数学：天津市红桥区2022-2023学年高二下学期期末试题（解析版）

这是一份数学：天津市红桥区2022-2023学年高二下学期期末试题（解析版），共13页。试卷主要包含了 “成立”是“成立”的， 函数的零点所在的区间为等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目填写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.
参考公式：
柱体的体积公式，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高.
锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高.
球的体积公式，其中R表示球的半径.
球的表面积公式，其中R表示球的半径.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，
又，
.
故选：C
2. 命题“，总有”的否定是（ ）
A. ，总有B. ，总有
C. ，使得D. ，使得
【答案】D
【解析】利用“改量词否结论”可知：，总有”的否定是：，使得.
故选：D.
3. “成立”是“成立”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由|x-1|＜2得-1＜x＜3，由x（x-3）＜0得0＜x＜3，所以“|x-1|＜2成立”是“x（x-3）＜0成立”的必要不充分条件
4. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由指数函数单调性可知：，且，
由对数函数单调性可知：，所以，
故选：B.
5. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. B.
C. D. 且
【答案】C
【解析】对于A，定义域不关于原点对称，不是奇函数，故不符合题意；
对于B，，，
所以不是奇函数，故不符合题意；
对于D，令，，，
所以且不是减函数，故D选项不符合题意；
对于C，令，
定义域关于原点对称且，
所以是奇函数，
又因为，均是减函数，所以也是减函数，故C满足题意.
故选：C.
6. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为函数在上均为减函数，
所以函数在上为减函数，
因为，
所以函数的零点所在的区间为，
故选：B
7. 已知为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】因为，故实部为1，虚部为-1，则对应的点（1，-1）在第四象限，选择D
8. 已知某圆柱高为5，底面半径为，则该圆柱的体积为（ ）
A. 6πB. 9π
C. 12πD. 15π
【答案】D
【解析】由题意得该圆柱的体积为.
故选：D
9. 设是直线，是两个不同的平面，那么下列判断正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】D
【解析】对于A，若，，则或与相交，故A不正确；
对于B，若，，则或或与相交，故B不正确；
对于C，若，，则或，故C不正确；
对于D，若，过作平面，使得，则，又，所以，又，根据面面垂直的判定可得，故D正确.

故选：D.
10. 函数的最大值和最小正周期分别是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】因为，所以，.
故选：D
11. 把函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移个单位，则所得图形对应的函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），
得到，
把图象向左平移个单位，得到
故选：D．
12. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，
故C正确；
对于D，，
故D错误.故选：C.
13. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 向量在向量上的投影向量是
C.
D. 与向量方向相同的单位向量是
【答案】D
【解析】A：由，故不成立，错；
B：由，错；
C：，则，错；
D：与向量方向相同的单位向量是，对.
故选：D
14. 抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，将向上的点数分别记为，则（ ）
A. 的概率为
B. 能被5整除的概率为
C. 为偶数的概率为
D. 的概率为
【答案】B
【解析】试验的样本点总数，
对于A，“”包含的样本点有：，共5个，
所以，故A错误；
对于B，“能被5整除”包含的样本点有：共7个，所以（能被5整除），故B正确；
对于C，“为偶数”的对立事件为：“为奇数”，“为奇数”等价于“和均为奇数”，所以（为奇数），故（为偶数），故C错误；
对于D，“”的对立事件为“”，事件“”包含“”和“”，易知，又，所以，所以，故D错误.
故选:B.
15. 已知，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】画出的图象如下图所示，
所以，
解得，所以不等式的解集为.
故选：A

