2022-2023学年山西省晋城市第二中学校高一上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年山西省晋城市第二中学校高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用集合的交集运算求解.

【详解】因为集合，，

所以，

故选：C

2．已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数m的值是（    ）．

A．或2 B．2 C． D．1

【答案】C

【解析】由函数是幂函数可得，解得或2，再讨论单调性即可得出.

【详解】是幂函数，，解得或2，

当时，在上是减函数，符合题意，

当时，在上是增函数，不符合题意，

.

故选：C.

3．已知，，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】本题可通过确定、、三个数的取值范围来得出、、三个数的大小.

【详解】因为，所以，

因为，，

所以，

故选：D.

4．如图是函数的部分图象，则和的值分别为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据图象由到是半个周期，即，可得到周期，从而可求出的值，再代入最高点计算可得的值.

【详解】由题意可得，即，解得：，

又函数图象的一个最高点为，

，即，

解得：，即，

又，时，，

综上可知：，

故选：A

【点睛】方法点睛：本题考查利用函数图象求函数解析式，求解析式的步骤：

（1）求，确定函数的最大值M和最小值m，则；

（2）求，确定函数的周期，则.

（3）求，代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．

5．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（        ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】分析：首先根据指数函数的性质，将不等式恒成立转化为恒成立，利用判别式，从而求得实数的取值范围.

详解：不等式恒成立，即，即恒成立，即恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选B.

点睛：该题考查的是有关不等式恒成立，求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要明确指数式的运算法则，注意应用指数函数的单调性，得到指数所满足的大小关系，利用二次不等式恒成立问题，结合式子的判别式，求得结果.

6．已知函数，函数，若有两个零点，则m的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】存在两个零点，等价于与的图像有两个交点，数形结合求解.

【详解】

存在两个零点，等价于与的图像有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图像：

由图可知，当直线在处的函数值小于等于1，即可保证图像有两个交点，

故：，解得：

故选：A.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.

7．已知的定义域为，则的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由的定义域为，可得的定义域为，再根据可得答案.

【详解】由的定义域为，

得，所以，

所以，的定义域为，

令，得，即，

所以的定义域为.

故选：B.

【点睛】方法点睛：对于抽象函数，若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.，若已知函数的定义域为，则的定义域为在时的值域.

8．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．

【详解】因为

，

所以，

故选：D

二、多选题

9．设函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，则下列说法正确的是（    ）

A．4是函数的周期

B．当时，

C．函数的图象关于直线对称

D．函数的图象关于点对称

【答案】ACD

【解析】选项A. 由奇函数结合条件可得，可判断;  选项B. 当时，，可判断; 选项C. 由条件可得，可判断;   选项D. 由条件可得，即，从而可判断.

【详解】由函数是定义在上的奇函数及可得，

所以4是函数的周期，故A正确；

当时，，，

所以，故B错误；

由及为奇函数可得，

所以函数的图象关于直线对称，故C正确；

易知，由可得，

所以，所以，

所以函数的图象关于点对称，故D正确．

故选：ACD

10．已知函数，，则（    ）

A．

B．在区间上只有1个零点

C．的最小正周期为

D．为图象的一条对称轴

【答案】AC

【分析】将 的解析式化为，然后逐一判断即可.

【详解】

所以，故A正确

令可得，满足的有，故B错误

的最小正周期为，故C正确

当时，，所以不是图象的一条对称轴，故D错误

故选：AC

11．已知函数的图象关于直线对称，则（    ）

A．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象

B．函数为偶函数

C．函数在上单调递增

D．若，则的最小值为

【答案】BCD

【解析】函数的图象关于直线对称，可得，，

对于A，根据函数的图象平移可判断；对于B，求出函数的解析式可判断；对于C，求出，根据函数在区间上单调递增可判断；对于D，求出，，的周期可判断.

【详解】函数的图象关于直线对称，

，；

，，，

对于A，函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，故错误；

对于B，函数，根据余弦函数的奇偶性，可得，可得函数是偶函数，故正确；

对于C，由于，，函数在上单调递增，故正确；

对于D，因为，，

又因为，的周期为，

所以则的最小值为，故正确.

故选：BCD.

【点睛】本题考查了的性质.有关三角函数的题，考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大，主要考查以下四类问题；（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题.

12．函数部分图象如图所示，对不同x1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），有f（x1+x2），则（    ）

A．a+b＝π B． C． D．

【答案】BCD

【解析】结合函数的解析式和部分图象，易得得，再根据区间[a，b]中的对称轴为，结合x1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），易得x1+x2＝a+b，然后由f（x1+x2）判断.

【详解】因为函数，

所以函数的周期为，

由函数的图象得，故B正确；

由图象知A＝2，则f（x）＝2sin（2x+φ），

在区间[a，b]中的对称轴为，

因为f（x1+x2），且x1，x2也关于对称，

所以，即x1+x2＝a+b，

所以f（a+b）＝f（x1+x2），故A错误，D正确，

设，则 ，所以 ，即 ，

所以，即，

所以 ，解得，又，所以，故C正确；

故选：BCD．

【点睛】关键点点睛：本题关键是函数的周期与函数的零点间距离的关系的应用.

