2022-2023学年安徽省合肥第一中学高二下学期期末联考数学试题含答案

2022-2023学年安徽省合肥第一中学高二下学期期末联考数学试题

一、单选题

1．下列求导运算不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据导数的运算法则逐个分析判断即可

【详解】对于A选项，，A对；

对于B选项，，B对；

对于C选项，，C对；

对于D选项，，D错．

故选：D．

2．某工厂利用随机数表对生产的800个零件进行抽样测试，先将800个零件进行编号，001，002，……，799，800．从中抽取80个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（    ）

32 21 18 34 29    78 64 54 07 32    52 42 06 44 38    12 23 43 56 77    35 78 90 56 42

84 42 12 53 31    34 57 86 07 36    25 30 07 32 86    23 45 78 89 07    23 68 96 08 04

32 56 78 08 43    67 89 53 55 77    34 89 94 83 75    22 53 55 78 32     45 77 89 23 45

A．732 B．328 C．253 D．007

【答案】B

【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到800内的数，重复的只取一次即可

【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，

第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，

下一个数是860，不符合要求，第四个数是736，

下一个是253，重复，第五个是007，第六个是328．

故选：B．

3．等差数列的前n项和为，若则公差（    ）

A．1 B．2 C．－1 D．－2

【答案】D

【分析】根据等差数列的前项和公式和等差数列的概念可证数列是首项为，公差为的等差数列，再根据等差数列的性质，可知，由此即可求出结果.

【详解】数列为等差数，设其公差为，

则等差数列的前项和，

所以，所以，

所以数列是首项为，公差为的等差数列；

所以，所以.

故选：D.

4．袋中有大小相同质地均匀的5个黑球、3个白球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（    ）

A．至少取到1个黑球 B．取到黑球的个数

C．至多取到1个黑球 D．取到的球的个数

【答案】B

【分析】根据随机变量的定义即可求解.

【详解】根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是B选项，其中A、C选项是事件，D选项取到球的个数是2个为确定值，ACD错误；

故选：B．

5．某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗，并在1000名志愿者身上进行了人体注射实验，发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答．若这些志愿者的某免疫反应蛋白M的数值X（单位：）近似服从正态分布，且X在区间内的人数占总人数的，则这些志愿者中免疫反应蛋白M的数值X不高于20的人数大约为（    ）

A．120 B．760 C．880 D．920

【答案】C

【分析】根据正态分布的性质结合已知条件求解.

【详解】，又，

，

∴，

这些志愿者中免疫反应蛋白M的数值X不高于20的人数大约为，

故选：C．

6．某学习小组用计算机软件对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出经验回归方程，样本点的中心为．乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，数据误输成，将这两个数据修正后得到经验回归方程，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据样本点的中心为，求得m=9，然后利用样本点的中心，由甲求得，，再由乙求得样本点的中心，代入回归直线方程求解.

【详解】解：由题可知，假设甲输入的为，为，

所以，，

所以，，

所以改为正确数据时得，，

所以样本点的中心为，

将其代入回归直线方程，得．

故选：D

7．若数列和满足，，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据递推关系可得是以2为首项，2为公比的等比数列，进而得，即可根据代入求解.

【详解】因为，，

所以，即，

又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以，又，即，

所以

所以；

故选：B

8．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【分析】根据对数的运算性质将不等式等价为恒成立，构造函数，，利用导数求解函数单调性进而得最值即可求解.

【详解】因为，不等式成立，即，进而转化为恒成立，

构造函数，可得，

当，，单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，即恒成立，

设，可得，

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

所以当，函数取得最大值，最大值为，

所以，即实数m的取值范围是．

故选：B．

【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

二、多选题

9．下列说法中正确的是（    ）

A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1

B．，

C．用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好

D．对分类变量X与Y，它们的随机变量的观测值来说，越小，“X与Y有关系”的把握程度越大

【答案】AC

【分析】根据相关系数的定义即可判断A，根据方差和期望的性质可判断B，根据残差的定义可判断C，根据独立性检验的思想可判断D.

