2022-2023学年山西省晋城市第一中学校高二下学期4月第二次调研数学试题（含解析）

这是一份2022-2023学年山西省晋城市第一中学校高二下学期4月第二次调研数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数fx=cs2x⋅lnx，则fx的导函数为
( )
A. sin2xlnx+cs2xxB. −sin2xlnx+cs2xx
C. −2sin2xlnx+cs2xxD. 2cs2xlnx+sin2xx
2.x−yx+y8的展开式中x3y6的系数为
( )
A. 28B. −28C. 56D. −56
3.设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为120，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为
( )
A. 15B. 110C. 115D. 120
4.设随机变量X的概率分布列如下：则PX−1≤1=( )
A. 14B. 13C. 23D. 56
5.从7个人中选4人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和第三天均安排1人，且人员不重复，则不同安排方式的种数可表示为( )
A. C74A33B. C71A63C. C72C52D. C72A52
6.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )
A. 827B. 6481C. 49D. 89
7.已知函数fx=x−2−1,x>1,kx−1,x≤1,若函数y=fx的图象与gx=lnx的图象有3个交点，则实数k的取值范围是
( )
A. 1,+∞B. 0,1C. −1,0D. −∞,1
8.已知函数gx=e−x+ax，若gx≥0恒成立，则a的取值范围是
( )
A. 0,e2B. 0,eC. 0,1D. 0,e
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.设随机变量X的可能取值为1，2，⋯，n，并且取1，2，⋯，n是等可能的.若P(X<3)=0.4，则下列结论正确的是( )
A. n=5B. P(X=1)=0.1C. E(X)=3D. D(X)=3
10.已知a x+1x210(a>0)的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中
( )
A. 奇数项的二项式系数和为256B. 第6项的系数最大
C. 存在常数项D. 有理项共有6项
11.现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是
( )
A. 若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法
B. 若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种
C. 若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种
D. 若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种
12.已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=1，当x≠−1时，其导函数f′(x)满足(x+1)[f′(x)−f(x)]>0，对于函数g(x)=f(x)ex，下列结论正确的是
( )
A. 函数g(x)在−1,+∞上为增函数B. x=−1是函数g(x)的极大值点
C. e2f(e)>eef(2)D. 函数g(x)有2个零点
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.掷一颗质地均匀的骰子，连续掷两次，设事件A=“两次的点数之和大于6”，B=“两次的点数均为偶数”，则P(B|A) ．
14.若x1,x2,⋅⋅⋅,xn的方差为2，则2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的方差为 ．
15.1+2x−3x24的展开式中含x5项的系数为 ．
16.若曲线y=x−alnx有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=2 3sinxcsx+2cs2x．
(Ⅰ)求f(x)最小正周期；
(Ⅱ)求f(x)在闭区间−π6,π3上的最大值和最小值．
18.(本小题12分)
已知数列an中，a1=2，且对任意n∈N*，都有an+1=2an−1．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=2n⋅an−1，求数列bn的前n项和Sn．
19.(本小题12分)