三、填空题

13．已知角是第四象限角，且满足，则        ．

【答案】

【解析】由题可得，进而得出，即可求出.

【详解】，

，即，

角是第四象限角，，

.

故答案为：.

14．若，则的最小值为        .

【答案】6

【分析】根据基本不等式直接求最值.

【详解】

当且仅当时取等号

故答案为：6

【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.

15．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为        ．

【答案】

【分析】无论a取何值，函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)都具有单调性，因而将x=1和x=0可得到最大与最小值，代入即可求解．

【详解】函数f(x)＝ax＋loga(x＋1) 在[0,1]上有单调性

将x=1和x=0代入可得最大值与最小值

所以

解得

【点睛】本题考查了对数单调性的简单应用，属于基础题．

16．若函数在，上单调递减，则的取值范围是       ．

【答案】

【解析】先将函数化简为的形式，然后根据区间，的中点为，找到含的递减区间，构造出的不等式组即可．

【详解】，区间，的中点为，

令，所以，

由题意，属于该单调递减区间，因此，当时可得所在的单调区间为，

所以要使在，上单调递减，只需，并且，

解得，故的范围是．

故答案为：．

【点睛】本题考查根据三角函数的性质求参数的取值范围，本题的关键是求出函数的单调递减区间后，确定含有的减区间，转化为子集问题求参数的取值范围.

四、解答题

17．已知定义在上的函数是增函数.

（1）若，求的取值范围；

（2）若函数是奇函数，且，解不等式.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据函数定义域，结合函数单调性，列出不等式组，求解即可；

（2）根据函数奇偶性得到，再利用函数单调性，结合函数定义域，即可求得不等式.

【详解】（1）由题意可得，，

求得，

即的范围是.

（2）∵函数是奇函数，且，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴.

∴不等式的解集为.

【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式，涉及函数奇偶性的应用，注意考虑函数定义域即可，属综合基础题.

18．如图，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点.

（1）若点的横坐标为，求的值.

（2）若将绕点逆时针旋转，得到角(即)，若，求的值.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）由三角函数的定义知，，，又，代入即可得到答案；

（2）利用公式计算即可.

【详解】（1）在单位圆上，且点的横坐标为，则，，

.

 （2）由题知，则则.

【点睛】本题考查二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，涉及到三角函数的定义，是一道容易题.

19．已知函数.

（1）求函数在上的单调区间；

（2）若，，求的值.

【答案】（1）递增区间为，，递减区间为；（2）.

【解析】（1）化简函数的解析式为，根据，得到，结合三角函数的性质，即可求解.

（2）由，结合，得到，利用三角函数的基本关系式，即可求解.

【详解】（1）由题意得

，

因为，所以，

令，解得；

令，解得，

令，得.

所以函数在上的单调递增区间为，，

单调递减区间为.

（2）由（1）知.

因为，所以，

又因为，所以，

所以.

【点睛】三角函数的化简求值的规律总结：

1、给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题；

2、给值求值：即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系；

3、给值求角：实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围）.

20．已知函数.

（1）判断函数的奇偶性；

（2）若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）.

【解析】（1）说明函数的定义域关于原点对称，计算得出，即可说明函数为奇函数；

（2）利用函数单调性的定义证明出函数为增函数，由可得出，可得出，可得出，由可求得实数的取值范围.

【详解】（1）函数的定义域为，该函数的定义域关于原点对称，

，

所以，函数为奇函数；

（2），

任取、，且，

则，

，则，所以，即，

所以，函数为上的增函数，且该函数为奇函数，

由可得，

，即对任意的恒成立，

所以，，解得.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：

（1）把不等式转化为；

（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.

21．已知函数满足．

（1）求的值；

（2）求的解析式；

（3）若对恒成立，求m的取值范围．

【答案】（1）2；（2）；（3）.

【分析】(1)令x=0，直接求出f(0)即可；

(2)把x换成-x，写出f(-x)的表达式，结合f(x)计算即可；

(3)根据(2)可把不等式分离参数，利用换元法得到新的函数，根据函数的单调性求出函数的最小值即可.

【详解】解：（1）令，得，

解得．

（2）因为①，

所以②，

得，

即．

（3）由（2）知等价于．

令，

设函数，易知在上单调递增，

从而，

则，即m的取值范围为．

22．已知函数，．

（1）求的最小正周期；

（2）求的单调递增区间；

（3）求图像的对称轴方程和对称中心的坐标．

【答案】（1）；（2）；

（3）对称轴为，对称中心为.

【解析】（1）首先可通过三角恒等变换将函数转化为，然后根据周期计算公式即可得出结果；

（2）可通过正弦函数的单调性得出结果；

（3）可通过正弦函数的对称性得出结果.

【详解】（1）

，

最小正周期.

（2）当时，

即时，函数单调递增，

故函数的单调递增区间为.

（3），即，

，即，

则函数的对称轴方程为，对称中心为.