第Ⅱ卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
二、填空题：本大题共6个小题.
16. 是虚数单位，复数___________.
【答案】
【解析】.
故答案为：.
17. 学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩（单位：分）分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的75%分位数是______.
【答案】90
【解析】8名学生的成绩从小到大排列为：63，68，76，77，82，88，92，93，
因为，所以75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，
即（分）.
故答案为：90.
18. 有一道数学难题，在半小时内，甲、乙能解决的概率都是，丙能解决的概率是，若3人试图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到解决的概率为___．
【答案】
【解析】设“在半小时内，甲、乙、丙能解决该难题”分别事件A，B，C，“在半小时内解该难题得到解决”为事件D，
则，，，表示事件“在半小时内没有解决该难题”，，
所以，
；
故答案为：.
19. 某公园里有一些石墩，每张石墩是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示，一张石墩的体积是，那么原正方体石料的体积是________.
【答案】
【解析】设原正方体石料的棱长为，则原正方体石料的体积为，
截去的八个四面体的体积为，
则，所以，
所以原正方体石料的体积为．
故答案为：1．
20. 近年来随着移动互联网的发展，在线点外卖成为城市居民重要的餐饮方式之一，送餐员的需求量越来越大，甲、乙两名送餐员某一周内每天完成的订单量如图所示，则下列结论中正确的是________.（只填写序号）
①甲该周的订单总量比乙该周的订单总量大
②甲的方差比乙的方差大
③甲标准差比乙的标准差大
④甲、乙两人在工作日一天送的外卖比周末一天送的多
【答案】①④
【解析】甲、乙该周的订单总量之差为，故甲的订单总量更大，故①正确；
从折线图可以看出，甲的数据波动明显比乙的数据波动小，故甲的方差更小，故②错误；
因为甲的方差更小，所以甲的标准差也更小，故③错误；
甲、乙两人在星期日和星期六的订单量都是一周内最小的两个数据，故④正确．
故答案为：①④．
21. 若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】，即
当时，则不等式解集，不符合题意；
当时，则不等式解集为，不符合题意；
当时，
若时，不等式解集为，不符合题意；
若时，不等式解集为，故只需满足，解得；
若时，不等式解集为，不合题意；综上：.
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22. 已知0＜α＜，sinα＝．
（1）求tanα的值；
（2）求cs(2)的值；
（3）若0＜β＜且cs(α+β)＝，求sinβ的值．
解：（1）∵0＜α＜，sinα＝，
∴csα＝，
∴tanα＝.
（2）∵sin2α＝2sinαcsα＝，cs2α＝cs2αsin2α＝，
∴cs(2)＝(cs2αsin2α)＝()＝，
（3）∵0＜α＜，0＜β＜，
∴0＜α+β＜π，
∵cs(α+β)＝，
∴sin(α+β)＝，
∴sinβ＝sin[(α+β)α]＝sin(α+β)csαcs(α+β)sinα＝.
23. 在中，
（1）求的值；
（2）若，，求的值.
解：（1）因为在中，，所以，；
（2）由（1）知，，所以
因为，所以
又因为，由正弦定理，可得
24. 已知向量，，，且，．
（1）求向量、；
（2）若，，求向量，的夹角的大小.
解：（1）因为，，，且，，
所以，，
所以，，
所以，；
（2）设向量，的夹角的大小为．
由题意可得，，，
所以，
因为，所以．
25. 如图，六棱锥的底面是边长为1的正六边形，平面，.
（1）求证：直线平面；
（2）求证：直线平面；
（3）求直线与平面所的成角.
解：（1）∵正六边形，∴，，
∴，∴，
∵平面，平面，
∴直线平面.
（2）在中，，易得，
在中，，，
∴,∴，
因为平面， 平面，故，
∵,平面，故直线平面.
（3）∵平面，
∴即为直线与平面所的成角，
在中，，，∴，
∴，
即为直线与平面所的成角为.
26. 已知函数.
（1）判断的奇偶性；
（2）若，判断在的单调性，并证明（定义法、导数法均可）；
（3）若，，判断函数的零点个数，并说明理由.
解：（1）由题意知：的定义域为，
∵，
∴为定义在上的奇函数；
（2）方法一：若，上单调递减，
任取，
，
∵，∴，∴，又，
∴，∴在上单调递减.
证明二：，
∵，
∴在上小于0，
∴在上单调递减.
（3）当时，，∴．
令，则，，
令，解得：
由在上单调递增，∴当时，，
∴有两个不同的零点.