如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别为线段DD1，BD的中点．
(1)求异面直线EF与BC所成的角的余弦值；
(2)求三棱锥C−B1D1F的体积．
20.(本小题12分)
我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；
(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
21.(本小题12分)
已知椭圆M:x2a2+y2b2=1a>b>0经过12, 154和(1, 32)两点．
(1)求椭圆M的标准方程及离心率．
(2)若直线y=kx+3与椭圆M相交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使直线PA与PB的斜率之和为零？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22.(本小题12分)
设函数fx=2x2+bx−alnx．
(1)当a=5,b=−1时，求fx的单调区间；
(2)若对任意b∈−3,−2，都存在x∈1,e2(e为自然对数的底数)，使得fx<0成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查导数的运算，基本初等函数的导数公式，属于基础题．
根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式计算可得．
【解答】
解：因为 fx=cs2x⋅lnx ，
所以 ，
故选：C
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查二项展开式中指定项的系数，属于基础题．
由二项式定理将 (x+y)8 展开，然后得出 (x−y)(x+y)8 ，即可求出 x3y6 的系数．
【解答】
解：由二项式定理得：
(x−y)(x+y)8
=(x−y)(C80x8y0+C81x7y1+⋯+C88x0y8)
=x(C80x8y0+C81x7y1+⋯+C88x0y8)−y(C80x8y0+C81x7y1+⋯+C88x0y8)
=(C80x9y0+C81x8y1+⋯+C88x1y8)−(C80x8y1+C81x7y2+⋯+C88x0y9)，
观察可知 x3y6 的系数为 C86−C85=C82−C83=8×72×1−8×7×63×2×1=−28 ．
故选：B．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查全概率公式的计算，属于基础题
解题时以A1，A2分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，
则P(A1)=1220，P(A2)=820，设P(B|A1)=p，P(B|A2)=120，由全概率公式求解即可．
【解答】
解：以A1，A2分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，
则P(A1)=1220，P(A2)=820，设P(B|A1)=p，P(B|A2)=120，
则由全概率公式得，
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)
=35×p+25×120=0.08，解得p=110．
故选B．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查离散型随机变量分布列的性质及应用，属于基础题．
根据分布列的性质求得m的值，由 X−1<1 确定变量的取值，结合分布列求得答案．
【解答】
解：由分布列性质可得： 13+m+14+16=1 ，则 m=14 ，
由 PX−1≤1=P0≤X≤2=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=14+14+16=23 ，
故选：C
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查排列与组合的综合应用，考查分步乘法计数原理，属于基础题．
利用分步乘法计数原理，先选出2人安排在第一天，再选出2人安排在后两天，将结果乘起来即可．
【解答】
解：用分步计数原理．
第一步，从7个人中选2人负责值班第一天，不同安排方式的种数 C72 ；
第二步，剩余5人选取2人安排在第二天和第三天，不同安排方式的种数 A52 ．
所以，不同安排方式的种数可表示为 C72A52 ．
故选：D．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了独立重复试验及其概率计算，属于基础题．
由题可以得出前三局甲胜两局，且第4局甲获胜，从而得出结果．
【解答】
解：甲3: 1获胜，表示只比赛了4局，且第4局为甲获胜，前面3局中甲胜了两局，乙胜了一局，
设事件A为甲以3:1的比分获胜，
