2022-2023学年青海省西宁市大通回族土族自治县高二下学期期末考试数学（理科）试题含答案

2022-2023学年青海省西宁市大通回族土族自治县高二下学期期末考试数学（理科）试题

一、单选题

1．复数在复平面内对应的点位于（   ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据题意得到复数在复平面内对应的点位于第四象限，即可求解.

【详解】因为在复平面内对应的点为，位于第四象限，

所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：D.

2．下列有关样本线性相关系数r的说法，错误的是（　　）

A．相关系数r可用来衡量x与y之间的线性相关程度

B．，且越接近0，相关程度越小

C．，且越接近1，相关程度越大

D．，且越接近1，相关程度越小

【答案】D

【分析】根据相关系数的定义，即可判断选项.

【详解】相关系数是来衡量两个变量之间的线性相关程度的，线性相关系数是一个绝对值小于等于1的量，并且它的绝对值越大就说明相关程度越大，所以不正确的只有D.

故选：D.

3．若名学生报名参加天文、计算机、文学、美术这个兴趣小组，每人选报组，则不同的报名方式有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】D

【分析】分析可知每个人都有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果.

【详解】名学生报名参加天文、计算机、文学、美术这个兴趣小组，每人选报组，

每个人都有种选择，则不同的报名方式种数为种.

故选：D.

4．大前提：因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，小前提：菱形是所有边长都相等的凸多边形，结论：菱形是正多边形，则该推理过程（   ）

A．正确 B．因大前提错误导致结论错误

C．因小前提错误导致结论错误 D．因推理形式错误导致结论错误

【答案】B

【分析】根据三段论推理的概念，结合题意，可判断大前提错误，即可求解.

【详解】因为所有边长都相等，内角也都相等的凸多边形才是正多边形，所以因大前提错误导致结论错误.

故选：B.

5．展开式中的常数项为（    ）

A．-20 B．-15 C．15 D．20

【答案】C

【分析】写出二项展开通项，再令的指数为0，得到相应的项数，从而算出常数项.

【详解】因为的展开式通项公式为，

令，得，所以，即展开式的常数项为15.

故选：C.

6．函数在点处的切线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由导数的几何意义求解即可.

【详解】当时，，，所以函数在点处的切线的斜率，

所以切线方程为.

故选：B.

7．小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由条件概率公式求解即可

【详解】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件，

“小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件，

则由题意可得，

则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为

.

故选：.

8．观察下列各式： …则（    ）

A．28 B．76 C．123 D．199

【答案】B

【分析】根据所给的数据可得，，，再逐步计算即可

【详解】由前面几个等式特征，归纳推理得到,故选：B.

9．《红楼梦》是中国古代章回体长篇小说，中国古典四大名著之一，《红楼梦》第三十七回贾探春提议邀集大观园中有文采的人组成海棠诗社．诗社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭；醉飞吟盏於帘杏溪桃，作诗吟辞以显大观园众姊妹之文采不让桃李须眉．”诗社成员有8人：林黛玉、薛宝钗、史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾宝玉及李纨，若这8人排成一排进入大观园，且林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人不相邻，则不同的排法种数有（    ）

A．1440 B．2400 C．14400 D．86400

【答案】C

【分析】根据插空法，利用排列数公式求解.

【详解】不相邻问题用插空法，先将其他5人排好，有种不同的排法，再将林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人排入其他5人隔开的6个空中，有种不同的排法，所以有（种）不同的排法.

故选：C

10．设随机变量，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由结合二项分布概率公式以及方差公式求解即可.

【详解】因为，，所以，即，

解得，即，所以.

故选D.

11．三位同学获得本年度数学竞赛前三名，老师告知他们如下信息：①甲是第三名；②乙不是第一名；③丙不是第三名，并告知他们以上3条信息有且只有1条是正确信息，则该三位同学的数学竞赛成绩从高到低的排序为（   ）

A．甲、乙、丙 B．丙、乙、甲

C．乙、丙、甲 D．乙、甲、丙

【答案】A

【分析】利用反证法，逻辑推理处矛盾.

