2022-2023学年北京市朝阳区高二下学期期末质量检测数学试题含答案

2022-2023学年北京市朝阳区高二下学期期末质量检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A．｛0，1｝ B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合的交集的概念及运算，即可求解.

【详解】由集合，，

根据集合的交集的概念及运算，可得.

故选：C.

2．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用诱导公式及同角三角函数的基本关系计算可得.

【详解】因为，又，

所以.

故选：A

3．不等式的解集为空集，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意可得，解出的取值范围，即可得出答案.

【详解】因为不等式的解集为空集，

所以，解得：.

则的取值范围是.

故选：A.

4．从集合中任取两个不同的数，则取出的两个数中恰有一个是奇数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出任取两个不同的数的方法数，再求出两个数中恰有一个是奇数的方法数，再利用古典概型的概率公式求解.

【详解】从集合中任取两个不同的数有种方法，

其中取出的两个数中恰有一个是奇数的有，

所以取出的两个数中恰有一个是奇数的概率为，

故选：C

5．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数、对数函数及正弦函数的性质判断即可.

【详解】因为，，

又因为，所以，即，

所以.

故选：B

6．设, 则 “”是“”的（ ）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由一定可得出；但反过来，由不一定得出，如，故选A.

【考点定位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键.

7．某学校4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据分步乘法计数原理，先从4人中选出2人作为一组，有种方法，再与另外2人一起进行排列，有种方法，相乘即可得到答案.

【详解】4名学生分到3个小区，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，

∴4名同学不同的分组方法只能为2，1，1，

∴不同的安排方法有(种).

故选：D.

8．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数的一个周期为

B．函数的一个零点为

C．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到

D．的图象关于直线对称

【答案】B

【分析】根据正弦型函数的周期公式求函数的周期，判断A，

根据函数零点的定义判断B，

根据三角函数图象变换结论判断C，

根据正弦型函数的对称性判断D.

【详解】因为，

所以，

由正弦型函数的周期公式可得，函数的最小正周期为，A错误；

当时，，

所以函数的一个零点为，B正确；

将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象， C错误；

由，可得，，

所以函数的对称轴方程为，，D错误；

故选：B.

9．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富．为了保护生态环境，某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，为常数且，为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留数量约为原污染物数量的（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，求得，当时，得到，结合，得到，即可求解.

【详解】由题意得，当时，，解得，即

则当时，可得，

因为，所以，即，

即再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的.

故选：C.

10．已知定义在R上的函数满足：

①；

②；

③当时，

则函数在区间上的零点个数为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】根据题意，由条件可得函数的对称性，然后做出其函数图像，将函数的零点个数转化为函数与的交点个数，结合图像即可得到结果.

【详解】由①可得函数的图像关于对称，

由②可得函数的图像关于直线对称，

然后由，做出函数在的图像如图所示，

再结合其对称性可得函数在区间的图像如图所示，

则函数在区间上的零点个数，即为函数与的交点个数，由图像可知，有4个交点，即4个零点.

故选：B

二、填空题

11．二项式的展开式中的常数项是        ．（用数字作答）

【答案】

【分析】写出展开式的通项公式，令x的指数为0，即可得到展开式的常数项.

【详解】二项式的展开式的通项公式，

令，得,

则常数项为，

故答案为：160.

12．某中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200，1000，800，为迎接运动会的到来，按照各年级人数所占比例进行分层抽样，选出30名志愿者，则高二年级应选出的人数为        ．

【答案】

【分析】根据分层抽样的定义结合已知条件直接求解即可.

【详解】由题意可得高二年级应选出的人数为

人，

故答案为：10

三、双空题

13．当时，函数的最小值为        ，此时        ．

【答案】         

【分析】根据题意，化简函数，结合基本不等式，即可求解.

【详解】当时，可得，

函数，

当且仅当时，即时，等号成立，

所以函数的最小值为.

故答案为：； .

四、填空题

14．已知，则关于的不等式的解集是        ．

【答案】

【分析】关于的不等式等价于，结合的范围，比较根的大小，即可得结果.

【详解】关于的不等式等价于，

由，得，

所以不等式的解集为.

故答案为：..

15．若函数的图象在区间上恰有两个极值点，则满足条件的实数的一个取值为        ．

【答案】（答案不唯一）．

【分析】先根据题意结合余弦函数的性质可求得，从而可求得结果

【详解】由，得，

因为函数的图象在区间上恰有两个极值点，

所以，得，

所以满足条件的实数的一个取值为，

故答案为：（答案不唯一）．

16．已知集合为非空数集，且同时满足下列条件：

（ⅰ）；

（ⅱ）对任意的，任意的，都有；

（ⅲ）对任意的且，都有．

给出下列四个结论：

①；②；③对任意的，都有；④对任意的，都有．

其中所有正确结论的序号是        ．

【答案】①③④

【分析】由集合满足的条件，验证给出的结论是否正确.

【详解】由题意可知，，则，结论①正确；

，有，，，结论②错误；

对任意的，则，有，结论③正确；

，则，可得，，即，

所以，即，得，

由，有，

∴当，可得，，

故结论④正确.

故答案为： ①③④

五、解答题

17．设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数唯一确定．

(1)求和的值；

(2)设函数，求在区间上的最大值．

条件①：；

条件②：的最小值为；

条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．

【答案】(1)，

(2)2

【分析】（1）选①③：由及的图象的相邻两条对称轴之间的距离为求得的值.

