2022-2023学年北京市顺义区高二下学期期末质量监测数学试题含答案

2022-2023学年北京市顺义区高二下学期期末质量监测数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合交集运算可得.

【详解】因为，

所以.

故选：C

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得到答案.

【详解】命题“”为全称命题，

则其否定为特称命题，即，

故选：B.

3．“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】直接利用充分条件和必要条件的判断方法，判断即可得出答案.

【详解】解：因为“”能推出“”，

而“”推不出“”，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

4．数列是等差数列，若，则（    ）

A． B．5 C．9 D．15

【答案】B

【分析】利用等差数列的性质结合已知条件求解

【详解】因为数列为等差数列，且，所以，

因为，所以，

所以，所以，

故选：B

5．某班一天上午有4节课，下午有2节课．现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数有（    ）

A．48种 B．96种 C．144种 D．192种

【答案】D

【分析】先排数学、体育，再排其余4节，利用乘法原理，即可得到结论．

【详解】由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种，

再排其余4节，有种，

根据乘法原理，共有种方法，

故选：D．

6．下列给出四个求导的运算：①；②；③；④．其中运算结果正确的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】根据题意，由导数的运算法则以及复合函数的求导运算，即可得到结果.

【详解】①，故正确；

②，故正确；

③，故错误；

④，故正确；

故选：C

7．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】设事件“第1次抽到代数题”，事件“第2次抽到几何题”，

所以，则.

故选：A

8．已知为等比数列，下面结论中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C． D．

【答案】D

【分析】对于AB，利用等比数列的通项公式分析判断，对于CD，利用等比数列的通项公式结合基本不等式分析判断即可.

【详解】设等比数列的公式为，

对于A，若，则，得，所以或，

所以或，所以A错误，

对于B，若，则，即，

所以，则其正负由的正负确定，所以B错误，

对于C，，当同正时，，当且仅当时取等号，当时，所以C错误，

对于D，因为，当且仅当时取等号，所以D正确，

故选：D

9．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ）

A．当时，函数取得极大值 B．当时，函数取得极小值

C．当时，函数取得极大值 D．当时，函数取得极小值

【答案】D

【分析】由图分段讨论可得的正负，从而得到的单调性,进而找到极值点.

【详解】由图可得，时，，单调递减，

时，，单调递减，

时，，单调递增，

故当时，函数取得极小值，

故选：D.

10．某银行在1998年给出的大额存款的年利率为，某人存入元（大额存款），按照复利，10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ）

A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8

【答案】B

【分析】利用等比数列的通项公式、二项展开式计算可得答案.

【详解】存入元（大额存款），按照复利，

可得每年末本利和是以为首项，为公比的等比数列，

所以，可得.

故选：B.

二、填空题

11．计算：        ．（用数字作答）

【答案】2

【分析】根据题意，由对数的运算，即可得到结果.

【详解】原式.

故答案为：

12．函数的定义域为          .

【答案】

【分析】根据分式及对数式有意义即可求解.

【详解】要使有意义，只需，解得，或，

所以函数的定义域为.

故答案为：.

13．在的展开式中，常数项为        .(用数字作答)

【答案】

【解析】的展开式的通项为，取计算得到答案.

【详解】的展开式的通项为：，取得到常数项.

故答案为：.

【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.

14．若幂函数在上单调递减，在上单调递增，则使是奇函数的一组整数的值依次是        ．

【答案】、3（答案不唯一）

【分析】根据题意，由幂函数的性质即可得到结果.

【详解】因为幂函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，又因为是奇函数，

所以需要满足为小于的奇数，为大于的奇数.

故答案为：、3（答案不唯一）.

15．已知，函数．

给出下列四个结论：

①当，函数无零点；

②当时，函数恰有一个零点；

③存在实数，使得函数有两个零点；

④存在实数，使得函数有三个零点．

其中所有正确结论的序号是        ．

【答案】①②③

【分析】利用导数即可研究函数单调性、极值与图像，分类讨论结合依次判断即可.

【详解】

∵，

∴，

∴当时，；当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴函数有极小值点是1，无极大值点，

又当时， 且极小值为，

∴结合的图像得：

当时，直线与的图像有两个不同交点，

当时，直线与的图像有一个交点，

当时，直线与的图像没有交点，

当若则（舍），无零点；

当

若，无零点；

若（舍）无零点；

若则（舍），无零点；

若则不妨设，有一个零点；

对于①当时，函数在无零点，函数在无零点；∴①正确；

对于②当时，函数在无零点，函数在恰有一个零点；∴②正确，

对于③当时，函数在有两个零点，函数在无零点；∴③正确，

对于④当时，函数在有两个零点，函数在无零点；∴函数有两个零点；

当时，函数在有一个零点，函数在无零点；∴函数有一个零点；

当或时，函数在无零点，函数在无零点；∴函数无零点；

当时，函数在无零点，函数在无零点；∴函数无零点；

当时，函数在无零点，函数在有 一个零点；∴函数有一个零点；∴④错误，

故答案为：①②③.

