2022-2023学年青海省海南藏族自治州高级中学高二下学期期末考试数学（理）试题含答案

2022-2023学年青海省海南藏族自治州高级中学高二下学期期末考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数，则的共轭复数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将化简，再由共轭复数得定义即可得到结果.

【详解】，则.

故选：B.

2．在下列求导数的运算中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用求导四则运算法则和简单复合函数求导法则计算，得到答案.

【详解】A选项，，A错误；

B选项，，B错误；

C选项，，C错误；

D选项，，D正确.

故选：D

3．用反证法证明“若，则至少有一个为0”时，假设正确的是（    ）

A．全不为0 B．全为0

C．中至少有一个不为0 D．中只有一个为0

【答案】A

【分析】假设结论的反面成立即可，

【详解】结论的反面是：全不为0．

故选：A．

4．已知，，则可表示不同的值的个数为（　　）

A．8 B．12

C．10 D．9

【答案】D

【分析】第一步先从集合中取一个值，得到对应的情况数，第二步再从集合中取一个值，得到对应的情况数，两次的情况数相乘并分析结果，由此可知可表示不同的值的个数.

【详解】因为从集合中任取一个值共有种情况，从集合中任取一个值共有种情况，

故可表示个不同的乘法计算，且经检验计算结果均不相同，

所以可表示不同的值有个．

故选：D.

5．二项式的展开式中的系数为（    ）

A．-21 B．21 C．36 D．-36

【答案】A

【分析】求出二项式的通项公式，然后求展开式中的系数即可.

【详解】二项式的通项公式为：.

所以令，解得，所以展开式中的系数为.

故选：A.

6．若函数在处取得极值，则（    ）.

A．-4 B．-3 C．-2 D．2

【答案】B

【分析】对函数求导可得，即可求出，进而可求出答案.

【详解】因为，

所以，则，

解得，所以.

故选：B

【点睛】本题考查了函数的导数与极值，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.

7．某校从4名女生和2名男生中选3人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出女生甲被选中的情况下的基本事件总数，再求出在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为，结合条件概率的计算方法求解即可.

【详解】女生甲被选中的情况下，基本事件总数，

在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为，

则在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为.

故选：B.

8．若离散型随机变量，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据且求得n，再由求解.

【详解】解：∵，

∴，解得，

∴．

故选：B．

9．已知正四棱柱中，，，点，分别是和的中点，是线段的中点，则直线和所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，根据向量法求解即可.

【详解】如图

建立空间直角坐标系，则，，，，，

则，，，

则，

所以异面直线和所成角的余弦值为.

故选：D.

10．某校有，等五名高三年级学生报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校，每所高校均有人报考，其中，两名学生相约报考同一所高校，则这五名学生不同的报考方法共有（    ）

A．9种 B．18种 C．24种 D．36种

【答案】D

【分析】分报考三所高校的人数为3:1:1和报考三所高校的人数为2:2:1两种情况求解，然后利用分类加法原理可求得结果.

【详解】若报考三所高校的人数为3:1:1，则不同的报考方法有种.

若报考三所高校的人数为2:2:1，则不同的报考方法有种.

故这五名学生不同的报考方法共有36种.

故选：D

11．由数据，，…，可得关于的线性回归方程为，若，则（    ）

A．48 B．52 C．56 D．80

【答案】A

【分析】根据回归直线方程必过样本中心即可求出结果.

【详解】因为，所以，所以，所以.

故选：A.

12．已知奇函数的导函数为，当时，，若，，则的大小关系正确的是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】令，则，根据题意得到时，函数 单调递增，求得，再由函数的奇偶性得到，即可作出比较，得到答案．

【详解】由题意，令，则，

因为当时，，所以当时，，

即当时，，函数单调递增，

因为，所以，

又由函数为奇函数，所以，

所以，所以，故选D．

【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中根据题意，构造新函数，利用导数求得函数的单调性和奇偶性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题．

二、填空题

13．随机变量，，则      ．

【答案】/0.75

【分析】利用正态分布曲线的对称性求解即可．

【详解】因为随机变量，可得正态分布曲线的对称轴为，

又因为，

所以，，

所以.

故答案为：.

14．用火柴棒按如图的方法搭三角形，按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为         

【答案】201

【分析】分析图形中火柴数的变化是以3位首项2为公差的等差数列，由此可算第100个图形所用火柴棒数.

【详解】由图形可知，第一个图形用3个火柴，以后每一个比前一个多两个火柴，则第n个使用火柴为，则第100个图形所用火柴棒数为2×100+1＝201.

故答案为：201

【点睛】本题考查合情推理的应用，属于基础题.

15．由曲线与直线围成的封闭图形的面积为           ．

【答案】

【分析】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为，，结合图像可知围成的封闭图形的面积.

