2022-2023学年福建省福州外国语学校高一上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年福建省福州外国语学校高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由交集和补集的定义，即得解

【详解】由题意，全集，集合，，

则，

故答案为：C

2．已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得扇形的半径，由此求得扇形面积.

【详解】依题意，扇形的半径为，所以扇形面积为.

故选：B

3．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由对数函数、指数函数、的单调性，可以得到，可得到大小关系

【详解】，，，则，

所以，

故选：B

4．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数零点存在性定理判断即可．

【详解】，，，故零点所在区间为

故选：B

5．设，且，则的最小值为（    ）

A．4 B． C． D．6

【答案】C

【分析】利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.

【详解】由，当且仅当时等号成立.

故选：C

6．函数的部分图象大致为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由奇偶性定义判断对称性，再根据解析式判断、上的符号，即可确定大致图象.

【详解】由题设，且定义域为R，即为奇函数，排除C，D；

当时恒成立；

，故当时，当时；

所以，时，时，排除B；

故选：A.

7．若函数在单调递增，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件利用对数型复合函数单调性列式求解作答.

【详解】函数中，令，函数在上单调递增，

而函数在上单调递增，则函数在上单调递增，且，

因此，，解得，

所以实数a的取值范围为.

故选：D

8．已知函数在恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先判断当时，函数为单调递减函数，函数零点可能有一个，也可能有0个，然后讨论当时零点个数满 足的条件即可.

【详解】当时为减函数，且，

若，此时当时，无零点，

所以当时，有两个零点，

由，得，此时满足条件，

当时，当时，只有一个零点，

要使恰有2个零点，则只需当时，只有一个零点即可，

由，得，

当时，由，得，只有一个零点，满足条件，

当时，因为，

所以要使当时只有一个零点，则且，得，

此时或，

综上，或，即实数的取值范围是，

故选：D

二、多选题

9．下列函数是奇函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】先求函数的定义域，再判断 与的关系即可求解

【详解】对A，函数的定义域为R,关于（0,0）对称，且，故函数为奇函数，符合题意；

对B，函数的定义域为R,关于（0,0）对称，且，故函数为非奇非偶函数，不符合题意；

对C, 函数的定义域为R,关于（0,0）对称，且，故函数为奇函数，符合题意；

对D,函数定义域为，不关于（0,0）对称，故函数为非奇非偶函数，不符合题意；

故选：AC

10．下列命题是真命题的是（    ）

A．

B．“”是“”成立的充要条件

C．命题“”的否定是“”

D．若幂函数经过点，则

【答案】CD

【分析】A根据对数运算性质判断；B根据充要条件概念判断；C根据特称命题的否定定义判断；D函数幂函数性质判断.

【详解】对于A：，故A错误；

对于B：由，不能得到，故“”是“”成立的充分不必要条件，故B错误；

对于C：因为“”的否定是“”，故C正确；

对于D：因为幂函数经过点，所以，即，

即，故，故D正确.

故选：CD

【点睛】命题的否定与否命题：否定为条件不变，结论否定；其中含量词的命题的否定为量词转变，结论否定；否命题为条件与结论都要改变.

11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（    ）

A．当时， B．函数的值域是

C．函数有两个零点 D．不等式的解集是

【答案】ABD

【分析】依题意作出函数的图象，根据图象即可判断各选项．

【详解】因为是奇函数，故，且当时，，故函数有三个零点C错误，

当时，，，故A正确，

如图所示易得D正确，

由图可得，则函数的值域是，故B正确.

故选：ABD

12．设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令，以下结论正确的是（    ）

A． B．为偶函数

C．最小正周期为 D．的值域为

【答案】AC

【分析】根据高斯函数的定义逐项检验即可，对于A，直接求解即可，对于B，取，检验可得反例，对于C，直接求解即可；对于D，要求的值域，只需求时的值域即可.

【详解】对于A，，故A正确.

对于B，取，则，而，

故，所以函数不为偶函数，故B错误.

对于C，则，故C正确.

对于D，由C的判断可知，为周期函数，且周期为，

要求的值域，只需求时的值域即可.

当时，则，

当时，，

故当时，则有，故函数的值域为，故D错误.

故选：AC．

三、填空题

13．命题“，”的否定是      ．

【答案】.

【分析】全称命题的否定：将任意改为存在并否定原结论，即可知原命题的否定.

【详解】由全称命题的否定为特称命题，

所以原命题的否定：.

