2022-2023学年江苏省无锡市东林教育集团九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省无锡市东林教育集团九年级（上）期末数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省无锡市东林教育集团九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列方程是一元二次方程的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知的半径为，当线段时，则点在(    )A. 内 B. 上 C. 外 D. 无法确定3.  已知四边形是圆内接四边形，，则的度数为(    )A.  B.  C.  D. 4.  中，，，，的值为(    )A.  B.  C.  D. 5.  若的内接正边形的边长与的半径相等，则为(    )A. 四 B. 五 C. 六 D. 七6.  某网络学习平台年的新注册用户数为万，年的新注册用户数为万，设新注册用户数的年平均增长率为，根据题意所列方程正确的是(    )A.  B.
C.  D. 7.  下列说法正确的是(    )A. 三点确定一个圆 B. 任何三角形有且只有一个内切圆
C. 长度相等的弧是等弧 D. 三角形的外心是三条角平分线的交点8.  如图，点、分别在，上，，，：(    )A. ：
B. ：
C. ：
D. ：9.  已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为(    )A.  B.
C.  D. 10.  如图，中，，，是的重心，的中点为，以为圆心，长为半径画，过点作的两切线段、，其中、为切点，则与的度数和为(    )A.
B.
C.
D. 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.  已知，则的值是______ ．12.  已知圆锥的底面半径是，母线长，则侧面积是        ．13.  请填写一个常数，使得关于的方程        有两个不相等的实数根．14.  数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为米的标杆影长为米，此时旗杆影长为米，则旗杆的高度为______ 米
 15.  已知，是一元二次方程的两根，则 ______ ．16.  如图，在边长为的正方形网格中，是的外接圆，点，，在格点上，则的值是______．
 17.  把二次函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么应满足条件______ ．18.  如图是以点为圆心，为直径的圆形纸片，点在上，将该圆形纸片沿直线对折，点落在上的点处不与点重合，连接，，设与直径交于点若，则______度；的值等于______．
 三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.  本小题分
计算：
；
．20.  本小题分
解方程：
；
．21.  本小题分
如图，在平行四边形中，过点作于，为上一点，且．
求证：∽；
若，，，求的长．
22.  本小题分
如图，平面直角坐标系中，点坐标，点坐标，点坐标，请按要求用无刻度直尺在格点图上完成下列作图．
以点为位似中心，位似比为：，将放大得到；
面积为______ ；
在图中画出外接圆的圆心，点的坐标为______ ．
23.  本小题分
小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图，已知，，，，．
连结，求线段的长．
求点，之间的距离．
结果精确到参考数据：，，，，，

 24.  本小题分
如图，线段为的直径，点，在上，，，垂足为点，连接，弦与线段相交于点．
求证：；
若，在的延长线上取一点，使，的半径为求证：直线是的切线．
25.  本小题分
如图，在中，，，：：，点从点出发沿方向向点运动，速度为，同时点从点出发沿方向向点运动，速度为，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．
______ ； ______ ；
设点的运动时间为秒，的面积为，当存在时，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
当点在上运动时，多少秒时的面积为？
26.  本小题分
【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？
【初步尝试】如图，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
【问题联想】如图，已知线段，请你用圆规和无刻度的直尺，在的上方作一个以为斜边的等腰直角三角形；
【问题再解】如图，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．
友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹

 27.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，点的坐标为，，，边与轴交于点．
直接写出点、、的坐标；
在轴上取点，直线经过点，与轴交于点，连接．
当时，求直线的函数表达式；
当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，求点的坐标．
28.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点．是抛物线上一点，且在直线的上方．
求抛物线的解析式；
若面积是面积的倍，求点的坐标；
如图，交于点，交于点记，，的面积分别为，，判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，是一元二次方程，故此选项符合题意；
B.，含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C.，未知数的最高次数不是，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D.，含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义进行解答即可．
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．2.【答案】 【解析】解：的半径为，，
点在上．
故选：．
点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径．
本题考查了点与圆的位置关系，判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．3.【答案】 【解析】解：四边形是圆内接四边形，
，
，
．
故选：．
根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可．
本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．4.【答案】 【解析】解：，，，
．
故选：．
根据正切公式即可得到答案；
本题考查正切的定义，熟练掌握其性质是解决此题的关键．5.【答案】 【解析】解：的半径与这个正边形的边长相等，
这个多边形的每条边所对的中心角为，
，
，
故选：．
由的半径与这个正边形的边长相等，推出这个多边形的每条边所对的中心角为，构建方程即可解决问题．
本题考查正多边形与圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6.【答案】 【解析】解：由题意可得，，
故选：．
根据年的新注册用户数为万列方程即可得到答案；
本题考查一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找到等量关系式．7.【答案】 【解析】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故A不符合题意；
B.任何三角形有且只有一个内切圆，故B符合题意；
C.能够重合的弧是等弧，故C不符合题意；
D.三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故D不符合题意；
故选：．
根据确定圆的条件，三角形的内切圆与内心，等弧的概念，三角形的外接圆与外心，逐一判断即可．
本题考查了确定圆的条件，三角形的内切圆与内心，等弧的概念，三角形的外接圆与外心，熟练掌握圆的有关概念和性质是解题的关键．8.【答案】 【解析】解：，，
∽，
，
，
，
：：．
故选：．
根据∽，可得，即可求解．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．9.【答案】 【解析】解：，
，
故A，选项不符合题意；
当时，
，
对称轴，
故B选项不符合题意；
当时，，
对称轴，
故C选项符合题意，
故选：．
根据，可知，可排除，选项，当时，可知对称轴，可排除选项，当时，可知对称轴，可知选项符合题意．
本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．10.【答案】 【解析】解：如图所示，连接，，，

