吉林省长春市博硕学校2023-2024学年高二数学上学期期初考试试题（Word版附答案）

长春博硕学校2023—2024学年度上学期

高二年级期初考试     数学学科试卷

考试时间：90分钟           满分：120 分

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．已知（i是虚数单位），z的共轭复数为，则的虚部为（      ）

A．2 B． C．1 D．

2．已知单位向量满足，则与夹角的大小为（      ）

A． B． C． D．

3．已知空间中三个互不相同的平面、、，两条不同的直线a、b，下列命题正确的是（      ）

A．若，，则 B．若，，，则

C．若，，，则 D．若，，则

4．“抽陀螺”是中国传统民俗体育游戏，陀螺上大下尖，将尖头着地，以绳绕之，然后抽打，使其旋转．如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面直径为2，圆锥与圆柱的高都为1，则该几何体的表面积为（      ）

A．               B． 

C．           D．

5．已知，则的值为（      ）

A． B． C． D．

6． 已知边长为1的正方形，点为中点，点满足，那么等于（      ）

A．2 B． C． D．

7．如图，湖南岳阳市岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．

为了测量岳阳楼的高度CD，选取了与底部水平的直线AC，测得

米，则岳阳楼的高度CD为（      ）

A．米 B．米 C．米        D．米

8．在正四棱锥中，，若该棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（      ）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）

9．若，则（      ）

A． B．

C． D．在复平面内对应的点在第四象限

10．已知空间向量，，则下列结论正确的是（      ）

A． B．

C． D．在上的投影向量的长度为

11．如图，在正方体中，分别为的中点，则（      ）

A．

B．平面

C．平面

D．直线与直线所成角的余弦值为

12．已知函数的部分图象如

图所示，下列结论正确的是（      ）

A．的周期为

B．的图象关于点对称

C．将函数的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象

D．方程在上有3个不相等的实数根

三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13．已知向量，若，则      ．

14．函数的最小正周期为        ．

15．如图，正方体中，E为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值为          ．

16．已知△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，若△ABC的面积为，则的取值范围为            ．

四、解答题（本题共4小题，每题10分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）

17．已知向量，，．

（1）求

（2）若与共线，求与的夹角．

18．如图，已知正方体的棱长为2．

（1）证明：平面；

（2）证明：BD⊥平面；

19．在中，内角所对的边分别为，且．

（1）求角的大小；

（2）若边上中线长为，求的面积．

20． 如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点．

（1）求证：平面PBC⊥平面；

春博硕学校2023—2024学年度上学期

高二年级数学学科期初考试参考答案

1．B  2．D  3．B  4．B  5．C  6．C  7．D  8．C

9．ABC   10．BD    11．AD    12．ACD

13．   14．    15．    16．

17．（1）（2）

【详解】（1）因为，，所以，

所以；

（2）因为，，所以由与共线得，

解得，此时，设，的夹角为θ，

则，又,故与的夹角为．

18．（1）证明见解析（2）证明见解析

【详解】（1）在正方体，且，

∴为平行四边形，∴，∵平面，平面

∴平面；

（2）∵正方体，底面ABCD，底面ABCD，∴，

∵正方形ABCD中，，又∵平面，平面，，

∴平面；  

19．（1）（2）

【详解】（1），

由正弦定理得，所以，所以，

因为，所以；

（2）由（1）得因为边上中线长为，

设中点为，所以，

所以，即，

所以，又因为，所以，解得，

所以．

20．（1）证明见解析；（2）．

【详解】（1）因为，，则，又平面，平面，则，

而，平面，因此平面，又平面，

所以平面平面．

（2）因为底面，，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则、、、、、，

设，，其中，

显然平面的一个法向量为，

依题意，，解得，

于是为的中点，即，设平面的法向量为，，，

则，取，得，

而平面的一个法向量为，

所以平面与平面夹角的余弦值为．