则P(A)=C32(23)2×13×23=827．
故选A．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查导数的应用，考查函数图像的应用，属于中档题．
作出函数 f(x) ， g(x) 的图像，数形结合求得参数k的范围．
【解答】
解：当 x>1 时，函数 f(x) ， g(x) 的图像有1个交点；
当x=1时，可得(1,0)为函数f(x) ， g(x) 的一个交点；
当0当k≤0时，显然不满足题意，
当k>0时，作出函数 f(x) ， g(x) 的图像，如图所示，
由 g′(x)=1x ，则易得曲线 y=lnx 在点 1,0 处的切线方程为 y=x−1 ，
故易得当k>1时，函数 f(x) ， g(x) 的图像在(0,1)内必有1个交点，
综上，当k>1时，函数y=fx的图象与gx=lnx的图象有3个交点，
故选：A．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题．
根据 gx=e−x+ax=e−x−a(−x) 构造 fx=ex−ax ，从而 gx≥0 恒成立等价于 fx≥0 恒成立，分离参数后转化求最值即可求解．
【解答】
解：因为 gx=e−x+ax=e−x−a(−x) ，令 fx=ex−ax，
所以 gx≥0 恒成立等价于 f(x)⩾0恒成立．
当 x=0 时， fx≥0 成立．
当 x≠0 时，令 hx=exx，
当 x<0 时， fx≥0 等价于 a≥exx ，而 hx=exx<0 在 −∞,0 上恒成立，
所以 a≥0 ．
当 x>0 时， fx≥0 等价于 a≤exx ，
而 h′x=ex(x−1)x2 ，
当 01 时， h′x>0,hx 单调递增．
所以 hxmin=h1=e ，
所以 a≤e ．
综上， 0≤a≤e ．
故选：B
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查分布列，期望和方差，属于基础题．
由等可能得出P(X=k)=1n,k=1,2,⋯,n，结合P(X<3)=P(X=1)+P(X=2)求出n值，再由期望公式和方差公式计算后判断．
【解答】
解：由题意P(X=k)=1n,k=1,2,⋯,n，
P(X<3)=P(X=1)+P(X=2)=2n=0.4，n=5，故A正确；
P(X=1)=15=0.2，故Ｂ错误；
E(X)=(1+2+3+4+5)×15=3，故C正确；
D(X)=15[(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2]=2，故D错误；
故选AC．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查二项展开式的系数与二项式系数问题，属于中档题．
令x=1即可求出a的值，再写出展开式的通项，一一判断即可．
【解答】
解：令x=1，得a+110=1024，则a=1或a=−3(舍去)．
∴ x+1x210的展开式的通项为Tr+1=C10r x10−r⋅1x2r=C10rx5−52r．
对于A，12C100+C101+⋯+C1010=12×210=512，故 A错误；
对于B，展开式共有11项，第6项的系数最大，故B正确；
对于C，令5−52r=0，解得r=2，故存在常数项为第三项，故 C正确；
对于D，当r=0,2,4,6,8,10时，为有理项，故有理项共有6项，故 D正确．
故选：BCD．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查两个计数原理的综合应用和排列、组合的综合应用，理解题意是解题的关键，本题属于中档题．
利用两个计数原理和排列、组合方法对选项逐一分析即可．
【解答】
解：对于A，4个不同的小球放入编号为1，2，3，4盒子，按分步乘法计数原理可得4×4×4×4=256种方法，故A错误；
对于B，4个相同的小球放入编号为1，2，3，4盒子，由于恰有二个空盒，则先从4个盒子中选2个空盒，有C42=6种方法；
再放球，一个盒子放3个，另一个盒子放1个，有2种放法；或者两个盒子分别放两个球，有1种放法，
则由分步乘法计数原理可得C42×2+1=18种，故B正确；
对于C，4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，则有两个盒子各放一个球，另一个放2个球，故先选出一个空盒子有C41种方法；
再从4个球中选出两个球作为一组，剩余两个球各为一组有C42种方法；
最后将分成3组的球放入剩下的三个盒子中有A33种方法，故一共有C41×C42×A33=144种方法，故C正确；
对于D，若(2,1,3,4)表示编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，3，4，列出所有符合要求的情况有(2,1,4,3)，(2,3,4,1)，(2,4,1,3)，(3,1,4,2)(3,4,2,1,)(3,4,1,2)，(4,1,2,3)，(4,3,2,1)，(4,3,1,2)共9种，故D正确．