【详解】若①正确，②③不正确，即甲是第三名，乙是第一名，丙是第三名，则甲丙都是第三名，矛盾；

若②正确，①③不正确，即甲不是第三名，乙不是第一名，丙是第三名，则甲是第一名，乙是第二名，丙是第三名；

若③正确，①②不正确，即甲不是第三名，乙是第一名，丙不是第三名，此时没有人是第三名，不符合题意.

综上，甲是第一名，乙是第二名，丙是第三名.

故选：A.

12．某班开展阅读比赛，老师选择了5本不同的课外书，要求每位同学在3天内阅读完这5本课外书，每天至少选一本阅读，选择的课外书当天需阅读完，则不同的选择方式有（    ）

A．540种 B．300种 C．210种 D．150种

【答案】D

【分析】先将本数分成3组，有和两种分组方案，然后再分配到每天即可.

【详解】先将每天读书的本数分组，有和两种分组方案，

当按分组时，有种方法，

当按按分组时，有种方法，

所以不同的选择方式有种.

故选：D.

二、填空题

13．第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，组委会安排100名志愿者担任对外翻译工作，在下面“性别与会法语”的列联表中，               .

【答案】

【分析】根据题意，利用志愿者的总人数为100，列出方程，即可求解.

【详解】根据表格中的数据，因为志愿者的总人数为100，所以，

解得.

故答案为：.

14．若随机变量，且，则          .

【答案】0.82

【分析】根据正态分布的对称性计算．

【详解】由正态分布的对称性知.

故答案为：0.82.

15．在平面直角坐标系中，点到直线的距离，类比可得在空间直角坐标系中，点到平面的距离为               .

【答案】2

【分析】利用类比法得，代入数据即可.

【详解】类比可得，点到平面的距离，

故点到平面的距离.

故答案为：2.

16．在上的最小值为          .

【答案】

【分析】由导数得出单调性进而得出最值.

【详解】因为，，所以，令，

得或，所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以时，取极小值，且极小值为，

又，所以在上的最小值为.

故答案为：

三、解答题

17．已知i是虚数单位，.

(1)求；

(2)若复数的虚部为-1，且是纯虚数，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据复数的运算法则，化简得到，结合模的计算公式，即可求解；

（2）设，得到，根据是纯虚数，列出方程，即可求解.

【详解】（1）解：根据复数的运算法则，可得，

所以.

（2）解：设，则，

因为是纯虚数，所以且，解得，所以.

18．为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区300天的空气质量等级与当天空气中的浓度（单位：），整理数据得到下表：

若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.

(1)完成下面的列联表：

(2)根据（1）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天的空气质量与当天的浓度有关？

附：；

【答案】(1)表格见解析

(2)有的把握认为该市一天的空气质量与当天的浓度有关.

【分析】（1）根据表中数据即可得出列联表；

（2）求出卡方值和临界值比较即可判断.

【详解】（1）由表格数据可得列联表如下：

（2）由（1）知，

所以有的把握认为该市一天的空气质量与当天的浓度有关.

19．某公司组织本单位员工参加抽奖得消费优惠券活动，抽奖规则是：每人从装有质地均匀、大小相同的4个黄球、4个红球的箱子中一次性地随机摸出3个球，若恰有1个红球可获得50元优惠券，恰有2个红球可获得100元优惠券，3个都是红球可获得200元优惠券，其他情况无优惠券.小王参加了公司的抽奖活动.

(1)求小王恰好摸出1个黄球的概率；

(2)设小王获得的优惠券金额为X，求X的分布列与期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据古典概型公式计算求解即可；

（2）分情况写出离散型随机变量的分布列及数学期望即得.

【详解】（1）记事件：小王恰好摸出1个黄球，则.

（2）由题意，得的可能取值为0，50，100，200，

，，

，.

所以X的分布列为

所以.

