2022-2023学年天津市河西区高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年天津市河西区高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用补集的定义可得正确的选项．

【详解】全集，集合，

由补集定义可知：或，即，

故选：D．

2．已知，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】分别求出命题，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.

【详解】因为；，

所以，推不出，所以是的必要不充分条件.

故选：B.

3．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意结合指、对数函数单调性，借助于中间值分析判断.

【详解】因为在定义域内单调递增，则，所以；

因为在定义域内单调递增，则，所以；

因为在定义域内单调递减，则，所以；

综上所述：.

故选：C.

4．曲线是造型中的精灵，以曲线为元素的LOGO给人简约而不简单的审美感受，某数学兴趣小组设计了如图所示的双型曲线LOGO，以下4个函数中 最能拟合该曲线的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据偶函数，排除B项；由，排除C项，由当时，函数，可排除D，由函数为奇函数，且当时，利用导数求得函数的单调性，结合，得到A符合题意，即可求解.

【详解】由函数，其定义域为，关于原点对称，

可得，

所以函数为偶函数，所以排除B；

由函数，可得，故排除C；

由函数，当时，可得且，则，

故排除D．

由函数的定义域为 ，关于原点对称，

且，所以为奇函数，图象关于原点对称，

由时，，可得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，且，所以A项符合题意.

故选：A.

5．若，则下列不等式不恒成立的是

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据不等式的性质对给出的每个选项分别进行分析、判断后可得不恒成立的不等式．

【详解】对于A，由得恒成立．

对于B，由可知恒成立．

对于C，由于，故当时，不成立，所以C不恒成立．

对于D，由得，所以恒成立．

故选C．

【点睛】本题考查不等式的性质及命题真假的判定，解题的关键是熟练运用不等式的相关知识求解，属于基础题．

6．下面关于函数的说法正确的是（    ）

A．恒成立 B．最大值是5 C．与y轴无交点 D．没有最小值

【答案】A

【分析】根据二次函数的性质即可判断各选项.

【详解】函数，

对于A，恒成立，A正确；

对于BD，当时，的最小值为，无最大值，BD都是错误；,

对于C，当时，，即与轴有交点，C错误.

故选：A.

7．设是定义域为R的奇函数，且，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式判断函数的周期，利用周期进行求解即可

【详解】解：因为是定义域为R的奇函数，

由，得，

该函数的周期为2，

所以.

故选：A

8．已知，则的最小值是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设，化二元变量问题为一元变量，结合基本不等式处理.

【详解】，设，则.

于是，

令，则，

当，即，也即时，取到最小值.

故选：C

9．已知函数（e为自然对数的底数，a∈R）有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先分析时二次函数零点的情况，而时可将零点的问题转化为两个函数图象交点的问题，利用导数求解即可.

【详解】当时，，且，∴二次函数开口向下且在内抛物线与轴只有一个交点，

∴在内只有一个零点，

当时，，不是的零点，

由已知得当时，有两个零点，

由得，令，即，只有函数与有两个交点时，函数有两个零点，

∵，∴时，，时，，

∴的单调递减区间为，单调递增区间为，当时，，

∴时，函数有两个零点，

综上所述，实数a的取值范围是，

故选：.

二、填空题

10．若集合，，，则集合的子集个数为      ．

【答案】4

【分析】根据交集的运算求出集合，然后根据集合中有n个元素，则子集个数为即可得出答案.

【详解】解：∵集合，，，

∴，

∴集合的子集个数为：．

故答案为：4．

11．已知，，则的取值范围是      ．

【答案】

【分析】利用不等式的性质求解.

【详解】∵，∴，

又∵，∴，

∴的取值范围是.

故答案为：.

12．函数的单调递增区间为             .

【答案】

【分析】利用复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，求出f（x）的单调递增区间．

【详解】解得或

则在单调递增， 单调递减，

又 为减函数，则的单调递增区间为

故答案为．

【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．

13．已知函数的最小值为，则      .

【答案】

【分析】配方得，结合基本不等式即可求解

【详解】，当且仅当时等号满足，

故答案为：9

14．已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则实数的取值范围是      ．

【答案】

【分析】利用函数的单调性和偶函数在对称区间单调性相反可得.

【详解】因是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，

所以在区间上单调递减，且，

由，在区间上单调递增，故，

由，在区间上单调递减，故，

综上，

故答案为：

三、双空题

15．已知函数，则的最小值是          ，若关于x的方程有且仅有四个不同的实数解，则整数a的取值范围是          ．

【答案】         

【分析】分段函数分别计算两段的最小值，得到函数的最小值；方程有且仅有四个不同的实数解,即函数的图像与函数的图像有四个不同的交点，作出函数图像，数形结合解决.

【详解】函数，由可知，时，函数有最小值；

函数，由，得，则，此时函数最小值为.

所以函数的最小值是.

方程有且仅有四个不同的实数解,即函数的图像与函数的图像有四个不同的交点，

作出函数的图像，由a为整数，如图所示，只有函数和的图像与函数的图像有四个不同的交点，

所以整数a的取值范围是.

故答案为：；

四、解答题

16．已知，．

(1)求的值；

(2)若m＞0，n＞0，且，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用对数的运算法则求解；

（2）利用基本不等式求解.

【详解】（1）由题意得，，

所以，．

（2）由换底公式得：，

所以，

当且仅当，即，等号成立，

因此的最小值为．

17．已知函数．

(1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)若不等式对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围；

(3)若方程有两个大于1的不等实数根，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）利用二次函数单调性，列出不等式求解作答.

（2）利用一元二次不等式恒成立，列出不等式求解作答.

（3）利用一元二次方程实根分布求解作答.

【详解】（1）二次函数的对称轴为，

因为函数在上单调递增，因此，解得，

所以实数a的取值范围是.

（2）依题意，，即，解得，

所以实数a的取值范围是.

（3）依题意，，即，解得，

所以实数a的取值范围是.

18．设函数（其中e是自然对数的底数），，已知它们在处有相同的切线．

(1)求函数，的解析式；

(2)求函数在上的最小值；

(3)若对，恒成立求实数k的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

(3)．

【分析】（1）由切点和切线斜率相同，利用导数求函数，的解析式；

（2）利用导数求函数单调性，分类讨论求函数在上的最小值；

（3）利用导数研究函数单调性，通过最值解决恒成立问题.

【详解】（1）函数，，

则有，，

由题意，两函数在处有相同的切线，

因为，，则，

，解得，，

所以，．

（2），由得；由得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

因为，所以，

当时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，

所以．

当时，在上单调递增，

所以，

所以，

（3）令，

由题意知当时，，

因为，恒成立，

所以，所以．

，

因为，由，得，所以；

由，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

①当，即时，在上单调递增，

，不满足．

②当，即时，由①知，，满足．

③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，满足．

综上所述，满足题意的实数k的取值范围为．

【点睛】1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.