【详解】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为，，

如图:

结合图像可知围成的封闭图形的面积为．

【点睛】本题考查了定积分的几何意义,属基础题.

16．已知函数的导函数的图象如图所示，给出以下结论：

①函数在和是单调递增函数；

②函数在处取得极大值；

③函数在处取得极大值，在处取得极小值；

④函数在上是单调递增函数，在上是单调递减函数．

则正确命题的序号是           ．（填上所有正确命题的序号）

【答案】②④

【分析】由图象可以看出在上，在上，从而可求出函数的单调区间和极值点，进而可逐个分析判断.

【详解】由图象可以看出在上，在上，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极大值，

所以①③错，②④正确，

故答案为：②④.

三、解答题

17．，为虚数单位，为实数．

（1）当为纯虚数时，求的值；

（2）当复数在复平面内对应的点位于第四象限时，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据纯虚数的概念可得出关于的等式与不等式，进而可求得实数的值；

（2）将复数表示为一般形式，结合条件得出该复数的实部为正数、虚部为负数，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.

【详解】（1）由为纯虚数得，解得；

（2）复数，

因为复数位于第四象限，所以，解得或．

故的取值范围为.

【点睛】本题考查根据复数的概念与几何意义求参数，考查运算求解能力，属于基础题.

18．用适当的方法证明下列命题，求证：

（1）；（）

（2）

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【分析】（1）由重要不等式及不等式性质即可证得结果；

（2）利用分析法逐步寻找不等式成立的充分条件，依次推理即可得出结果.

【详解】解（1）证明∵，，，

∴

即．

当且仅当“”时取得等号

（2）要证成立，

即证，即证，

即证，

而显然成立，

故成立；

19．某人工智能公司想要了解其开发的语言模型准确率是否与使用的训练数据集大小有关联，该公司随机选取了大型数据集和小型数据集各50个，并记录了使用这些数据集训练的模型在测试数据集上的准确率（准确率不低于80%则认为达标），根据小型数据集的准确率数据绘制成如图所示的频率分布直方图（各组区间分别为）

(1)求的值，并完成下面的列联表；

(2)试根据小概率值的独立性检验，能否认为语言模型准确率是否达标与使用的训练数据集大小有关联？

附：其中

【答案】(1)，填表见解析

(2)认为语言模型准确率是否达标与使用的训练数据集大小有关联

【分析】（1）由频率之和可得，进而可得二联表，

（2）计算卡方即可与临界值比较求解.

【详解】（1）由，解得．

准确率不低于的小型数据集有个，由此可得列联表如下：

（2）零假设为：语言模型准确率是否达标与使用的训练数据集大小无关联．

根据列联表中的数据，得到，

根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为语言模型准确率是否达标与使用的训练数据集大小有关联．

20．袋中有个白球、个黑球，从中随机地连续抽取次，每次取个球．

(1)若每次抽取后都放回，求恰好取到个黑球的概率；

(2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）法一：根据古典概型的公式，求的总数和符合题意事件的个数，可得答案；

法二：根据独立重复实验的概率公式，先求一次实验的概率，可得答案.

（2）根据超几何分布的概念及其概率公式，可得答案.

【详解】（1）法一：有放回地抽取3次，取法总数为种，

设恰好取出一个黑球为事件，

中包含有种取法，所以．

法二：抽取1次取出黑球的概率为，

设连续抽取3次中恰有1次抽出黑球为事件，

则．

（2）从6个球中任意取出3个球的取法总数为，的取值范围是

，，，

所以的分布列为：

21．如图，三棱柱中，侧面与侧面均为边长为的正方形，、分别是、的中点，且．

(1)证明：平面；

(2)求二面角的正切值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接交于点，连接、，利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）证明出，平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得二面角的正切值．

【详解】（1）证明：连接交于点，连接、，

在三棱柱中，且，故四边形为平行四边形，

因为，则为的中点，

又因为为的中点，所以，，

因为平面，平面，因此，平面.

（2）解：因为三棱柱中，侧面与侧面均为边长为的正方形，

则，又因为，所以，，则，

因为，，，、平面，所以，平面，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则点、、、，

设平面的法向量为，，，

则，取，则，

设平面的法向量为，，

则，取，可得，

所以，，则，

故，

由图可知，二面角为锐角，故二面角的正切值为.

22．已知函数．

(1)若在点处的切线与直线平行，求实数的值；

(2)当时，求函数的单调区间．

【答案】(1)

(2)单调递增区间为，，单调递减区间为.

【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，代入计算可得；

（2）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间.

【详解】（1）因为，所以，

因为在点处的切线与直线平行，所以，

即，解得.

（2）当时，则，

令，解得或，所以的单调递增区间为，，

令，解得，所以的单调递减区间为.