2022-2023学年山西省晋城市第一中学校高一上学期第五次调研数学试题（解析版）

晋城一中2022-2023学年高一年级第五次调研考试题

数学

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在下列给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.）

1. 若集合，且，则集合A可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据可得，从而可得正确的选项.

【详解】∵，∴，∵集合，∴选项A满足要求．

故选：A．

2. 已知命题，，若命题p是假命题，则a的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求得命题的否定，结合不等式恒成立，求解即可.

【详解】命题，是假命题，
，恒成立是真命题；
当时，恒成立，
当时，需，，解得，
当时，，不可能满足恒成立，
综上可得a的取值范围为.
故选：.

3. 已知函数图象如图1所示，则图2所表示的函数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根函数图象判断两个函数见的位置关系，进而可得解.

【详解】由图知，将的图象关于轴对称后再向下平移个单位即得图2，

又将的图象关于轴对称后可得函数，

再向下平移个单位，可得

所以解析式为，

故选：C.

4. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ）

A. 4 B.  C. 2 D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的解集确定为的两根，求得，可得，利用均值不等式可求得答案.

【详解】由题意关于x的不等式的解集为，其中，

可知 ，且为的两根，且，

即，即 ，

所以，当且仅当时取等号，

故选:C.

5. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，且，则不等式的解集为（　　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数性质，求得的解集，再结合题意求解即可.

【详解】根据题意，当或时，；当时，；

对不等式，

当时，，解得；或当时，，解得；

故该不等式的解集为：.

故选：A.

6. 为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（    ）倍.（当较小时，）

A. 1.27 B. 1.26 C. 1.23 D. 1.22

【答案】B

【解析】

【分析】把已知数据代入公式计算．

【详解】由题意，,

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题．

7. 函数的最大值为M，最小值为N，则（    ）

A. 3 B. 4 C. 6 D. 与m值有关

【答案】C

【解析】

【分析】利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解.

【详解】由题意可知，，

设，则的定义域为，

所以，

所以为奇函数，

所以，

所以,

故选：C.

8. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】推导出函数是周期函数，且周期为，利用对数的运算性质结合函数的周期性可求得的值.

【详解】因为，所以，，且，

由题意可得，所以，，

故函数周期函数，且周期为，

所以，

.

故选：B.

二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.选择完全正确得5分，少选漏选得2分，错选不得分）.

9. 设，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A：利用基本不等式“1”的妙用直接证明；

对于B：利用基本不等式直接证明；

对于C：利用基本不等式直接证明出，即可判断；

对于D：结合立方和公式得，再结合B选项即可判断.

【详解】解：对于A：因为，

所以，当且仅当，即时取等号，

所以成立.故A正确；

对于B：因为，

所以，当且仅当时取等号.

所以成立.故B正确；

对于C：因为，所以，

所以.

记，则，

所以，

所以，即.故C错误；

对于D：因为，

所以，，

由B选项知，

所以，即，故D选项正确

故选：ABD

10. 已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是定义域为上的“有界函数”.则下列函数中，其中“有界函数”是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】由题意可知有界函数的值域是不可能取到无穷大的，所以只要值域没取到无穷大的函数都是“有界函数”，每个选项依次判断即可.

【详解】选项A：显然，，对任意，不存在正数，使得，故 不是“有界函数”；

选项B：显然，，所以对任意，存在正数，都有成立，故是“有界函数”；

选项C：显然,，所以对任意，存在正数，都有成立，故是“有界函数”；

选项D：显然，，所以对任意，不存在正数，使得，故 不是“有界函数”.

故选：BC

11. 关于函数的性质的描述，正确的是（ ）

A. 的定义域为 B. 有一个零点

C. 的图象关于原点对称 D. 的值域为

【答案】AC

【解析】

【分析】对于选项A，对数要求真数大于0，且分式要求分母不等于0；对于选项B，根据定义域先将函数化简，然后令，便可求出零点；对于选项C，先化简，再根据判断函数奇偶性的定义进行判断；对于选项D，也先化简，然后再求值域.

【详解】对于选项A，由题意可知，函数有意义，则满足,解得 ，且，即函数的定义域为，所以选项A正确；

对于选项B，因为的定义域为，所以，由得，注意，没有零点，所以选项B不正确；

对于选项C，由上可知的定义域为，可得，则满足满足，所以函数为奇函数，则图象关于原点对称，所以选项C正确；

对于选项D，当时，，所以，又由函数为奇函数，可得的值域为，所以选项D不正确.

故答案为：AC

12. 关于x的方程，给出下列四个命题，其中真命题的是（    ）

A. 存在实数，使得方程恰有2个不同的实根

B. 存在实数，使得方程恰有4个不同的实根

C. 存在实数，使得方程恰有5个不同的实根

D. 存在实数，使得方程恰有8个不同的实根

【答案】ABCD

【解析】

【分析】分别取、、、计算对应方程的解后可得正确的选项.

【详解】取，则即为，

故，解得，故A正确.

取，则即为，故，

解得，或，故B正确.

取，则即为，

故，或解得，或，或，故C正确.

取，则即为，

故或，解得，或，或，

或，故D正确.

故选：ABCD.

【点睛】本题考查复合方程的解的个数的讨论，解题关键点是根据复合方程的性质将其转化为简单方程的解，本题属于较难题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若成立一个充分不必要条件是，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据充分不必要条件即可求的取值范围.

【详解】解：若成立的一个充分不必要条件是，

则，所以.

故答案为：.

14. 已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据分段函数的解析式讨论的取值范围，再利用指数函数、对数函数的单调性即可求解.

