2022-2023学年安徽省合肥市六校高二下学期7月期末联考数学试题含答案

2022-2023学年安徽省合肥市六校高二下学期7月期末联考数学试题

一、单选题

1．已知数列满足，则（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】利用数列的递推关系式，逐步求解数列的即可．

【详解】解：数列满足，，

所以，

．

故选：B．

【点睛】本题主要考查数列的递推关系式的应用，属于基础题．

2．设函数在处的导数为2，则（    ）

A． B．2 C． D．6

【答案】D

【分析】根据极限的运算法则和导数的定义，即可求解.

【详解】根据导数的定义，可得.

故选：D．

3．已知等差数列中，，则该数列的前11项和（    ）

A．22 B．44 C．55 D．66

【答案】B

【分析】利用等差数列的性质可求.

【详解】因为，

故选：B.

【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式和等差数列的性质的应用，属于简单题.

4．已知等比数列的前n项和为，若，则的公比（    ）

A． B． C．或1 D．或1

【答案】B

【分析】根据等比数列的前n项和公式运算求解，注意讨论公比是否为1.

【详解】当时，则，不合题意，舍去；

当时，则，解得；

综上所述：.

故选：B.

5．在展开式中，的系数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】用二项式定理的通项公式展开，使得的系数为，可以确定的值，即可求得.

【详解】因为的通项为，当时，.

所以的系数为.

故选：B

6．将六位数“”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为 （    ）

A． B． C．216 D．

【答案】D

【分析】由题意，分末尾是或，末尾是，即可得出结果.

【详解】由题意，

末尾是或，

不同偶数个数为，

末尾是，

不同偶数个数为，

所以共有个.

故选：D

7．已知随机变量，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由随机变量分布列的性质求出，即可求出．

【详解】随机变量的分布列为，

，，

.

故选：D．

8．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】因为函数在内单调递增，转化为导函数在恒成立.

【详解】,因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.因为在上单调递减，所以当时，，所以，

则的取值范围为.

故选：B

二、多选题

9．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】根据函数求导公式和运算法则，计算即可.

【详解】对于A选项：（，所以A选项错误；

对于B选项：，所以B选项错误；

对于C选项：由公式得，所以C选项正确；

对于D选项：，所以D选项正确；

故选：CD.

10．下列结论正确的是（    ）

A．若变量y关于变量x的回归直线方程为，且，，则

B．若随机变量的方差，则

C．若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则B组数据比A组数据的相关性较强

D．残差平方和越小，模型的拟合效果越好

【答案】ACD

【分析】对于A，结合回归方程的性质即可判断；对于B，结合随机变量的方差的性质即可判断；

对于C，结合相关系数的定义即可判断；对于D，结合残差的定义即可判断.

【详解】对于A，因为回归直线经过点，所以将代入回归直线方程，得，所以A正确；

对于B，因为，所以，所以B错误；

对于C，因为，所以B组数据比A组数据的相关性较强，所以C正确；

对于D，回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好，所以D正确.

故选：ACD.

11．已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（    ）

A． B．

C．当时，是的最大值 D．当时，是的最小值

【答案】ACD

【分析】根据等比中项的性质得到方程，即可得到，再根据等差数列的通项公式、求和公式及单调性判断即可.

【详解】因为，，成等比数列，所以，即，

整理得，因为，所以，

所以，则，故A正确、B错误；

当时单调递减，此时，

所以当或时取得最大值，即，故C正确；

当时单调递增，此时，

所以当或时取得最小值，即，故D正确；

故选：ACD

12．有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（    ）

A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015

B．任取一个零件是次品的概率为0.0525

C．如果取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为

D．如果取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为

【答案】ABD

【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率判断、正误；应用条件概率公式求、描述中对应的概率，判断正误．

【详解】对于A，由题意任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，正确；

对于B，由题设，任取一个零件是次品的概率为，正确；

对于C，由条件概率，取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为，错误；

对于D，由条件概率，取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为，正确．

故选：ABD．

三、填空题

13．已知随机变量服从，若，则          .

【答案】/

【分析】利用正态曲线的对称性可求得的值.

【详解】因为，则.

故答案为：.

14．若，则的值为          ．

【答案】

【分析】直接令即可求解.

【详解】令，可得.

故答案为：.

15．在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）+2（物理、历史）选1+4（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为              .

