2022-2023学年天津市红桥区高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年天津市红桥区高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，，则（    ）

A．{1} B．{2} C．{3} D．{2，3，4}

【答案】C

【分析】根据集合运算的定义计算．

【详解】由已知，因此，

故选：C．

2．命题“，总有”的否定是（    ）

A．，总有

B．，总有

C．，使得

D．，使得

【答案】C

【解析】全称命题否定为特称命题即可，改量词否结论

【详解】解：因为命题“，总有”，

所以其否定为“，使得”

故选：C

3．“成立”是“成立”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】试题分析：由|x-1|＜2得-1＜x＜3，由x（x-3）＜0得0＜x＜3，所以“|x-1|＜2成立”是“x（x-3）＜0成立”的必要不充分条件

【解析】1．解不等式；2．充分条件与必要条件

4．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数性质判断．

【详解】，，，∴．

故选：B．

5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ）

A． B．

C． D．（且）

【答案】C

【分析】根据奇偶性与单调性定义、单调性的性质判断．

【详解】选项A中函数定义域是，函数没有奇偶性，A错；

选项B中函数是二次函数，它实质上是偶函数，B错；

选项C中，由于，即函数为奇函数，又和在实数集R上都是增函数，因此是减函数，C正确；

选项D中函数在和上都是增函数，D错．

故选：C．

6．函数的零点所在的区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先判断函数的单调性，然后利用零点存在性定理求解即可

【详解】解：因为函数在上均为减函数，

所以函数在上为减函数，

因为，

所以函数的零点所在的区间为，

故选：B

【点睛】此题考查零点存在性定理的应用，属于基础题

7．已知为虚数单位，则在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【详解】解：因为，故实部为1，虚部为-1，则对应的点（1，-1）在第四象限，选择D

8．已知某圆柱的高为5，底面半径为，则该圆柱的体积为（    ）

A．6π B．9π

C．12π D．15π

【答案】D

【分析】直接利用圆柱的体积的公式求解.

【详解】解：由题意得该圆柱的体积为.

故选：D

9．设是直线，是两个不同的平面，那么下列判断正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】D

【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断可得答案.

【详解】对于A，若，，则或与相交，故A不正确；

对于B，若，，则或或与相交，故B不正确；

对于C，若，，则或，故C不正确；

对于D，若，过作平面，使得，则，又，所以，又，根据面面垂直的判定可得，故D正确.

故选：D.

10．函数的最大值和最小正周期分别是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】由余弦函数的性质得出周期和最值.

【详解】因为，所以，.

故选：D

11．把函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移个单位，则所得图形对应的函数解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），的系数变为原来的2倍，即为2，然后根据平移求出函数的解析式．

【详解】函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），

得到，

把图象向左平移个单位，

得到

故选：．

【点睛】本题考查函数的图象变换．准确理解变换规则是关键，属于中档题．

12．下列计算结果正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】对于AB，利用诱导公式分析判断，对于C，利用诱导公式和二倍角公式分析判断，对于D，通过分析判断.

【详解】对于A，，所以A错误，

对于B，，所以B错误，

对于C，，所以C正确，

对于D，因为，

又因为，所以，所以D错误，

故选：C

13．已知向量，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．向量在向量上的投影向量是

C． D．与向量方向相同的单位向量是

【答案】D

【分析】利用向量平行的坐标表示判断A；根据投影向量定义求向量在向量上的投影向量判断B；应用向量数量积运算律求判断C；由单位向量定义求与向量方向相同的单位向量判断D.

【详解】A：由，故不成立，错；

B：由，错；

C：，则，错；

D：与向量方向相同的单位向量是，对.

故选：D

14．抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，将向上的点数分别记为a，b，则（    ）

A．的概率为 B．能被5整除的概率为

C．ab为偶数的概率为 D．的概率为

【答案】B

【分析】求得的概率判断选项A；求得能被5整除的概率判断选项B；求得为偶数的概率判断选项C；求得的概率判断选项D.

【详解】试验的样本点总数，

对于A，“”包含的样本点有：共5个，

所以，故A错误；

对于B，“能被5整除”包含的样本点有：共7个，

所以P（能被5整除），故B正确；

对于C，“为偶数”的对立事件为：“为奇数”.“为奇数”等价于“和均为奇数”，

所以P（为奇数），故P（为偶数），故C不正确；

对于D，“”的对立事件为“”，事件“”包含“”和“”，

易知，所以，

所以，故D错误．

故选：B.

15．已知则关于的不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先画出函数的图象，再解不等式组即得解.

【详解】解：函数的图象如图所示，

，

故选：A.

二、填空题

16．是虚数单位，复数           .

【答案】

【分析】根据复数的除法运算法则计算可得结果.

【详解】.

故答案为：.

17．学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩（单位：分）分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的75%分位数是      .

【答案】90

【分析】先对这8名学生的成绩按从小到大排列，然后用百分位数的定义求解即可.

【详解】8名学生的成绩从小到大排列为：63，68，76，77，82，88，92，93，

因为，所以75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，

即（分）.

故答案为：90.