故本题选BCD．
12.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查导数在研究函数中的应用，属于中档题．
由条件判断g(x)的单调性和极值，然后对选项逐一判断即可得到答案．
【解答】
解：由题意得g′(x)=f′(x)−f(x)ex，而(x+1)[f′(x)−f(x)]>0
当x>−1时，g′(x)>0，当x<−1时，g′(x)<0，
故g(x)在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增，
x=−1是函数g(x)的极小值点，故 A正确，B错误，
对于C，由单调性可知g(2)eef(2)，故 C正确，
对于D，g(−1)=ef(−1)，若f(−1)>0，则函数g(x)无零点，故 D错误，
故选：AC
13.【答案】27
【解析】【分析】
本题考查条件概率、古典概型的概率公式，属于基础题．
分别求出事件A，B及AB所包含基本事件的个数，再根据古典概型求得P(A),P(AB)，再根据条件概率公式即可得解．
【解答】
解：由题知，基本事件有6×6=36种，
两次的点数之和小于等于6有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3)，(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1)共15种，
则事件A出现的情况有36−15=21种，则P(A)=2136=712，
事件B出现的情况有(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)共9种，则事件A，B同时出现的情况有6种，所以P(AB)=636=16，
故P(B|A)=P(AB)P(A)=16712=27．
故答案为27．
14.【答案】8
【解析】【分析】
本题考查方差的计算，属于基础题．
根据方差的性质进行求解即可．
【解答】
解：因为 x1,x2,⋅⋅⋅,xn 的方差为2，
所以 2x1+3 ， 2x2+3 ，…， 2xn+3 的方差为 2×22=8 ，
故答案为： 8
15.【答案】120
【解析】【分析】
本题考查二项展开式中指定项的系数，属于中档题．
由题设得 1+2x−3x24=(1−x)4(1+3x)4 ，应用二项式定理写出所有含 x5 的项，将系数相加即可．
【解答】
解：由题意， 1+2x−3x24=(1−x)4(1+3x)4 ，
∴展开式中含 x5 的项为 C41(−x)⋅C44(3x)4+C42(−x)2⋅C43(3x)3+C43(−x)3⋅C42(3x)2+C44(−x)4⋅C41(3x) =−324x5+648x5−216x5+12x5=120x5 ．
∴展开式中含 x5 项的系数为 120 ．
故答案为： 120
16.【答案】−∞,−e2
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的零点，属于较难题．
先设切点坐标，再利用导数的几何意义，表示切线方程，然后根据切线方程过原点建立关于参数的方程(有两个根)，利用导数分析符合条件的情况即可．
【解答】
解：函数 y=x−alnx 的定义域为 0,+∞ ，则 y′=lnx+x−ax ．
设切点坐标为 m,n ， m>0 ，有 n=m−alnm ，
则切线方程为 y−n=lnm+m−amx−m ．
又因为切线过原点，
所以 0−n=lnm+m−am0−m ，即 m−alnm=mlnm+m−a ，
整理得 alnm+m−a=0 ，即关于 m 的方程 alnm+m−a=0 有两个不等实根．
解法一： lnm−1a=−m ，当 m=e 时，方程无解．
当 m≠e 时，即 a=m1−lnm ．
令 gm=m1−lnm ， m>0 ，则 g′m=2−lnm1−lnm2 ，
当 m∈0,e 时， g′m>0 ，函数 gm 在 0,e 上单调递增；
当 m∈e,e2 时， g′m>0 ，函数 gm 在 e,e2 上单调递增；
当 m∈e2,+∞ 时， g′m<0 ，函数 gm 在 e2,+∞ 上单调递减，
所以当 m=e2 时，函数 gm 取得极大值 ge2=−e2 ．
当 m∈0,e 时， gm>0 ，
当 m∈e,+∞ 时， gm<0 ，且当 m→e+ 时， gm→−∞ ，
当 m→+∞ 时， gm→−∞ ，所以实数 a 的取值范围是 −∞,−e2 ．
解法二：令 fm=alnm+m−a ， m>0 ，则 f′m=am+1=a+mm ，
当 a≥0 时， f′m>0 恒成立，函数 fm 单调递增，则函数 fm 至多有一个零点，因此不合题意；
当 a<0 时，令 f′m=0 ，即 m=−a ，
当 m∈0,−a 时， f′m<0 ，函数 fm 在 0,−a 上单调递减，且当 m→0 时， fm→+∞ ；