【详解】对于A选项，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，正确；

对于B选项，，，故B选项错误；

对于C选项，残差平方和越小的模型拟效果越好，故C选项正确；

对于D选项，随机变量的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越小，D错；

故选：AC

10．已知为满足能被9整除的正整数的最小值，则的展开式中，下列结论正确的是（    ）

A．第7项系数最小 B．第6项二项式系数最大

C．第7项二项式系数最大 D．第6项系数最小

【答案】BD

【分析】由已知可得，则可得，可求得，然后利用二项式的性质可得结论.

【详解】因为

因为，所以S能被9整除的正整数a的最小值是，得，

所以，所以的展开式中，二项式系数最大的项为第6项，

的展开式的通项公式为，

因为第6项的系数为负数，所以第6项系数最小，

故选：BD．

11．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角垛）．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据题意可得递推关系，进而可判断A，根据累加法可得，进而可判断CB,根据裂项求和即可判断D.

【详解】由题意得，，故A错误，

以上n个式子累加可得，

又满足上式，所以，有，故C正确；

则，，，，，，

得，故B正确；

由，

得，故D不正确．

故选：BC．

12．定义在上的函数的导函数为，对于任意实数x，都有，且满足，则（    ）

A．函数为偶函数

B．

C．

D．不等式的解集为

【答案】ABD

【分析】令，结合已知及函数奇偶性的定义即可判断A；由已知可得的解析式即可判断B，C；将不等式进行转化，即可求解不等式的解集，从而判断D．

【详解】，函数定义域为R，由，有，即，函数为偶函数，故选项A正确；

由，得，

即，，

有，得，

，

得，，故选项B正确；C选项错误；

，

令，则，

当时，，单调递增，

当时，，单调递递减，

且当时，，又，

则不等式即为且，

所以，即的解集为，故D正确．

故选：ABD.

三、填空题

13．函数在点处的切线方程为        ．

【答案】

【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程.

【详解】因为，所以，，，

所以切线方程为.

故答案为：

14．学校开设了4门体育类选修课和2门艺术类选修课，学生需从这6门课中选择2门课，若学生甲随机选择，则该生在第一门选择体育类选修课的条件下，第二门选择艺术类选修课的概率为        ．

【答案】/0.4

【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.

【详解】第一次选择体育为事件A，第二次选择艺术为事件B,

所以，

故答案为：

15．数列满足，，记为数列的前n项和，若，则        ．（用含m的式子表示）

【答案】/

【分析】根据递推关系对作展开处理直到出现，即可得结果.

【详解】由，

则

.

故答案为：

16．在中国革命史上有许多与“8”有关的可歌可泣的感人故事，如“八子参军”、“八女投江”等，因此数字“8”是当之无愧的新时代“英雄数字”．如果一个四位数，各个位置上数字之和等于8，这样的数称为“英雄数”（比如1223，，就是一个“英雄数”），则所有的“英雄数”有        个（用数字回答）

【答案】120

【分析】根据题意，将原问题转化为将8个小球分为4组且第一组不能为0的问题，根据0的个数分情况，结合挡板法即可求解．

【详解】根据题意，8个相同的小球排成一排，8个小球两两之间不包括头尾共有7个空位中，

若四位数的“英雄数”中不含0，则需要在这7个空位中随机安排3个挡板，可以将小球分为4组每两个挡板之间的小球的数目依次对应四位数的千、百、十、个位数字，共有个，

若四位数的“英雄数”中只有一个0，则需要在这7个空位中随机安排2个挡板，可以将小球分成个数不为0的3组，0可以作为百、十、个位其中一位上的数字，此时共有个，

若四位数的“英雄数”中有两个0，则需要在这7个空位中随机安排1个挡板，可以将小球分成个数不为0的2组，0可以作为百、十、个位其中两位上的数字，此时共有个，

若四位数的“英雄数”中有3个0，则只能是8000，只有一种情况，

综上：共有个“英雄数”．

故答案为：120．

四、解答题

17．已知函数在处取得极大值2．

(1)求的值；

(2)求函数在区间上的最值．

【答案】(1)，

(2)最大值为6，最小值为

【分析】（1）求导，根据函数的极值列方程即可求得的值；

（2）由（1）确定函数在区间上单调性即可得最值.