【点睛】关键点点睛：解决根及零点关键点是数形结合及分类讨论，分类讨论不重不漏.

三、解答题

16．已知．

(1)求；

(2)求．

【答案】(1)

(2)122

【分析】（1）利用赋值法令求解即可；

（2）利用赋值法分别令 和 即可求解.

【详解】（1）

令，可得

（2）令，可得    ①

令，可得    ②

①式减②式可得，

17．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数在区间上的最大值与最小值．

【答案】(1)

(2)最大值为4，最小值为．

【分析】（1）根据导函数在的值，可求出切线斜率，根据点斜式写出切线方程；

（2）根据导函数，确定单调区间，进而可得最值.

【详解】（1）函数，

，

又，

，

曲线在点处的切线方程为即；

（2），

令，解得或，

当变化时，的变化情况如表所示：

又时，时，，

当时，在上的最大值为，

当时，在上的最小值为．

18．两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：

组：10，11，12，13，14，15，16

组：12，13，14，15，16，17，20

假设所有病人的康复时间互相独立，从两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．

(1)求甲的康复时间不多于14天的概率；

(2)若康复时间大于14天，则认为康复效果不佳．设表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数，求的分布列及数学期望；

(3)组病人康复时间的方差为组病人康复时间的方差为，试判断与的大小．（结论不要求证明）

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

(3)

【分析】（1）根据古典概型公式计算即可；

（2）根据步骤求出离散型随机变量的分布列及数学期望；

（3）结合数据应用波动情况判断方差的大小.

【详解】（1）设甲的康复时间不多于14天为事件C，

组中的数据共有7个，基本事件共有7种，且相互独立

又组中的数据不多于14天的有5个，即事件C中包含的基本事件有5个

甲的康复时间不多于14天的概率

（2）甲康复效果不佳的概率，

乙康复效果不佳的概率

表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数

的可能取值是0，1，2

表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为0

表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为1

表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为2

的分布列为

的数学期望为.

（3）.

根据组：10，11，12，13，14，15，16，组：12，13，14，15，16，17，20

组数据波动性较大，所以.

19．已知为等差数列，为其前项和．若，设．

(1)求证：数列是等比数列；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为，则由可求出公差，从而可求得，则可得，然后计算即可得结论；

（2）由（1）可得，然后利用分组求和法可求得.

【详解】（1）证明：设等差数列的公差为，则通项公式为，

又，则

即数列是等比数列，公比为2，首项．

（2）由（1）知数列是等比数列，公比为2，首项

数列的前项和

20．已知函数．

(1)若对任意时，成立，求实数的最大值；

(2)若，求证：；

(3)若存在，使得成立，求证：．

【答案】(1)1

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）根据题意，求导得到极值，即可得到结果；

（2）根据题意，构造，然后求导得到，即可证明；

（3）方法一：由条件可得，令，然后结合（2）中的结论即可证明；方法二：结合条件可得，然后令

，然后由函数的单调性即可证明.

【详解】（1），

，

令解得，

在单减，在上单增，

在取得极小值，也是最小值，

时，成立．

只需即可，

实数的最大值为1．

（2）证明：设，

，

在上单调递减，

，

，

即．

（3）法一：

证明：存在时，便得成立，

，

，

令，由可知，

由（2）知在上单调递减，

即，

，即，

，由知，

即，

.

法二：，

，

在上单调递减，在上单调递增．

存在时，使得成立，

，且，

，

令，

，

在上单调递增，

又，

，即即，

在上单调递增，

即.

【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值，以及利用导数证明不等式问题，难度较难，解答本题的关键在于构造出合适的函数，然后利用导数去研究.

21．已知整数数列满足：①；②．

(1)若，求；

(2)求证：数列中总包含无穷多等于1的项；

(3)若为中第一个等于1的项，求证：．

【答案】(1)或

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）根据题意，逐项计算，即可求解；

（2）记为中第一个小于等于0的项，则或，得出矛盾，记为的最小值，则为奇数并且，根据的最小性，得到可知，即可得证；

（3）由，可得，得到，求得，再找出和的关系，结合和为偶数和奇数，分类讨论，求得，即可得证.

【详解】（1）解：因为整数数列满足，

若，可得或；

若，可得，此时不满足，，此时，

当时，不满足，所以，故或.

（2）证明：首先．

否则，记为中第一个小于等于0的项，则或，

从而，与的最小性矛盾，

记为的最小值，则为奇数并且，

根据的最小性，可知，

根据可知，

注意到第一个1后面的项为2，1，2，1，2…周期性出现，

从而数列中总包含无穷多等于1的项.

（3）此小问解析征解

【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：

1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；

2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.

3、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.