20．华容道是古老的中国民间益智游戏，以其变化多端、百玩不厌的特点与魔方、独立钻石一起被国外智力专家并称为“智力游戏界的三个不可思议”.华容道游戏是通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部，从出口逃走，不允许跨越棋子，还要设法用最少的步数把曹操移到出口.小华准备参加市里的华容道横刀立马项目大赛.赛前小华进行了15天的训练，经统计得30分钟的通关关数（道）与训练天数（天）有如下数据：

通过分析发现30分钟的通关关数（道）与训练天数（天）线性相关.

(1)求与的样本相关系数 （结果四舍五入到0.001）；

(2)求30分钟的通关关数关于训练天数的经验回归方程（的结果四舍五入到0.01）.

参考公式：样本相关系数，回归直线方程中，，.参考数据：，，，.

【答案】(1)0.984

(2)

【分析】（1）首先求出，，再结合所给参考数据计算可得；

（2）求出、即可得到回归直线方程.

【详解】（1）因为，，

所以

.

（2）因为，

所以，

所以关于的经验回归方程为，

即30分钟的通关关数关于训练天数的经验回归方程为.

21．中医是中华民族的瑰宝，是中国古代人民智慧的结晶，中医离不开中药，中药主要包括植物药、动物药、矿物药.某植物药材的存放年份X的取值为3，4，…，8，其中为一等品，为二等品.已知中药厂按照两种方式出售此植物药材，精品药材（只含一等品）的售价为10元/株；混装药材（含一等品与二等品）的售价为6元/株.某药店需要购买一批此植物药材.

(1)已知中药厂库存中精品药材的年份X的分布列如下表所示，且X的数学期望，求a，b的值；

(2)为分析中药厂库存中混装药材的年份Y，从混装药材中随机抽取20株，相应的年份组成一个样本，数据如下：3，5，3，3，8，5，5，6，3，4，6，3，4，7，5，3，4，8，4，7.用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求混装药材的年份Y的数学期望；

(3)在（1）（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪种药材更具可购买性？并说明理由.

注：①药材的“性价比”；②“性价比”大的药材更具可购买性.

【答案】(1)；

(2)；

(3)混装药材更具可购买性，理由见解析.

【分析】（1）根据均值公式和分布列的性质即可求解；

（2）根据数据先得到样本的频率分布列，从而可得到混装药材的年份Y的分布列，从而根据数学期望公式即可求解；

（3）分别计算出精品药材和混装药材的性价比，从而可判断.

【详解】（1）

即，

又由的概率分布列得即

由 ，解得 .

（2）由已知得，样本的频率分布列如下:

用这个样本的频率分布估计总体分布, 将频率视为概率, 可得混装药材的年份Y的概率分布列如下：

混装药材的年份Y的数学期望为.

（3）混装药材更具可购买性, 理由如下：

因为精品药材的年份X的数学期望，售价为10元/株，

所以精品药材的性价比为.

又因为混装药材的年份Y的数学期望为，售价为6元/株，

所以混装药材的性价比为.

故混装药材更具可购买性.

22．已知函数.

(1)当时，求函数的极值；

(2)讨论的单调性.

【答案】(1)的极大值为，无极小值．

(2)见解析

【分析】（1）当时，，求导分析单调性，极值，即可得出答案．

（2）求导得，令，，分五种情况：当时，当时，当时，当时，当时，分析的符号，的单调性，即可得出答案．

【详解】（1）当时，，

，

令得，

所以当上，在单调递增，

在上，在单调递减，

所以当时，，无极小值．

（2），

令，，

当时，，

在上，，单调递增，

在上，，单调递减，

当时，令得或2，

若，即时，在上，，单调递增，

若，即时，在上，，单调递增，

在上，，单调递减，

在，上，，单调递增，

若，即时，在上，，单调递增，

在，上，，单调递减，

在上，，单调递增，

当时，令得或2，

在上，，单调递增，

在上，，单调递减，

综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减，

当时，在上单调递增，在上单调递减，在,上单调递增，

当时，在上单调递增，

当时，在上单调递增，在,上单调递减，在上单调递增．