2022-2023学年福建省厦门市海沧中学高一上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年福建省厦门市海沧中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．若，，，则是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件求出，再求即可得解.

【详解】因，，则，而，

所以.

故选：B

2．函数y＝的定义域是（    ）

A． B． C． D．．

【答案】A

【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数，对数的真数大于零列不等式，由此求得函数的定义域.

【详解】依题意，

所以的定义域为.

故选：A

3．下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由对数、指数的运算性质进行运算即可判断.

【详解】，故A错误；

，故B错误；

，故C正确；

，故D错误.

故选：C

4．设，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得

【详解】由，即，解得，

令集合，，

因为，所以是的必要不充分条件.

故选：B

5．下列函数中，既是偶函数又在区间上是单调递增的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的定义域和与的关系判断函数的奇偶性，从而排除选项CD；选项A中的函数通过去掉绝对值判断函数的单调性；选项B中的函数通过幂函数的性质判断单调性.

【详解】选项A：令，定义域为，

则，所以是偶函数，

又时，，在上是减函数，故A错误；

选项B：令，定义域为，

则，所以是偶函数，

并且在区间上是增函数，故B正确；

选项C：令，定义域为，

则，所以不是偶函数，故C错误；

选项D：令，定义域为，

则，是奇函数，故D错误．

故选：B.

6．在同一个坐标系中，函数与且的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据同底的指数函数和对数函数图象关于对称可确定结果.

【详解】由指数函数和对数函数性质可知：与图象关于对称，

由选项中图象对称关系可知A正确.

故选：A.

7．函数且的图象过定点（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数且的图象过定点，再结合函数图象平移变换即可得答案.

【详解】因为指数函数且的图象过定点，

函数的图象由函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到，

故函数的图象过定点

故选：C.

8．已知函数是偶函数，且在上是单调递减，若，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意判断函数在上是单调递增，因此由得，即可求得答案.

【详解】由函数是偶函数，且在上是单调递减，

可知函数在上是单调递增，

故由得，

两边平方解得，即实数a的取值范围是，

故选：A

二、多选题

9．下列各组函数是同一函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】AD

【分析】根据函数的定义，判断各选项中两函数的定义域、对应关系以及值域是否相同，如有不同即可判断不是同一函数，即可得答案.

【详解】对于A，与的定义域都是R，对应关系相同，

值域相同，故与是同一函数，A正确；

对于B，与的对应关系不同，故二者不是同一函数，B错误；

对于C，与，前者的定义域为R，后者定义域为，

故二者不是同一函数，C错误；

对于D，，与的定义域以及对应关系都相同，

故二者是同一函数，D正确，

故选：AD

10．下列说法中正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】AB

【分析】根据不等式性质及特值法即可作出判断

【详解】对于，因为，，所以，故正确；

对于，因为，所以，

又，所以，故B正确；

对于C，因为，所以，

又，所以，故C错误；

对于D，当时，满足，

但，此时，故D错误，

故选：AB

11．下列说法正确的是（    ）

A．若，，则的子集的个数是4

B．若，，，则

C．若，为奇函数，则

D．若的值域为

【答案】ACD

【分析】对A，根据指数不等式的求解与子集个数的性质求解即可；对B，判断与0，1的大小关系即可；对C，根据奇函数的定义域关于原点对称，结合奇函数在原点处有定义则求解即可；对D，令，再根据二次函数的值域求解即可.

【详解】对A，，故，的子集有，故A正确；

对B，，，，，故，，，故，故B错误；

对C，若，为奇函数，则，即.

又奇函数满足，故，故C正确；

对D，令，则，故.

则关于的二次函数对称轴为，开口向下，故，故D正确；

故选：ACD

12．下列说法正确的是（    ）

A．对，，当且仅当时“=”成立

B．函数的值域为

C．若，则函数最大值为5

D．已知正数x，y满足，则的最小值为

【答案】BD

【分析】利用基本不等式判断A；利用指数函数的单调性判断B；将变为，结合基本不等式即可判断C；利用“1”的巧用，结合基本不等式判断D.

【详解】对于A，对，，当且仅当时“=”成立，A错误；

对于B，函数，当时取得等号，

而函数为R上单调递减函数，故的最大值为，

即函数的值域为，B正确；

对于C，，则，故，

当且仅当即时等号成立，

即函数最大值为1，C错误；

对于D，正数x，y满足，则，

当且仅当，结合，即时等号成立，

即的最小值为，D正确，

故选：BD

【点睛】方法点睛：对于给条件利用基本不等式求最值的问题，一般方法是将已知等式化为等于1，再和要求值的式子相乘，展开后即可利用基本不等式求得最值.