故答案为：.

14．若角的终边经过点，则           ．

【答案】

【分析】根据定义求得，再由诱导公式可求解.

【详解】角的终边经过点,

则，

所以.

故答案为：.

15．函数是幂函数，且当时，是减函数，则实数=       ．

【答案】-1

【分析】根据幂函数的定义，令m2﹣m﹣1=1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数当x∈（0，+∞）时为减函数即可．

【详解】解：∵幂函数，

∴m2﹣m﹣1=1，

解得m=2，或m=﹣1；

又x∈（0，+∞）时，f（x）为减函数，

∴当m=2时，m2+m﹣3=3，幂函数为y=x3，不满足题意；

当m=﹣1时，m2+m﹣3=0，幂函数为y=x﹣3，满足题意；

综上，m=﹣1，

故答案为﹣1

【点睛】本题考查了幂函数的定义与图像性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的m值．

16．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在 上的值域是，则称为“倍缩函数”．若函数为 “倍缩函数”，则实数的取值范围是       ．

【答案】

【分析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，求出t的取值范围.

【详解】因为函数为“倍缩函数”，即满足存在，使在上的值域是，

由复合函数单调性可知函数在上是增函数

所以，则，即

所以方程有两个不等的实根，

令，则，所以方程变为：.

则，解得

所以实数的取值范围是.

故答案为：

四、解答题

17．求下列各式的值：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）结合指数的运算化简计算即可求出结果；

（2）结合对数的运算化简计算即可求出结果；

【详解】（1）

（2）

18．已知函数的定义域为A，集合.

(1)求集合A；

(2)若全集，，求；

(3)若是的充分条件，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

(3)

【分析】（1）求出函数的定义域，得到集合A；

（2）代入集合B，再按补集交集的定义运算；

（3）依题意有，按和两个类型讨论，解出a的取值范围.

【详解】（1），函数有意义，则，解得，

函数的定义域为，∴.

（2）时，，全集， 或，∴或.

（3）若是的充分条件，则有，

当时，有，解得，符合题意；

当时，由，则有，解得，

综上可知，a的取值范围为.

19．已知，

(1)化简，并求.

(2)若，求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用三角函数诱导公式将化简，将代入求值即可；

（2）利用 将变形为，继而变形为，代入求值即可.

【详解】（1）

，

则

（2）由（1）知，．

则

20．已知一次函数.

(1)求解不等式：；

(2)若在上恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据分式不等式的解法即可的解；

（2）要使在上恒成立，只需即可，令，，求出函数即可的解.

【详解】（1）解：不等式，即，

解得或，

所以不等式的解集为；

（2）解：要使在上恒成立，

只需即可，

令，，

由函数的对称轴为，则函数在上递增，

所以，

所以，解得，

所以在上恒成立，实数m的取值范围为.

21．某电子公司生产某种智能手环，其固定成本为2万元，每生产一个智能手环需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于日产量x（单位：个）满足函数：.

(1)将利润（单位：元）表示成日产量x的函数；

(2)当日产量x为何值时，该电子公司每天所获利润最大，最大利润是多少？（利润＋总成本＝总收入）

【答案】(1)

(2)当月产量为300台时，公司获得的月利润最大，其值为25000元

【分析】（1）根据利润为总收入减去总成本，即可得到利润的解析式；

（2）结合（1）中的解析式，分讨讨论的取值范围，结合配方法与一次函数的单调性，求得的最值，同时得到相应的值.

【详解】（1）根据题意，

当时，，

当时，，

所以.

（2）当时，，

所以当时，；

当时，易知是减函数，

所以；

综上：当时，，

所以，当月产量为300台时，公司获得的月利润最大，其值为25000元.

五、双空题

22．某公司生产防疫器材，生产固定成本为20000元，若每生产一台该器材需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：，当该公司月生产量为              台，公司利润最大，最大利润是                    元（总收入=总成本+利润）

【答案】     300     25000

【分析】空1：根据利润为总收入减去总成本，得到关于利润的解析式 ，在各自范围内求出其最值进行比较即可，得到相应的值；

空2：在空1的分段函数的基础上即可得到最大值.

【详解】设月利润为元

当时,

当时，

综上

当时,

,

当时,;

当时,是减函数,

；

综上所述，当时,.

所以,当月产量为300台时,公司获得的月利润最大,其值为25000元.

故答案为：300；25000.