【详解】（1）函数

，解得，  

所以，得

所以函数在上递增，在上递减，在上递增，

所以函数在处取得极大值，符合题意    

则，

（2）由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，

又，，

所以的最大值为6，最小值为

18．某城市统计该地区人口流动情况，随机抽取了100人了解他们端午节是否回老家，得到如下不完整的列联表：

(1)完成以上列联表：

(2)根据小概率值的独立性检验，能否认为回老家过节与年龄有关？

参考公式：，

参考数据：

【答案】(1)答案见解析

(2)可以认为回老家过节与年龄有关

【分析】（1）根据表中已知数据即可求解，

（2）计算卡方值，即可与临界值比较求解.

【详解】（1）

（2）计算

根据小概率值的独立性检验，可以认为回老家过节与年龄有关

19．函数，是的导函数：

(1)求的单调区间；

(2)证明：．

【答案】(1)单调递增区间为，无递减区间

(2)证明见解析

【分析】（1）对求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间；

（2）由（1）知单调递增区间为，然后根据零点存在性定理可得存在，使得，从而可求得的单调区间和最小值，进而可证得结论.

【详解】（1）由，得，

令，则恒成立，

所以单调递增区间为，无递减区间；

（2）由（1）知，单调递增区间为，

因为，，

所以存在，使得，

所以当时，，当时，，

所以在区间上单调递减，在上单调递增，      

所以，当且仅当，即时取等号，

因为，所以等号取不到，所以，得证．

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间和最值，第（2）问解题的关键是根据函数的单调性结合零点存在性定理可求得函数的最值，考查数学转化思想，属于中档题.

20．某商场为吸引顾客，举办抽奖活动，规则如下：盒子中有形状、大小相同的5个球，其中2个红球、3个白球，顾客每次从中随机抽取一个球，并放回盒子中，继续抽取，若连续2次抽中红球则停止抽奖，顾客获得30元优惠券；若连续两次抽中白球则停止抽奖，顾客获得20元优惠券；若抽取3次未出现连续抽中相同颜色的球，也停止抽取，顾客获得10元优惠券．某顾客参与抽奖活动．

(1)求该顾客抽取2次结束抽奖的概率；

(2)该顾客获得的优惠券金额为X，求X的分布列和数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析；

【分析】（1）由于每次放回，所以每次抽中红球和白球得概率分别为，2次结束抽奖的情况为连续抽中两红和两白，由独立事件的计算方法即可得解的其概率；

（2）顾客可能的奖金取值为10、20、30，分别计算出他们的概率完成分布列，根据期望公式即可求解.

【详解】（1）顾客抽取2次结束抽奖为事件A

则

（2）X可能取值为10，20，30

，

，

，     

X分布列为：

数学期望

21．设，，，

(1)求数列通项公式；

(2)若数列，求数列的前n项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据题意，由递推关系可得为首项为2，公比为2的等比数列，即可得到其通项公式；

（2）根据题意，由裂项相消法即可得到结果.

【详解】（1）由题意可得，

，所以为首项为2，公比为2的等比数列，，

（2）或     

前n项和

22．过点作曲线的切线，切点为，设在x轴上的投影是点；又过点作曲线C的切线，切点为，设在x轴上的投影是点，…依次下去，得到一系列点，点横坐标为.

(1)求，的值；

(2)求证：．

【答案】(1)；

(2)证明见解析

【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解；

（2）设切线过点，代入（1）的切线方程化简得到，找到为等比数列即可求解.

【详解】（1），设切点，则切线斜率为，，

则切线方程为；

当时，切线过点，即，得；

当时，切线过点，即，得；

（2）当时，切线过点，即，

得 ，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以，

.

【点睛】关键点睛：此题也相当于是一个新文化题，首先要理解题意，由导数的几何意义找到切线，进而求得通项公式，最后的证明还用了一个二项展开式，较灵活，综合性较强.