇函数，且为偶函数，，则（    ）

A． B． C．0 D．3

【答案】B

【分析】由题意可得，关于直线对称，结合即可求解

【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，

因为为偶函数即关于轴对称，

所以的图象关于直线对称，

所以，

故，

故选：B

二、多选题

9．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】本题主要考查不等式的性质，根据不等式的性质逐项检验即可求出结果.

【详解】因为，不等式两边同时乘以可得：，故选项A正确；

因为，所以，不等式两边同时乘以可得：，故选项B正确；

因为，所以，故选项C正确；

因为且，不等式的两边同时乘以可得：，故选项D错误；

故选：.

10．下列函数中最小值为2的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据基本不等式即可判断ABC，根据二次函数的性质即可判断D.

【详解】解：对于A，当时，，故A不符题意；

对于B，，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最小值为2，故B符合题意；

对于C，，

当且仅当，即时取等号，

又因为，所以，故C不符题意；

对于D，，

当时，函数取得最小值2，故D符合题意.

故选：BD.

11．已知函数，则（    ）

A．在上单调递增 B．是奇函数

C．点是曲线的对称中心 D．的值域为

【答案】ACD

【分析】AD选项：利用单调性的已知函数，的单调性和值域来判断的单调性何至于；

BC选项：利用已知函数的奇偶性来判断的对称性.

【详解】因为，在R上均单调递增，值域为R，所以在R上单调递增，值域为R，AD正确；

因为是奇函数，所以的图象关于点对称，故B错误，C正确.

故选：ACD.

12．若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（    ）

A．0 B． C．1 D．

【答案】BC

【分析】原不等式可化为，根据一次函数和二次函数的图象可知和为原不等式的两个整数解，由此列不等式组求的范围即可.

【详解】可化为，

因为关于的不等式的解集中恰有两个整数，

由一次函数和二次函数的图象可知和为不等式的解集中的两个整数，

所以解得，

故选：BC

三、填空题

13．已知两个正实数x，y满足，则的最小值是      ．

【答案】9

【分析】结合，利用基本不等式求和的最小值.

【详解】因为正实数x，y满足，所以，

当且仅当，时，等号成立．

即的最小值是9.

故答案为：9.

14．请写出一个同时满足下列两个条件的幂函数：           .

①是偶函数；②在上单调递减.

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据幂函数的定义及性质即可得到答案.

【详解】令，

因为

所以是偶函数，满足①；

任取，且

则，

即

所以在上单调递减，满足②；

故答案为：（答案不唯一）.

15．已知不等式的解集为，则不等式的解集为      ．

【答案】

【分析】根据三个二次之间的关系求得，代入一次不等式运算求解.

【详解】由题意可得：，是方程的两根，且，

则由韦达定理可得：，解得，

所以不等式化为：，解得，

故所求不等式的解集为.

故答案为：．

16．若不等式对满足的一切实数都成立，则的取值范围是           .

【答案】

【分析】将不等式看成关于的一次函数，根据一次函数的性质即可求解.

【详解】令，即在上恒成立，所以即解得，所以的取值范围是.

故答案为：

四、解答题

17．函数的定义域为集合A，集合．

(1)若，求集合；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先根据题意得到，，再求即可.

（2）根据题意得到，从而得到，再解不等式组即可.

【详解】（1）因为，所以，解得.

由题可知，则，

当时，，所以．

（2）因为，所以，

因为，所以.

所以m的取值范围为．

18．已知，，，.

(1)若为真命题，求的取值范围；

(2)若和至少有一个为真命题，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）分、两种情况讨论，在时直接验证即可，在时，结合命题为真命题可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围；

（2）求出当命题为真命题时，实数的取值范围，然后考虑当命题、均为假命题时实数的取值范围，再利用补集思想可得结果.

【详解】（1）解：当时，因为，合乎题意；

当时，由题意可知，解得，此时.

综上所述，.

（2）解：若命题为真命题，因为，则，

，，即，，

当、均为假命题时，，可得，

因此，若和至少有一个为真命题，则或.

19．已知幂函数是偶函数．

(1)求的解析式；

(2)求函数的值域．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用幂函数定义及性质求解作答.

（2）由（1）的结论，利用换元法，结合二次函数求出函数最值作答.

【详解】（1）依题意，，即，解得或，

当时，，不是偶函数，当时，，是偶函数，

所以的解析式是．

（2）由（1）知，，，

设，则，，因此，

当时，，当或时，，于是，

所以函数的值域为.

20．已知是定义在R上的偶函数，当时，．

(1)求在上的解析式；

(2)用定义法证明在上单调递增；

(3)求不等式的解集．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）当时，，利用函数的奇偶性代入函数表达式解得答案.

（2）设，计算，判断正负得到证明.

（3）根据函数的奇偶性和单调性将不等式化简为，平方，计算得到答案.

【详解】（1）当时，，则.

故当时，.

（2）设，则，

，，故，即，

函数在上单调递增.

（3）函数为偶函数，在上单调递增，故在上单调递减，

，故，平方得到，不等式的解集为.

21．在汽车行驶中，司机发现紧急情况后操作刹车时需要经历三个阶段：第一阶段，司机的反应时间为；第二阶段，司机踩下刹车以及系统的反应时间为；第三阶段，汽车开始制动至完全停止，制动时间为，制动距离为d．已知和d的大小取决于制动时汽车时速v（单位： ）和汽车的类型，且，（k为汽车刹车时的对应参数）假设第一阶段和第二阶段汽车均以时速v做匀速直线运动，取，．

(1)已知某汽车刹车时的对应参数，司机发现障碍物后，紧急操作刹车的总时间为3s，若要保证不与障碍物相撞，求司机发现障碍物时距离障碍物的最小距离；

(2)若不同类型汽车刹车时的对应参数k满足，某条道路要求所有类型的汽车司机发现紧急情况后操作刹车时的行驶距离不大于75m，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少？

【答案】(1).

(2).

【分析】（1）由题意求出第三阶段汽车的制动时速以及制动距离，即可求得答案；

（2）由题意列出不等式，结合参数范围，即可求得答案.

【详解】（1）由题意可知汽车开始制动至完全停止，制动时间，

故制动时汽车时速，则制动距离，

故司机发现障碍物时距离障碍物的最小距离为.

（2）由题意可得，即 ，

因为，故 ，

故，即 ，即得，

即汽车在该条道路的行驶速度应该限速为.

22．已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数．

(1)求的解析式；

(2)已知，对任意的，恒成立，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据奇函数性质得到，根据偶函数性质得到，相加得到答案.

（2）取得到，根据化简得到，故，根据二次函数求最值再验证得到答案.

【详解】（1）为奇函数，则，

即；

为偶函数，则，即；

两式相加得到，故.

（2），即，

取，得到，故，

，即，

故且，

，故，

，即，

故且，

得到：，，，即，，

，

当时，有最大值为，

验证成立.

综上所述：有最大值为.