18．有一道数学难题，在半小时内，甲、乙能解决的概率都是，丙能解决的概率是，若3人试图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到解决的概率为   ．

【答案】

【分析】根据独立事件的乘法公式和概率的性质求解.

【详解】设“在半小时内，甲、乙、丙能解决该难题”分别为事件A，B，C，“在半小时内解该难题得到解决”为事件D，

则，，，表示事件“在半小时内没有解决该难题”，，

所以，

；

故答案为：.

19．某公园里有一些石墩，每张石墩是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示，一张石墩的体积是m3，那么原正方体石料的体积是          m3.

【答案】1

【分析】用正方体的体积减去八个角的八个三棱锥的体积即可得．

【详解】设正方体棱长为，

每个角的三棱锥体积为，

因此石墩体积为，所以．

故答案为：1．

20．近年来随着移动互联网的发展，在线点外卖成为城市居民重要的餐饮方式之一，送餐员的需求量越来越大，甲、乙两名送餐员某一周内每天完成的订单量如图所示，则下列结论中正确的是          .（只填写序号）

①甲该周的订单总量比乙该周的订单总量大

②甲的方差比乙的方差大

③甲的标准差比乙的标准差大

④甲、乙两人在工作日一天送的外卖比周末一天送的多

【答案】①④

【分析】根据已知数据进行判断，其中方差、标准差可根据数据的偏移程度进行估计．

【详解】由已知，甲订单总量为，乙的订单总量为，①正确；

从折线图知甲的订单量都在60左右偏移，而乙的订单量相差太大，估计乙的方差大，标准差大，②③均错；

甲乙在周日一天送的量为，在周六送的量为，而在工作日送的量最少的是周四为大于98，④正确．

故答案为：①④．

21．若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是          .

【答案】

【分析】根据的取值分类讨论解不等式结合已知条件得参数范围．

【详解】不等式化为，即，

时，不等式的解为，其中有无数个整数，不合题意；

时，不等式的解为或，有无数个整数解，不合题意；

时，，

时，不等式无实数解，不合题意，

时，不等式的解为，不等式解中无整数，不合题意，

时，不等式的解为，因此有，解得．

故答案为：．

三、解答题

22．已知0＜α＜，sinα＝．

（1）求tanα的值；

（2）求cos(2)的值；

（3）若0＜β＜且cos(α+β)＝，求sinβ的值．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）根据同角的三角函数的关系即可求出，

（2）根据二倍角公式和两角差的余弦公式即可求出，

（3）根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出

【详解】（1）∵0＜α＜，sinα＝，

∴cosα＝，

∴tanα＝.

（2）∵sin2α＝2sinαcosα＝，cos2α＝cos2αsin2α＝，

∴cos(2)＝(cos2αsin2α)＝()＝，

（3）∵0＜α＜，0＜β＜，

∴0＜α+β＜π，

∵cos(α+β)＝，

∴sin(α+β)＝，

∴sinβ＝sin[(α+β)α]＝sin(α+β)cosαcos(α+β)sinα＝.

23．在中，

（1）求的值；

（2）若，，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用余弦定理可求得的值；

（2）利用二倍角的正弦公式求出的值，然后利用正弦定理可求得的值.

【详解】（1）因为在中，，所以，；

（2）由（1）知，，所以

因为，所以

又因为，由正弦定理，可得

24．已知向量，，，且，．

(1)求向量、；

(2)若，，求向量，的夹角的大小.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由题意结合向量平行及垂直的坐标表示可求，，进而可求；

（2）设向量，的夹角的大小为．先求出，，然后结合向量夹角的坐标公式可求．

【详解】（1）解：因为，，，且，，

所以，，

所以，，

所以，；

（2）解：设向量，的夹角的大小为．

由题意可得，，，

所以，

因为，所以．

25．如图，六棱锥的底面是边长为1的正六边形，平面ABC，.

(1)求证：直线//平面PAD；

(2)求证：直线平面PAE；

(3)求直线PD与平面ABC所的成角.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）根据正六边形性质可得线线平行，再由线面平行的判定定理得证；

（2）由线面垂直的判定定理证明；

（3）找出线面角，利用正切值求出角即可.

【详解】（1）在正六边形中，∥，

又平面，平面，

所以∥平面.

（2）在正六边形中，，

平面，平面，

，

又，平面，

平面.

（3）平面，

即为直线PD与平面ABC所的成角，

，

在中，，

所以.

26．已知函数.

(1)判断的奇偶性；

(2)若，判断在的单调性，并证明（定义法、导数法均可）；

(3)若，，判断函数的零点个数，并说明理由.

【答案】(1)是奇函数；

(2)在上是减函数，证明见解析；

(3)的零点个数为2，理由见解析．

【分析】（1）根据奇偶性定义判断；

（2）利用导数证明，即证明在上；

（3）由复合函数的单调性得的单调性，然后结合零点存在定理得零点个数．

【详解】（1）函数的定义域是，

又，

∴是奇函数；

（2）在上是减函数，证明如下：

，

时，，所以在上是减函数；

（3）由（2）知在是递减，同理知在上递增，又是增函数，

因此在上递减，在上递增，

，又，，

所以在和，也即在和上各有一个零点，

即的零点个数为2.