2022-2023学年四川省射洪中学校高一上学期1月月考数学试题含答案

2022-2023学年四川省射洪中学校高一上学期1月月考数学试题

一、单选题

1．已知命题：，，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】将特称命题否定为全称命题即可

【详解】因为命题：，，

所以为，，

故选：B

2．用二分法求方程在内的近似解时，记，若，，，，据此判断，方程的根应落在区间（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由零点存在定理及单调性可得在上有唯一零点，从而得到方程的根应落在上.

【详解】因为与在上单调递增，所以在上单调递增，

因为，，所以在上有唯一零点，即，故，

所以方程的根落在区间上，且为，

对于ACD，易知选项中的区间与没有交集，故不在ACD选项中的区间上，故ACD错误；

对于B，显然满足题意，故B正确.

故选：B.

3．已知的解集为（），则的值为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】B

【分析】依题意可得为方程的根，代入计算可得；

【详解】解：因为的解集为（），

所以为的根，所以.

故选：B

4．设集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据对数函数单调性解出范围，得到集合，利用交集定义即可得到答案.

【详解】，即，

根据对数单调性知，故，

故，

故选：A.

5．下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据单调性排除BD，根据奇偶性排除C，A满足单调性和奇偶性，得到答案.

【详解】对选项A：，函数为偶函数，当时，为增函数，正确；

对选项B：在上为减函数，错误；

对选项C：，函数为奇函数，错误；

对选项D：在上为减函数，错误；

故选：A

6．函数 的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】本题首先根据判断函数的奇偶性排除,再根据,对应,排除,进而选出正确答案.

【详解】由函数 ， 可得，

故函数的定义域为，

又 ， 所以是偶函数，

 其图象关于轴对称， 因此 错误；

当 0时，， 所以错误．

故选:

7．已知函数，且函数的图像与的图像关于对称，函数的图像与的图像关于轴对称，设，，．则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用函数的对称性求出以及的解析式即可求解.

【详解】由函数，则关于对称的函数，

关于轴对称的函数，

，

，

，

所以.

故选：D

8．函数，若，且互不相等，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先画出函数图象，再求出，再结合基本不等式即可求解.

【详解】函数的图象如下图所示：

若，且互不相等，

不妨设，

则，即，

所以，

又，，

所以，

又由变形得，解得，

所以，

故选：C.

二、多选题

9．下列命题为真命题的是（    ）

A．是第四象限角

B．与角终边相同的最小正角是

C．已知一个扇形的圆心角为，所对的弧长为，则该扇形的面积为

D．已知角的终边经过点，且，则

【答案】AC

【分析】利用终边相同的角的意义判断AB；利用弧长、扇形面积公式计算判断C；利用三角函数定义计算判断D作答.

【详解】对于A，，则是第四象限角，A正确；

对于B，与角终边相同（连同角在内）的角为，

由，得与角终边相同的最小正角为，B错误；

对于C，扇形的圆心角为，即，于是得该扇形半径，扇形面积，C正确；

对于D，依题意，，解得，所以，D错误.

故选：AC

10．下列各式正确的是（    ）

A．设，则

B．已知，则

C．若，则

D．

【答案】ABC

【分析】根据指数运算法则和对数运算法则即可判断答案.

【详解】对于A，，故A对；

对于B，，故B对；

对于C，，，，故C对；

对于D，，故D错．

故选：ABC．

11．若函数（且）在上为单调函数，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．2

【答案】ABD

【分析】根据指数函数与一次函数的性质得到不等式组，需注意断点处函数值的大小关系；

【详解】解：因为函数（且）在上为单调函数，

所以或，解得或，所以满足条件的有ABD；

故选：ABD

12．已知函数，则（    ）

A．不等式的解集是

B．

C．存在唯一的x，使得

D．函数的图象关于原点对称

【答案】BD

【分析】对选项A，将题意转化为，再根据的单调性即可判断A错误，对选项B，根据求解即可判断B正确，对选项C，根据即可判断C错误，对选项D，根据奇函数的定义即可判断D正确.

【详解】对于A，不等式即，

又在上单调递减，所以，即，

解集为，A错误；

对于B，由得，，

又，

所以，B正确；

对于C，因为，所以，

所以不存在，使得，C错误；

对于D，定义域为，

，

故是奇函数，其图象关于原点对称，D正确．

故选：BD

三、填空题

13．已知幂函数的图象经过点，则          

【答案】

【分析】将点代入函数解得，再计算得到答案.

【详解】，故，所以.

故答案为：

14．若函数，且，则实数          

【答案】100

【分析】利用题意可得，利用换底公式即可求解

【详解】由， 可得，所以，

故答案为：100

15．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点M.则       

【答案】/

【分析】求出定点M的坐标，利用三角函数定义求出，再利用诱导公式计算作答.