选②③：由的最小值为及的图象的相邻两条对称轴之间的距离为求得的值.

（2），当时求出的范围从而求得的最大值．

【详解】（1）选①③．

因为，

由，得．

因为的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，

所以．

所以．

因为，所以．

选②③．

因为，

由的最小值为，得．

因为的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，

所以．

所以．

因为，所以．

注：选①②不成立，理由如下．

因为，

由，得．由的最小值为，得．

无法确定的值，故函数不是唯一确定．

故选①②不成立.

（2）由（1）可知．

．

因为，所以．

所以当，即时，

在区间上取得最大值．

18．某保险公司2022年的医疗险理赔服务报告给出各年龄段的投保情况与理赔情况，统计结果如下：

注：第1组中的数据13%表示0-5岁年龄段投保人数占全体投保人数的百分比为13%；

24%表示0-5岁年龄段理赔人数占全体理赔人数的百分比为24%．其它组类似．

(1)根据上述数据，估计理赔年龄的中位数和第90百分位数分别在第几组，直接写出结论；

(2)用频率估计概率，从2022年在该公司投保医疗险的所有人中随机抽取3人，其中超过40岁的人数记为，求的分布列及数学期望；

(3)根据上述数据，有人认为“该公司2022年的理赔的平均年龄一定小于投保的平均年龄”，判断这种说法是否正确，并说明理由．

【答案】(1)理赔年龄的中位数在第4组，理赔年龄的第90百分位数在第5组

(2)分布列见解析；期望为

(3)不正确，理由见解析

【分析】（1）根据中位数和第90百分位数所占比例判断所在组；

（2）列出随机变量的分布列，然后求解数学期望；

（3）直方图表示的是年龄区间，不能具体判断真是平均数，举反例说明；

【详解】（1）理赔年龄的中位数在第4组，理赔年龄的第90百分位数在第5组．

（2）用频率估计概率，从投保医疗险的人中随机抽取1人超过40岁的概率为．

的所有可能取值为．

．

．

．

．

所以随机变量的分布列为：

所以随机变量的数学期望：

．

（3）不正确．

反例，比如理赔的年龄比较靠近每一组区间的右端点，投保的年龄比较接近每一组区间的左端点，这样估计的结果就是理赔的平均年龄较大．

用区间的右端点估计理赔的平均年龄为：

用区间的左端点估计投保的平均年龄为：

因为32.13>26.62，所以说法不正确．

19．已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若是的一个极值点，求的单调递增区间；

(3)是否存在，使得在区间上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)存在；

【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；

（2）由是的一个极值点，可得，求出的值，然后检验后由导数大于零可求出函数的增区间；

（3）对函数求导后分和两种情况讨论导数的正负，求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值，然后使其最大值等于可求出的值.

【详解】（1）当时，，所以．

因为，所以．

所以曲线在点处的切线方程为，

即．

（2）函数的定义域为，则，

因为是的一个极值点，所以．解得．

所以，．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

所以当时，是的极大值点．

此时的单调递增区间为．

（3）①当时，

因为，，

所以在区间上单调递增．

此时．

若，则，不合题意．

②当，即时，

令，解得．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

此时．

若，则，符合题意．

综上，当时，在区间上的最大值为．

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值问题，第（3）问解题有关键是分和讨论导数的正负，求出函数的单调区间，进而可求出函数的最大值，考查计算能力，属于较难题.

20．已知函数，．

(1)当时，证明；

(2)若直线是曲线的切线，设，求证：对任意的，都有．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）构造函数，利用导数结合函数最值来证明；

（2）根据切线方程求出参数，从而求得，然后代入

，将不等式转化为，最后将看成整体，构造函数结合导数以及函数最值来证明不等式；

【详解】（1）当时，设，则．

令，解得．

当时，，在区间上单调递减；

当时，，在区间上单调递增．

所以．

所以成立．

（2）由已知得．

设切点为，

则解得

所以，．

要证，

即证，

即证，

即证．

令，原不等式等价于，即．

设，则．

所以在区间上单调递增．

所以．

所以成立．

所以对任意，都有．

21．若有穷整数数列满足（），且各项均不相同，则称为数列．对数列，设，，则称数列为数列的导出数列．

(1)分别写出数列与的导出数列；

(2)是否存在数列使得其导出数列的各项之和为0？若存在，求出所有符合要求的数列；若不存在，说明理由；

(3)设数列与的导出数列分别为与，求证：的充分必要条件是．

【答案】(1)的导出数列为，的导出数列为

(2)不存在；理由见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）根据题意，直接写出答案即可；

（2）根据题意，设，然后分别求得，即可得到结果；

（3）根据题意，分别证明充分性与必要性，然后结合反证法即可得到结果.

【详解】（1）的导出数列为，

的导出数列为．

（2）不存在，理由如下：

设，

则，，，

，

，

．

因为，

所以是奇数，

是偶数，

是奇数，

是偶数，

是奇数．

因为共三个奇数，

所以是奇数．

所以不可能为0．

（3）必要性：

若，

则，

．

充分性：下面用反证法证明．

假设存在，使得．

若，令．

若，令．

因为，

所以．

设中有项比小，则有项比大，

所以．

设中有项比小，则有项比大，

所以．

因为且，所以，

所以，矛盾．

所以．