2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第三章一元函数的导数及其应用3.5导数的综合应用课件

这是一份2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第三章一元函数的导数及其应用3.5导数的综合应用课件，共55页。PPT课件主要包含了考试要求，题型一，思维升华，题型二，利用导数证明不等式，题型三，导数与函数的零点问题，课时精练，基础保分练，综合提升练等内容，欢迎下载使用。
导数的综合问题是高考的热点，常考查恒(能)成立、不等式的证明、函数的零点等问题，解题方法灵活，难度较大，一般以压轴题的形式出现.
导数与恒(能)成立问题
例1　(2023·福州模拟)已知函数f(x)＝ex＋(m＋1)x，(m∈R).(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
当m＝1时，f(x)＝ex＋(m＋1)x＝ex＋2x，定义域为R，f′(x)＝ex＋2，所以f(0)＝1，f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即y＝3x＋1.
①当m≤1时，h′(x)≥0恒成立，故h(x)在[1,2]上单调递增，故h(x)max＝h(2)＝mln 2－m≥0，解得m≤0，故m≤0；
②当1x2－2ax＋1，即证当a>ln 2－1且x>0时，ex－x2＋2ax－1>0.设g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x>0)，则g′(x)＝ex－2x＋2a，由(1)知g′(x)min＝2－2ln 2＋2a，又a>ln 2－1，则g′(x)min>0，于是对∀x∈(0，＋∞)，都有g′(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增.
于是对∀x>0，都有g(x)>g(0)＝0，即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
利用导数证明不等式的解题策略(1)待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究最值即可得证.(2)若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的.
(3)对于函数中含有ex和ln x与其他代数式结合的问题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明.常见的放缩公式如下：①ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号.②ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号.
跟踪训练2　(2023·苏州模拟)已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性；
函数的定义域为(0，＋∞)，
所以当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
综上，当a≤0时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
由(1)知，当a＝e时，函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－e.
所以当x∈(0,1)时，g′(x)0，函数g(x)单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝－e.
例3　(12分)(2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； [切入点：求f′(x)，f′(0)](2)若f(x)在区间(－1,0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围.[关键点：根据导数f′(x)对a分类讨论，对x分(－1,0)与(0，＋∞)两部分]
函数的零点问题有两种常见方法，一是分离参数法，作出函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数；二是利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定参数的范围或零点的个数.
跟踪训练3　已知函数f(x)＝ln x－(2k＋1)x(k∈R).(1)当k＝ 时，求证：f(x)