【详解】由，得，，即点，，

因此，

所以.

故答案为：

16．已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为         

【答案】

【分析】把方程变形为，解出方程的根，再借助数形结合的思想求解作答.

【详解】方程化为：，则或，

由，得或，解得或，

由方程有五个不同的实数根，得方程有三个不同的实数根，

因此直线与函数的图象有3个交点，

在直角坐标系中作出的图象，如图，

观察图象知，当时，直线与函数的图象有3个交点，

所以实数的取值范围为.

故答案为：

四、解答题

17．已知集合：；集合（为常数）．

(1)当时，求；

(2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分别求出集合，由并集和补集的定义即可得出答案；

（2）由题意可得出是的真子集，则，解不等式即可求出答案.

【详解】（1）因为，所以，解得：，

所以，

，则，

当时，，所以或，

则.

（2）命题，命题，若是成立的必要不充分条件,

所以是的真子集，则（等号不能同时成立）.

实数的取值范围为：．

18．已知函数是定义域为的奇函数，当时，.

(1)求出函数在上的解析式；

(2)画出函数的图象，并根据图象写出的单增区间；

(3)已知有三个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)图像见详解，单调增区间： ；

(3).

【分析】（1）通过①由于函数是定义域为的奇函数，则；②当时，，利用是奇函数，．求出解析式即可；

（2）利用函数的奇偶性以及二次函数的性质画出函数的图象，写出单调增区间，单调减区间；

（3）利用函数的图像，直接观察得到的范围即可．

【详解】（1）①由于函数是定义域为的奇函数，则；

②当时，，因为是奇函数，所以．

所以．

综上：．

（2）函数图像如下所示：

由函数图像可知，函数的单调增区间为和．

（3）因为函数有三个零点，即方程有三个不同的解，由图像可知， ，即．

19．已知函数，

(1)当时，解不等式；

(2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）把代入，结合一元二次不等式的解法，求解指数不等式作答.

（2）利用方程解的意义分离参数，构造函数求出值域作答.

【详解】（1）当时，不等式化为：，即，

解得或，于是或，

所以不等式的解集为.

（2）方程化为：，

即，整理得，当时，，

因为方程在上有解，则有，

所以实数的取值范围是.

20．我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万美元，且当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.

（1）写出年利润(万美元)关于年产量(万部)的函数解析式：

（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.

【答案】（1）；（2）32万部，最大值为6104万美元.

【解析】（1）先由生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元，解得，然后由，将代入即可.

（2）当时利用二次函数的性质求解；当时，利用基本不等式求解，综上对比得到结论.

【详解】（1）因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.

所以，

解得，

当时， ，

当时， .

所以

（2）①当时， ，所以；

②当时， ，由于，

当且仅当，即时，取等号，所以此时的最大值为5760.

综合①②知，当，取得最大值为6104万美元.

【点睛】思路点睛：应用题的基本解题步骤：

（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；

（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；

（3）解应用题时，要注意变量的实际意义及其取值范围；

（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．

21．已知函数．

(1)若，求a的值；

(2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

(3)若对于恒成立，求实数m的范围．

【答案】(1)

(2)奇函数，证明见解析

(3)

【分析】（1）代入，得到，利用对数的运算即可求解；

（2）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算的数量关系，由此完成证明；

（3）将已知转化为，求出在的最小值，即可得解.

【详解】（1），，即，解得，

所以a的值为

（2）为奇函数，证明如下：

由，解得：或，所以定义域为关于原点对称，

又，

所以为奇函数；

（3）因为，

又外部函数为增函数，内部函数在上为增函数，

由复合函数的单调性知函数在上为增函数，

所以，

又对于恒成立，所以，所以，

所以实数的范围是

22．已知函数是定义在上的奇函数.

(1)求的值；

(2)判断函数的单调性，并利用结论解不等式；

(3)是否存在实数，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)是R上的增函数；

(3)

【分析】（1）根据奇函数的性质，求出a的值，再利用奇函数的定义进行验证即可；

（2）运用函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断函数的单调性，最后根据单调性的性质，通过解一元二次不等式进行求解即可；

（3）根据（2），通过函数的单调性的性质，结合换元法，一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.

【详解】（1）是定义在R上的奇函数，

，从而得出，

当时，，

；

（2）是R上的增函数，证明如下：

设任意，且，

，

，，，，

，

是在上是单调增函数.

，

又是定义在R上的奇函数且在上单调递增，

，

，

，

故解集为：；

（3）假设存在实数k，使之满足题意，

由（2）可得函数在上单调递增，

，

，n为方程的两个根，即方程有两个不等的实根，

令，即方程有两个不等的正根，设为，，

于是有且且，

解得：.

存在实数k，使得函数在上的取值范围是，并且实数k的取值范围是.