当 m∈−a,+∞ 时， f′m>0 ，函数 fm 在 −a,+∞ 上单调递增，且当 m→+∞ 时， fm→+∞ ，
所以函数 fm 的极小值为 f−a=aln−a+−a−a=aln−a−2 ．
若关于 m 的方程 alnm+m−a=0 有两个不等实根，即函数 fm 有两个零点，则 f−a=aln−a−2<0 ，又因为 a<0 ，所以 ln−a−2>0 ，即 −a>e2 ，所以 a<−e2 ，所以实数 a 的取值范围是 −∞,−e2 ．
故答案为： −∞,−e2
17.【答案】解：(Ⅰ) fx=2 3sinxcsx+2cs2x
= 3sin2x+cs2x+1
=2sin2x+π6+1，
所以 fx 的最小正周期 T=2π2=π ．
(Ⅱ)因为 fx=2sin2x+π6+1 在区间 −π6,π6 上是增函数，在区间 π6,π3 上是减函数，
又 fπ6=3 ， fπ3=2 ， f−π6=0 ，
故函数 fx 在区间 −π6,π3 上的最大值为3，最小值为0．

【解析】本题主要考查三角恒等变换，最值问题，意在考查学生的转化能力、分析能力以及计算能
力，难度不大，属于中档题．
(Ⅰ)先化简整理原式，通过周期公式即得答案；
(Ⅱ)先判断 fx 在 −π6,π3 上的增减性，从而可求出最大值和最小值．
18.【答案】解：(1)由 an+1=2an−1 得 an+1−1=2an−1 ， a1−1=1 ，
所以数列 an−1 是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以 an−1=1×2n−1=2n−1 ，所以 an=2n−1+1 ．
(2)由(1)得 bn=2n⋅2n−1=n⋅2n ，
所以 Sn=1×21+2×22+⋯+n×2n ，
2Sn=1×22+2×23+⋯+n×2n+1 ，
以上两式相减得 −Sn=21+22+⋯+2n−n⋅2n+1=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2 ，
所以 Sn=(n−1)⋅2n+1+2 ．

【解析】本题考查根据数列的递推关系式求数列的通项公式，等比数列的通项公式，以及错位相减法求和，属于中档题．
(1)由递推公式得等比数列，即可求通项公式；
(2)利用错位相减法求和．
19.【答案】解：(1)如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，

∵在棱长为2的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， E,F 分别为线段 DD1 ， BD 的中点，
∴ E0,0,1,F1,1,0,B2,2,0,C0,2,0,
∴ EF=1,1,−1,BC=−2,0,0 ．
设异面直线 EF 与 BC 所成的角为 θ,θ∈0,π2 ，
则 csθ=csEF,BC=EF⋅BCEF⋅BC=−2 3×2= 33 ．
∴异面直线 EF 与 BC 所成的角的余弦值为 33 ．
(2)∵在棱长为2的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， B1D1=B1C=D1C=2 2 ，
∴ S△B1D1C=12×2 2×2 2×sin π3=12×2 2×2 2× 32=2 3 ，
∵ B12,2,2,D10,0,2,C0,2,0,F1,1,0 ，
∴ D1B1=2,2,0,D1C=0,2,−2,D1F=1,1,−2 ．
设平面 D1B1C 的法向量为 n=x,y,z ，则 n⋅D1B1=0n⋅D1C=0 ，
∴ 2x+2y=02y−2z=0 ，令 x=1 ，则可取 n=1,−1,−1 ，
∴点F到平面 D1B1C 的距离 d=n⋅D1Fn=2 3=2 33 ．
∴三棱锥 C−B1D1F 的体积 VC−B1D1F=VF−B1D1C=13S▵B1D1C×d=13×2 3×2 33=43 ．

【解析】本题考查异面直线所成的角，三棱锥的体积，属于中档题．
(1)建立空间直角坐标系，求出 E,F,B,C 四点的坐标，并求出向量 EF,BC 的坐标，用夹角公式求异面直线 EF 与 BC 所成的角的余弦值；
(2)先由 B1D1=B1C=D1C 求出 S△B1D1C ，再求平面 D1B1C 的法向量 n 的坐标和向量 D1F 的坐标，从而可用点到平面的距离公式求点F到平面 D1B1C 的距离 d ，因为三棱锥 C−B1D1F 与三棱锥 F−B1D1C 是同一个三棱锥，则可用三棱锥的体积公式求出三棱锥 F−B1D1C 的体积，即为三棱锥 C−B1D1F 的体积．
20.【答案】解：(1)由题意可知，
甲、乙两家公司共答对2道题目可分为甲、乙各答对一题或者甲答对两题，乙答对0题；
所求概率P=C41C22C63×C31(23)1(1−23)2+C42C21C63×(1−23)3=115．
(2)设甲公司正确完成面试的题数为X，则X的取值分别为1，2，3．
P(X=1)=C41C22C63=15，P(X=2)=C42C21C63=35，P(X=3)=C43C20C63=15．