是的重心，的中点为，
在上，
，
、是的切线，
，，，
，
，
，
．
故选：．
连接，，，根据重心的性质得出，进而得出，根据切线长定理得出，根据三角形内角定理即可求解．
本题考查了切线长定理，根据特殊角的三角函数值求角度，三角形重心的性质，三角形内角和定理，掌握三角形重心的性质是解题的关键．11.【答案】 【解析】解：设，
，，，
．
故答案为：．
首先设，即可得，，，然后将其代入，即可求得答案．
此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握比例变形与设的解题方法．12.【答案】 【解析】解：圆锥的底面周长是：，
则圆锥的侧面积是：．
故答案是：．
首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．
本题考查了扇形的面积公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．13.【答案】答案不唯一 【解析】解：，，设常数为，
，
．
故答案为：答案不唯一．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的不等式，求解即可得出答案．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．14.【答案】 【解析】解：设旗杆为，如图所示：

根据题意得：∽，
，
米，米，米，
，
解得：．
故答案为：．
根据同时、同地物高和影长的比不变，构造相似三角形，然后根据相似三角形的性质解答．
本题考查了中心投影、相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．15.【答案】 【解析】解：，是一元二次方程的两根，
．
故答案为：．
根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．16.【答案】 【解析】解：连接，，和相交于点，
是的直径，
，
，，
，
，
，
的值是，
故答案为：．
先连接，，然后根据题意，可以求得的值，再根据圆周角定理可以得到，从而可以得到的值．
本题考查三角形的外接圆和外心、圆周角定理、解直角三角形，解答本题的关键是求出的余弦值．17.【答案】且． 【解析】解：由题意可得，
平移后函数解析式为：，
平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，
抛物线与轴有两个交点，
即：方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
当时，函数，过坐标原点，不符合题意，
且．
故答案为：且．
根据平移得到新函数解析式，再根据抛物线与坐标轴有三个公共点，即抛物线与轴有两个交点，根据判别式关系求解即可得到答案．
本题考查二次函数与坐标轴交点问题，解题的关键是掌握抛物线与轴必有一个交点，与轴交点取决于令时方程的判别式．18.【答案】； 【解析】【分析】
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．由等腰三角形的性质得出，证出，由折叠的性质得出，设，证出，，由三角形内角和定理可得出的度数；证明∽，由相似三角形的性质得出，设，，得出，求出，证明∽，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】
解：，
，
，，
，
将该圆形纸片沿直线对折，
，
又，
，
设，
，
，
，
，
，
；
，
，
，，
∽，
，
，
设，，
，
解得，负值舍去，
，
，
，，
∽，
，
．19.【答案】解：原式
；
原式

． 【解析】根据幂的运算法则，零指数幂及特殊角三角函数直接计算即可得到答案；
根据幂的运算法则，去绝对值及特殊角三角函数直接计算即可得到答案．
本题考查幂的运算法则，零指数幂，特殊角三角函数及去绝对值，解题的关键是熟练掌握及特殊角三角函数值．20.【答案】解：由原方程得：，
得，
解得，，
所以，原方程的解为，；
由原方程得：，
得，，
得，
解得，，
所以，原方程的解为，． 【解析】利用直接开平方法解此方程，即可求解；
利用配方法解此方程，即可求解．
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
∽；
解：，，
，
，，
，
在中，，
得，
解得负值舍去，
∽，
，
，
． 【解析】由平行四边形的性质结合条件可得到，，据此即可证得结论；
由平行线的性质可知，在中，由含度角直角三角形的性质及勾股定理可求得，再根据相似三角形的性质即可解答．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．22.【答案】   【解析】解：如图所示，即为所求；