三、填空题

13．已知函数，则的值是      .

【答案】

【分析】先求，，故代入时的解析式；求出，，再求值即可.

【详解】由题意可知：因为，所以，

又，则有，

故答案为：.

14．设命题，，则命题p的否定为          .

【答案】

【分析】由全称命题的否定是特称命题即可求得.

【详解】命题，，

命题的否定是：.

故答案为：.

15．函数在区间上递减，则实数的取值范围是           ．

【答案】

【分析】根据题意分析出二次函数的对称轴，由此可求出实数的取值范围.

【详解】因为函数在区间上递减，

所以，解得.

故答案为：.

16．不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围       

【答案】

【分析】对不等式的二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的性质进行求解即可.

【详解】当时，原不等式变为，显然对一切实数都成立；

当时，要想不等式对一切实数都成立，则满足：

且，解得

综上所述：实数的取值范围是.

故答案为：

四、解答题

17．计算下列各式的值：

(1)；

(2).

【答案】(1)7.9

(2)5

【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则，化简求值，可得答案；

（2）根据对数的运算法则，即可求得答案.

【详解】（1）

；

（2）

.

18．已知集合，，求：

(1)；

(2)；

(3)若且，求m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据集合交集的运算即可求得答案；

（2）求出A的补集，再根据交集的运算即可求得答案；

（3）根据推出，由此列出不等式，求得答案.

【详解】（1）由题意知集合，，

故；

（2）或，故；

（3）因为，且，故，

故.

19．已知二次函数，且.

(1)求的解析式；

(2)证明函数在上单调递增；

(3)求函数在上的最大值和最小值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)最大值，最小值

【分析】（1）代入求解即可；

（2）利用增函数的定义证明即可；

（3）根据二次函数的性质求解即可.

【详解】（1）由有，解得，故

（2）任取，且，则

.

因为，，故，则在上为增函数.

即得证.

（3）为二次函数，对称轴，故在上的最大值为，最小值为.

故函数在上的最大值，最小值

20．已知是定义在上的奇函数，当时，.

（1）求，的值；

（2）求的解析式；

（3）画出的简图；写出的单调递增区间（只需写出结果，不要解答过程）

【答案】（1），；（2）；（3）图象答案见解析，增区间是.

【分析】（1）根据函数的解析式和函数的奇偶性可求，的值；

（2）利用函数的奇偶性的性质可求的解析式；

（3）根据（2）的解析式可得的简图，结合图象可求的单调递增区间.

【详解】解：（1）当时，，所以，

又.

（2）因为是定义在上的奇函数，

当时，；

当时，，，

所以，

所以.

（3）因为，

由此作出函数的图象如图：

结合图象，知的增区间是.

21．已知函数，，记.

(1)求函数的定义域；

(2)判断的奇偶性并证明；

(3)求使成立的x的集合.

【答案】(1)

(2)上偶函数，证明见解析

(3)

【分析】（1）由对数的定义域求解即可；

（2）根据奇偶性的定义可判断；

（3）根据对数函数的单调性与定义域求解.

【详解】（1），

定义域满足：，解得，

故函数的定义域为.

（2）是偶函数，理由如下：

由（1）得的定义域关于原点对称，，

又，

所以是偶函数.

（3）由，得，

即

可得，解得且；

故使成立的x的集合为.

22．2021年为抑制房价过快上涨，各大城市相继开启了集中供地模式，某开发商经过数轮竞价，摘得如图所示的矩形地块，，，现根据市政规划建设占地如图中矩形的小区配套幼儿园，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上．

（1）要使幼儿园的占地面积不小于，AB的长度应该在什么范围内？

（2）如何设计方能使幼儿园的占地面积最大？最大值是多少平方米？

【答案】（1）；（2），时，幼儿园的占地面积最大，最大值是．

【分析】（1）设，利用相似三角形的性质得到，进而得到函数关系式，然后解不等式即可求出结果；

（2）解法一：利用均值不等式即可求出结果；解法二：结合二次函数的性质即可求出结果.

【详解】（1）设，依题意，∴，

即，则．

故矩形的面积．

要使幼儿园的占地面积不小于，

即，化简得，

解得，故AB的长度范围（单位：）为．

（2）解法一：，

当且仅当，即时等号成立．

此时．

故，时，幼儿园的占地面积最大，最大值是．

解法二：，当时，．

此时．

故，时，幼儿园的占地面积最大，最大值是．