2022-2023学年湖南省娄底市新化县高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省娄底市新化县高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，全集则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据补集概念求解即可.

【详解】.

故选：C

2．已知，则“”是“”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】取判断充分性，根据不等式的性质判断必要性.

【详解】取，满足，但不满足，

故“”不是“”的充分条件.

若，则，

故“”是“”的必要条件.

故“”是“”的必要不充分条件.

故选:B.

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．无法确定

【答案】A

【分析】作差即可比较大小.

【详解】,

故.

故选:A.

4．（    ）

A． B． C． D．—

【答案】C

【分析】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案.

【详解】

.

故选：C

5．这三个数的大小顺序是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分别比较与中间值0和1的大小关系即可得答案.

【详解】解：因为，，，

所以，

故选：C.

6．将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】直接根据三角函数的平移得答案.

【详解】函数的图象向右平移个单位得到，

即

故选：C

7．给定函数，用表示中的较大者，记为，例如当时，，则的最小值为（    ）

A． B．0 C．1 D．4

【答案】B

【分析】将写出分段函数形式，画出图象，由图象可得最小值.

【详解】令，可得，即，解得；

令，可得，即，解得或.

所以.

作出的图象如图所示：

由图象可得的最小值为0.

故选:B.

8．已知函数,若实数,则函数的零点个数为(    )

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】根据分段函数做出函数的图象，运用数形结合的思想可求出函数的零点的个数，得出选项.

【详解】令，得，根据分段函数的解析式，做出函数的图象，如下图所示，因为，由图象可得出函数的零点个数为3个，

故选：D.

【点睛】本题考查函数的零点,考查学生分析解决问题的能力,关键在于做出函数的图象，运用数形结合的思想得出零点个数，属于中档题.

二、多选题

9．命题，．命题q：任意两个等边三角形都相似．关于这两个命题，下列判断正确的是（    ）

A．p是真命题 B．，

C．q是真命题 D．：存在两个等边三角形，它们不相似

【答案】BCD

【分析】根据根的判别式可判断命题的真假，根据等边三角形的性质判断命题的真假，从而判断AC，根据命题的否定可判断BD.

【详解】对于方程，,

所以，无解，故p是假命题，故A错误；

，，故B正确；

任意两个等边三角形都相似，故q是真命题，故C正确；

：存在两个等边三角形，它们不相似，故D正确.

故选:BCD.

10．下列运算正确的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】直接借助根式的运算法则计算即可.

【详解】对于A，，故A正确；

对于B，， 故B错误；

对于C，，故C正确；

对于D，，

，故D错误；

故选：AC.

11．下列说法不正确的是(    )

A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角

B．

C．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角

D．若，则与的终边相同

【答案】ACD

【分析】根据任意角的基本概念和三角函数定义即可逐项判断．

【详解】对于选项A，三角形内角范围是，其中90°不属于象限角，故A错误；

对于选项B，大小为2的角终边在第二象限，故cos2＜0，故B正确；

对于选项C，1弧度的角是长为半径的“弧”所对的圆心角，故C错误；

对于选项D，若，则α和β的终边相同或关于y轴对称，故D错误．

故选：ACD．

12．已知定义在R上的奇函数，当x∈[0，1]时，，若函数是偶函数，则下列结论正确的有（    ）

A．的图象关于对称 B．

C． D．有100个零点

【答案】ABD

【分析】由题设有、、，即关于对称且是周期为4的奇函数，利用周期性求、、，判断A、B、C；再画出与的函数部分图象，数形结合法判断它们的交点情况判断D.

【详解】由题设，，即，关于对称，A正确；

又，则，即是周期为4的奇函数，

由，即，

，B正确；

，，故，C错误；

综上，与的函数部分图象如下：

当，过点，故时与无交点；

由图知：上与有1个交点；

上的每个周期内与有两个交点，共有个交点；

而与且，即时无交点；

当，过点，故时与无交点；

由图知：上与有3个交点；

上的每个周期内与有两个交点，共有个交点；

而与且，即时无交点；

综上，共有个零点，D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．计算_____．

【答案】.

【详解】由对数的运算性质可得：，故答案为2.

14．已知函数的定义域是_____________.

【答案】

【分析】根据被开方数非负即可求解.

【详解】函数的定义域应满足，解得.

故函数的定义域为.

故答案为:.

15．已知函数和的图象均连续不断，若满足：，均有，则称区间为和的“区间”，则和在上的一个“区间”为_________．（写出符合题意的一个区间即可）

【答案】

【分析】结合正弦函数与余弦函数在区间上的正负性，得到答案.

【详解】和的定义域都是，

当时，，，满足“区间”的定义，

故和在区间上的一个“区间”可以是．

故答案为：

16．研究表明，函数 为奇函数时，函数 的图象关于点成中心对称，若函数的图象对称中心为，那么_____

【答案】

【分析】构造奇函数，即可求得的值，进而求得的值.