如图，



，
故答案为：；
如图，找到格点，，作，的垂直平分线，，交于点，则点即为所求，

点的坐标为．
故答案为：．
根据位似的性质，画出将放大得到的，即可求解．
根据，即可求解．
到格点，，作，的垂直平分线，，交于点，则点即为所求，根据坐标系写出点的坐标即可求解．
本题考查了画位似图形，坐标与图形，确定三角形的外心，数形结合是解题的关键．23.【答案】解：如图，过点作于点，

，．
，
，
，
线段的长约为；
横截面是一个轴对称图形，
延长交、延长线于点，
连接，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
点，之间的距离． 【解析】过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，利用锐角三角函数即可解决问题；
根据横截面是一个轴对称图形，延长交、延长线于点，连接，所以，根据直角三角形两个锐角互余可得，然后利用锐角三角函数即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．24.【答案】证明：延长交于，如图，
，
，
，
，
，
；
连接交于，如图，
，
，
在中，，
，
，
，，
，
而，
∽，
，
，
直线是的切线． 【解析】延长交于，如图，利用垂径定理得到，则可证明，然后根据圆周角定理得，从而得到；
连接交于，如图，先利用垂径定理得到，再在中利用解直角三角形得到，，接着证明∽得到，然后根据切线的判定定理得到结论．
本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．25.【答案】   【解析】解：设，，
在中，，
得，
解得负值舍去，
，，
故答案为：，；
解：如图：当在上运动时，过作于点，

，，
，
，，
∽，
，
，
解得，
；
如图：当在上运动时，过作于点，

，的路程为，
，，
，，
∽，
，
，
解得，
，
综上，；
解：当点在上运动时，，
当时，，
解得，舍去，
故当点在上运动时，秒时的面积为．
由在中，设，，由勾股定理即可求得、的长；
分别从当点在边上运动与当点在边上运动去分析，首先过点作的垂线，利用相似三角形的性质即可求得的底与高，则可求得与的函数关系式；
把代入中的解析式，即可求解．
本题主要考查了勾股定理，求函数的关系式、勾股定理的应用、相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，采用分类讨论是解题的关键．26.【答案】解：【初步尝试】如图，直线即为所求；
【问题联想】如图，三角形即为所求；
【问题再解】如图中，即为所求．
 【解析】本题考查作图复杂作图，等腰直角三角形，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【初步尝试】作的角平分线所在直线即可；
【问题联想】作线段的垂直平分线，垂足为，在射线上截取，连接，，三角形即为所求；
【问题再解】构造以为斜边的等腰直角三角形，以为圆心，为半径画弧分别交、于点、，弧即为所求．27.【答案】解：点的坐标为，
．
矩形中，，
，，，．
，，；
点，
．
，
．
．
，
．
．
．
．
解得：．
直线的函数表达式为：；
设的中点为，过点作于点，延长交于点，则，如图，

由题意：以线段为直径的圆与矩形的边，所在直线相交．
以线段为直径的圆与矩形的边，所在直线可能相切．
Ⅰ、当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切相切时，
则．
设，则．
．
，，，
．
，
为梯形的中位线．
．
．
解得：．
经检验，是原方程的根，
；
Ⅱ、当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切相切时，
则．
，，，
．
，
为梯形的中位线．
．
．
解得：．
经检验，是原方程的根，
．
综上，当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，点的坐标为或． 【解析】利用矩形的性质求出相应线段，利用点的坐标的意义解答即可；
求出线段，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的边角关系求得点的坐标，再利用待定系数法解答即可；
利用分类讨论的思想方法分两种情况：Ⅰ、当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切相切时，Ⅱ、当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切相切时，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质，待定系数法确定直线的解析式，点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．28.【答案】解：将，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为：
设直线的解析式为：，
将，代入，
，
解得，
，，
，
，即，
过点作轴于点，与交于点，过点作于点，如图，

，
，
设点的横坐标为，
，，
．
解得或；
或．
，
∽，
：：：，
，，
，
设直线交轴于点则，
过点作轴，垂足为，交于点，如图，

，
，
，
，
，
：：，
设，
由可知，，
．
，
当时，的最大值为． 【解析】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、三角形面积、相似三角形的判定与性质等基础知识，考查数形结合、函数与方程，函数建模等数学思想方法，考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养．
将点，的坐标代入二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可；
利用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，与交于点，过点作于点，可分别表达和的面积，根据题意列出方程求出的长，设出点的坐标，表达的长，求出点的坐标即可；
根据三角形面积推出再证明，得出：：，进而得出，表示出，求最值即可．