【详解】当时，的取值范围是,

当时，,

若存在最小值，则，

解得，

即实数的取值范围是.

故答案为：.

15. 定义在上函数满足且当时，，则使得在上恒成立的m的最小值是________．

【答案】8

【解析】

【分析】根据给定条件，依次求出函数在上的最大值、最小值，再借助函数图象求解作答.

【详解】上函数满足，当时，，，

当时，，，，

当时，，，，

当时，，，，

由得，，因此当时，恒成立，

观察图象知，，则有，所以m的最小值是8.

故答案为：8

【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系及给定区间上的解析式求解析式，在所求解析式的区间上任取变量，再变换到已知解析式的区间上是解题的关键.

16. 已知函数的图象关于直线对称，则_____，的最大值为_____．

【答案】    ①. 4    ②. 16

【解析】

【分析】

由可得函数零点，然后结合方程的根与系数关系可求a，b，然后利用导数即可求解最大值．

【详解】由可得或，即是函数的零点，

的图象关于直线对称，

故关于对称的点，

所以也是函数的零点，

故是的根，

故，

又，

，

令可得，

当或，，此时函数单调递减，

当或时，，此时函数单调递增，

又当时，，

．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性，函数图象的对称变换，函数的零点，函数与方程，属于难题．

四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分.

17. （1）计算：；

（2）化简：

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用对数的运算性质以及换底公式化简可得所求代数式的值；

（2）利用指数的运算性质、立方差公式可化简所求代数式.

【详解】解：（1）原式.

（2）原式.

18. 已知定义在上的函数，满足.

（1）求的解析式.

（2）若在区间上的最小值为6，求实数的值.

【答案】（1）   

（2）或.

【解析】

分析】（1）利用换元法求解即可；

（2）因函数对称轴为，讨论对称轴与区间关系可知函数单调性，从而求得函数，建立方程求解即可.

【小问1详解】

由，

令，即，，

则，，

所以.

【小问2详解】

函数对称轴为，

当，即时，函数在上单调递减，

则此时，，解得或（舍去）.

当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，

则此时，，不符合题意.

当时，函数在上单调递增，

则此时，，解得（舍去）或.

综上所述，或.

19. 节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数.

（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；

（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据：取）

【答案】（1）；（2）至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.

【解析】

【分析】（1）由题设可得方程，求出，进而写出函数模型；

（2）由（1）所得模型，结合题设，并应用对数的运算性质求解不等式，即可知要使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标至少要改良的次数.

【详解】（1）由题意得：，，

∴当时，，即，解得，

∴，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.

（2）由题意得，，整理得：，即，

两边同时取常用对数，得：，整理得：，

将代入，得，又，

∴，

综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.

20. 已知定义域为的函数是奇函数

（1）求实数的值；

（2）解关于的不等式.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由奇函数性质列方程求参数值；

（2）先利用单调性定义判断并证明的单调性，再结合奇函数性质可得，应用换元法并解一元二次不等式得，再由指数函数性质求不等式解集即可.

【小问1详解】

因为函数是定义域为的奇函数，

所以，即恒成立，

所以.

【小问2详解】

由（1）知，，故在上为增函数，

证明如下：任取且，

则.

因为，所以，又，

所以，函数在上为增函数.

由，

即，

即，

即.

令，即，解得，

即，即，

则不等式的解集为.

21. 已知函数（其中），函数（其中）.

（1）若且函数存在零点，求的取值范围；

（2）若是偶函数且函数的图象与函数的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）或.

【解析】

【分析】（1）根据题意，分离参数且利用对数型复合函数的单调性求得的值域，即可求得参数的取值范围；

（2）根据是偶函数求得参数，再根据题意，求解指数方程即可求得的取值范围.

【小问1详解】

由题意知函数存在零点，即有解.

又，

易知在上是减函数，又，，即，

所以，所以的取值范围是.

【小问2详解】

的定义域为，若是偶函数，则，

即解得.

此时，，

所以即为偶函数.

又因为函数与的图象有且只有一个公共点，故方程只有一解，

即方程有且只有一个实根.

令，则方程有且只有一个正根

①当时，，不合题意，

②当时，方程有两相等正根，则，

且，解得，满足题意；

③若一个正根和一个负根，则，即时，满足题意，

综上所述：实数的取值范围为或.

【点睛】本题考察利用函数奇偶性求参数值，以及对数方程的求解，对数型复合函数值域的求解，解决问题的关键是熟练的掌握对数函数的性质，属综合困难题.

22. 已知函数．（其中）

（1）若在上有两个零点，求实数的值；

（2）若对任意，使得恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）将函数写成分段函数的形式，分、结合二次函数的性质说明函数的单调性，即可得到函数在上必有一个零点，要使函数在上有两个零点，只需，解得即可；

（2）依题意可得，，对分、、三种情况讨论，分别求出函数的最值，即可求出参数的取值范围.

【小问1详解】

解：，

当时，

因为，所以对称轴，所以函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，对称轴，开口向下，

所以函数在上单调递增，且，所以函数在上必有一个零点，

要使在上有两个零点，则，解得或（舍去），

即当时在上有两个零点.

【小问2详解】

解：因为对任意，使得恒成立，

所以，，

当，即时在上单调递增，

则，，则，满足条件；

令，即，解得，

当，即时在上单调递增，在上单调递减，

且，

所以，，

所以，令，解得，

综上可得时；

令，解得或，显然，

当，即时，则在上单调递增，在上单调递减，上单调递增，，

此时，，

当时，此时，符合题意，

当时，此时，

令，解得，所以，

综上可得时均满足对任意，使得恒成立，

即实数的取值范围为.

【点睛】思路点睛：有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．