【答案】

【分析】先计算出甲、乙两位同学选考的总数，再分两种情况求出甲、乙两位同学恰有两科相同的总数，利用古典概型求概率公式进行求解.

【详解】由题意得出甲、乙两位同学选考的总数为种，

若相同的科目为4选2的科目，从4科中选2科，有种选择，

则2选1两人选择不同，由种选择，共有种；

若相同的科目为2选1和4选2中的各1个，从4科中先选出1科相同的，有种选择，甲乙再分别从剩余3科中选择1个不同的，有种选择，再从2选1中选择一科相同的，有种选择，共有种，

所以所求概率为.

故答案为：.

16．已知函数，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围是      .

【答案】

【分析】利用导数求出函数的单调性与极值，画出函数图象，数形结合即可得解.

【详解】当时，，，

所以当时，当或时，

所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，；

当时，，，所以当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，令，则，又.

作出函数的函数图象如下：

若有且只有三个零点，即与只有三个交点，

由图可知需满足.

故答案为：

四、解答题

17．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数.

(1)全体站成一排，甲、乙不在两端；

(2)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；

(3)全体站成一排，男生彼此不相邻.

【答案】(1)2400

(2)288

(3)1440

【分析】（1）特殊元素优先排求解；

（2）利用捆绑法求解；

（3）利用插空法求解.

【详解】（1）先在中间五个位置选两个位置安排甲，乙，然后剩余5个人在剩余五个位置全排列，

所以有种.

（2）相邻问题，利用捆绑法，共有种.

（3）即不相邻问题，先排好女生共有种排法，男生在5个空中安插，共有种排法，

所以共有种.

18．在①,②,③这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知等差数列的前项和为,______,______.

(1)求数列的通项公式;

(2)设,求数列的前项和.

注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据是等差数列,设出公差为,选择两个选项,将首项公差代入,解方程组,即可求得基本量,写出通项公式;

(2)根据(1)中的通项公式,写出的通项,利用裂项相消即可求得前项和.

【详解】（1）由于是等差数列,设公差为,

当选①②时:,解得,

所以的通项公式.

选①③时:,解得,

所以的通项公式.

选②③时:,解得,

所以的通项公式.

（2）由(1)知,,

所以,

所以

.

19．为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%.

(1)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断，依据小概率值α=0.15的独立性检验，分析学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别是否有关?

(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望

附：，其中.

【答案】(1)表格见解析，学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关

(2)分布列见解析，

【分析】（1）由题可得列联表，根据列联表可得进而即得；

（2）由题可得X的取值，然后利用古典概型概率公式求概率，进而可得分布列，再利用期望公式即得.

【详解】（1）列联表如下：

零假设为  ：学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关

依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关；

（2）由题意可知的取值可能为0，1，2，3，

则，，

，，

故X的分布列为

.

20．设等比数列的前项和为，已知，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等比数列的公比为，根据，作差求出公比，即可得出答案；

（2）由（1）得，可得，利用分组求和法计算可得．

【详解】（1）设等比数列的公比为，

①，，

当时，有，

当时，②，

由①②得，即，

，，

，

；

（2）由（1）得，则，

，，

，

．

21．已知函数，．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论的单调性．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）由导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；

（2）求导后，分别在、和的情况下，根据正负得到函数单调性.

【详解】（1）当时，，则，，又，

在点处的切线方程为：，即.

（2）由题意得：定义域为，；

当时，，在上单调递增；

当时，若，则；若，则；

在上单调递增，在上单调递减；

当时，若，则；若，则；

在上单调递增，在上单调递减；

综上所述：当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

22．已知函数，.

(1)求证：；

(2)若，问是否恒成立?若恒成立，求a的取值范围；若不恒成立，请说明理由

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）直接作差令，求导判定差函数单调性及最小值即可得出结论；

（2）令，利用端点效应即得出时恒成立，再证明充分性即可.

【详解】（1）令，，

当，，所以此时单调递减；

当，，所以此时单调递增；

即当时，取得极小值也是最小值，所以，得证；

（2）设，

即证在上恒成立，

易得，

当时，若，

下面证明：当时，，在上恒成立，

因为，设，

令，

所以在上是单调递增函，所以，

又因为，则

所以在上是单调递增函数，

所以，所以在上是严格增函数，

若时，，即在右侧附近单调递减，此时必存在，

不满足恒成立，

故当时，不等式恒成立.

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．