四川省射洪中学校2022-2023学年高二上学期入学考试数学试题（Word版含答案）

射洪中学高2021级2022年下期入学考试

数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．总分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．（    ）

A．0 B． C． D．1

3．已知向量，，若，则（    ）

A． B． C．1 D．2

4．若，则（    ）

A．2 B． C． D．

5．已知等比数列满足，，则（    ）

A．18 B．24 C．30 D．42

6．已知，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

7．圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）．当正午阳光照射在表上时，影子会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至．如图是根据蚌埠市（北纬32.92°）的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬天正午太阳高度角（即）约为80.51°．圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即的长）为7米，则表高（即的长）约为（已知，）

A．4.36米 B．4.83米 C．5.27米 D．5.41米

8．在中，已知，且，则的形状是（    ）

A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形

9．等比数列的各项均为正数，且，则（    ）

A．20 B．15 C．8 D．

10．已知的三边分别是，，，设向量，，且，则的大小是（    ）

A． B． C． D．

11．在锐角三角形中，分别是内角的对应边，设，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．满足，，设是内的一点（不在边界上），定义，其中，，分别表示，，的面积，若，则的最小值为（    ）

A．24 B．9 C．16 D．

第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）

13．数列前项和为，其中是首项为5，公比为5的等比数列，则______．

14．已知向量与的夹角为45°，，，则______．

15．设为锐角，若，则______．

16．将函数的图像与直线的所有交点从左至右依次记为，，，⋯，若，则______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（10分）已知函数．

（Ⅰ）当不等式的解集为，求实数，的值；

（Ⅱ）若对任意的实数，若不等式恒成立，求实数的取值范围．

18．（12分）已知各项都不相等的等差数列，，又，，成等比数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

19．（12分）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为3 m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设长方体底面长为，由于地形限制，，水池总造价为元．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）求的最小值．

20．（12分）如图，是四棱柱的三视图．

（Ⅰ）判定四棱柱是何种几何体，并画出其的直观图；

（Ⅱ）求四棱柱的外接球面的面积

（Ⅲ）求四面体的体积；

21．（12分）已知函数．

（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）求函数在区间上的值域；

（Ⅲ）在锐角中，角、、的对边分别为，，，若，，求面积的最大值．

22．（12分）已知数列的前项和，其中．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足，，

（ⅰ）证明：数列为等差数列；

（ⅱ）设数列的前项和为，求成立的的最小值．

高二上入学考试数学试题答案

一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．）

BADDC    BCBBB    AD

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．）

13．；14．10；15．；16．．

三、解答题

17．解：（Ⅰ）由或．

（Ⅱ）由对任意的恒成立，

又．所以实数的取值范围是．

18．解：（Ⅰ）∵为各项都不相等的等差数列，

，且，，成等比数列．∴

解得，，∴数列的通项公式．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，记数列的前项和为，

则．

记，，

则，．

故数列的前项和．

19．解：（Ⅰ）设底面宽为，则由，得，

∴．

（Ⅱ）

（Ⅲ）令，由，当且仅当时取“＝”．

当时，在时；当时，设任意，，且，

∴，

由，得，，，

∴，即．∴在单调递减．

∴在时，．

答：（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）当时，，当时，．

20．解：（Ⅰ）四棱柱是长方体，且其长、宽、高分别为5、4、3，其直观图如下图：

（2）长方体的对角线长即为外接球面直径，设为，

则外接球面的面积为．

（3）四面体的体积为．

21．解：（Ⅰ），

∴的最小正周期．

由，得，，

∴的单调递增区间为．

（Ⅱ）由，由为锐角，得．

由余弦定理，得．

∴，当且仅当时等号成立．∴．

∴面积的最大值为．

22．解：（Ⅰ）因为数列的前项和，

所以．

因为时，，也适合上式，所以．

（Ⅱ）（ⅰ）证明：当时，，将其变形为，即，

数列是首项为，公差为2的等差数列．

（ⅱ）解：由（ⅰ）得，，所以．

因为，所以，

两式相减得，整理得．

∴，即．∴，．