【详解】令，则，

则

由，可得为奇函数，

则函数的图象对称中心为，则

故答案为：

四、解答题

17．（1）知，计算；

（2）已知都是锐角，，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）对原式弦化切后求值即可；

（2）由已知及同角三角函数平方和是1求出，对变形成，再利用两角差的余弦公式计算.

【详解】解：（1），

；

（2）且是锐角，，

且，，

.

18．已知幂函数为偶函数.

(1)求幂函数的解析式；

(2)若函数，根据定义证明在区间上单调递增.

【答案】(1)；

(2)见解析.

【分析】（1）根据幂函数的定义可得，结合函数的奇偶性即可求解；

（2）由（1）得，设,作差即可证明.

【详解】（1）因为是幂函数，

所以,解得或.

当时，为偶函数，满足题意；

当时，为奇函数，不满足题意.

故.

（2）由（1）得，故.

设,

则，

因为，所以，，所以,

所以，即，

故在区间上单调递增.

19．为了做好新冠疫情防控工作，某学校要求全校各班级每天利用课间操时间对各班教室进行药熏消毒.现有一种备选药物，根据测定，教室内每立方米空气中的药含量（单位：mg）随时间（单位：）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中与成正比，药物释放完毕后，与的函数关系为（为常数），其图象经过，根据图中提供的信息，解决下面的问题.

(1)求从药物释放开始，与的函数关系式；

(2)据测定，当空气中每立方米的药物含量降低到mg以下时，才能保证对人身无害，若该校课间操时间为分钟，据此判断，学校能否选用这种药物用于教室消毒？请说明理由.

【答案】(1)；

(2)可以，理由见解析.

【分析】(1)将图象上给定点的坐标代入对应的函数解析式计算作答.

(2)利用(1)的结论结合题意，列出不等式求解作答.

【详解】（1）依题意，当时，设，因函数的图象经过点A，即，解得，

又当时，，解得，而图象过点，则，因此，

所以与的函数关系式是.

（2）由(1)知，因药物释放完毕后有，，

则当空气中每立方米的药物含量降低到mg以下，有，解得：，

因此至少需要36分钟后才能保证对人身无害，而课间操时间为分钟，

所以学校可以选用这种药物用于教室消毒.

【点睛】思路点睛：涉及实际应用问题，在理解题意的基础上，找出分散的数量关系，联想与题意有

关的数学知识和方法，将实际问题转化、抽象为数学问题作答.

20．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)设函数，求使成立的的取值集合.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据图象先求出周期可得，再由特殊点可得；

（2）由三角恒等变换化简出，解正弦型三角不等式即可得解.

【详解】（1）由已知得，

所以，所以，

又因为，

所以，因此.

（2）因为函数，

，

因为，则，

所以，

故，

所以符合条件的的取值集合为.

21．设函数．

(1)若不等式的解集，求a，b的值；

(2)若，

①，，求的最小值，并指出取最小值时a，b的值．

②求函数在区间上的最小值．

【答案】(1)

(2)①，时，取最小值2 ；②当时，的最小值为，当时，的最小值为．

【分析】（1）根据题意可知−1，1是方程的两根，结合韦达定理求解；（2）根据题意得，①利用基本不等式进行处理运算，注意“1”得运用；②分类讨论判断单调性求解．

【详解】（1）由的解集是知−1，1是方程的两根，

由根与系数的关系可得

解得

（2）由得，

①，，

，

当且仅当，即，时取等号，

的最小值是2．

②由于，得，则，

函数的图象对称轴为，

当时，在区间上单调递增，

则的最小值为，

当时，在区间上单调递减，

则的最小值为．

22．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数.

(1)已知，，判断和是不是倒函数，并说明理由；

(2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由；

(3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数.记，证明：是的充要条件.

【答案】(1)是倒函数，不是倒函数，理由见解析

(2)没有，理由见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）利用“倒函数”的定义判断函数、，可得出结论；

（2）分析可知当时，，则方程若存在整数解，则，构造函数，利用零点存在定理可得出结论；

（3）推导出函数为上的奇偶性、单调性，再利用函数的单调性、奇偶性结合充分条件、必要条件的定义证明可得结论.

【详解】（1）解：函数的定义域为，对任意的，，

所以，函数为倒函数，

函数的定义域为，该函数的定义域不关于原点对称，故函数不是倒函数.

（2）解：当时，则，由倒函数的定义可得，

由满足倒函数的定义，

当时，函数、均为增函数，故函数在上为增函数，

故当时，，当时，，

若函数有整数解，则，

设，则函数在上单调递增，

因为，，

所以，存在，使得，即，

故方程无整数解.

（3）解：因为函数是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数，

所以，，

任取、且，则，所以，，，

所以，

，

所以，函数为上的增函数，

因为，故函数为上的奇函数.

当时，即，则，所以，，

即“”“”；

若，则，所以，，即.

所以，“”“”.

因此，是的充要条件.

【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：

（1）定义法：一般步骤：设元作差变形判断符号得出结论；

（2）图象法：如果函数是以图象的形式给出或者函数的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；

（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；

（4）复合函数法：先将函数分解为内层函数和外层函数，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定.