则X的分布列为：
∴E(X)=1×15+2×35+3×15=2，
D(X)=(1−2)2×15+(2−2)2×35+(3−2)2×15=25．
设乙公司正确完成面试的题为Y，则Y取值分别为0，1，2，3．
P(Y=0)=127，
P(Y=1)=C31×23×(13)2=29，
P(Y=2)=C32×(23)2×13=49，
P(Y=3)=(23)3=827
则Y的分布列为：
∴E(Y)=0×127+1×29+2×49+3×827=2．
D(Y)=(0−2)2×127+(1−2)2×29+(2−2)2×49+(3−2)2×827=23．
由E(X)=E(Y)，D(X)【解析】本题考查相互独立事件概率大计算公式及分布列期望的求法，方差的计算，考查计算能力．
(1)甲、乙各答对一题或者甲答对两题，乙答对0题，分别计算概率求和即可；
(2)设甲公司正确完成面试的题数为X，则X的取值分别为1，2，3，求出概率，得到X的分布列求解期望和方差；乙公司正确完成面试的题为Y，则Y取值分别为0，1，2，3，求出概率得到分布列，求出期望和方差，再比较即可．
21.【答案】解：(1)由题意可得 14a2+1516b2=1,1a2+34b2=1, ，解得 a2=4 ， b2=1 ，
故椭圆 M 的标准方程为 x24+y2=1 .椭圆 M 的离心率 e=ca= a2−b2a2= 32 ．
(2)假设存在满足条件的点 P ，则 kPA+kPB=0 ．
设 P0,t ， Ax1,y1 ， Bx2,y2 ，
联立 x24+y2=1,y=kx+3, 整理得 4k2+1x2+24kx+32=0 ，
则Δ=(24k)2−128(4k2+1)=64k2−128>0,k2>2，
x1+x2=−24k4k2+1 ， x1x2=324k2+1 ．
因为 kPA+kPB=0 ，所以 y1−tx1+y2−tx2=0 ，
所以 t=x1y2+x2y1x1+x2=2kx1x2x1+x2+3 ．
将 x1+x2=−24k4k2+1 ， x1x2=324k2+1 代入得， t=2kx1x2x1+x2+3=64k4k2+1−24k4k2+1+3=13 ．
综上，存在点 P0,13 ，使直线 PA 与 PB 的斜率之和为零．

【解析】本题主要考查求椭圆的标准方程和离心率，考查直线与椭圆的位置关系中的定点、定值问题，属于中档题．
(1)将两点坐标代入椭圆方程，解方程组即可得出椭圆的方程，根据公式求出椭圆离心率；
(2)设 P0,t ， Ax1,y1 ， Bx2,y2 ，联立直线与椭圆方程消元得一元二次方程，由 kPA+kPB=0 表示出t，结合韦达定理化简求值即可得出定点P．
22.【答案】解：(1)当 a=5,b=−1 时， fx=2x2−x−5lnx ，其定义域为 0,+∞ ，
f′x=4x−1−5x=4x2−x−5x=4x−5x+1x ，
由 f′x<0 ，得 00 ，得x>54 ，
所以 fx 的递减区间为 0,54 ， fx 的递增区间为 54,+∞．
(2)令 gb=xb+2x2−alnx,b∈−3,−2 ，则 gb 为增函数，
根据题意，对任意 b∈−3,−2 ，存在 x∈1,e2 ，使得 fx<0 成立，则
gbmax=g−2=2x2−2x−alnx<0 在 1,e2 上有解，
令 hx=2x2−2x−alnx ，只需存在 x0∈1,e2 ，使得 hx0因为 h′x=4x−2−ax=4x2−2x−ax ，又令 φx=4x2−2x−a,x∈1,e2 ，
φ′x=8x−2>0,x∈1,e2 ，所以 φx 在 1,e2 上单调递增，所以 φx>φ1=2−a ，
当 a≤2 时， φx>0 ，即 h′x>0 ，所以 hx 在 1,e2 上单调递增，所以 hx>h1=0 ，不符合题意．
当 a>2 时， φ1=2−a<0,φe2=4e4−2e2−a ，
若 φe2≤0 ，即 a⩾4e4−2e2=2e2(2e2−1)>2 时， φx<0 ，即 h′x<0 ， hx 在 1,e2 上单调递减，又 h1=0 ，所以存在 x0∈1,e2 ，使得 h(x0)<0 ，
若 φe2>0 ，即 2所以 ∃x0∈1,m ，使得 hx0综上所述，当 a>2 时，对任意 b∈−3,−2 ，存在 x∈1,e2 ，使得 fx<0 成立．

【解析】本题考查利用导数求函数的单调区间，利用导数研究恒成立与存在性问题，考查分析问题与解决问题的能力，属于难题．
(1)当a=5，b=−1时，求得函数解析式及定义域，求导，令f′(x)<0求得单调递减区间，f′(x)>0，求得单调递增区间;
(2)令g(b)=xb+2x2−alnx，b∈[−3,−2]，问题转化为g(b)max=g(−2)=2x2−2x−alnx<0在(1,e2)上有解，令 hx=2x2−2x−alnx，只需存在x0∈(1,e2)，使得h(x0)2时进行讨论，进而得到结论．
X
−1
0
1
2
P
13
m
14
16
X
1
2
3
P
15
35
15
Y
0
1
2
3
P
127
29
49
827