高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.1 圆的标准方程同步练习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.1 圆的标准方程同步练习题，共6页。试卷主要包含了6 m D．2等内容，欢迎下载使用。
2．3　圆及其方程2.3.1　圆的标准方程知识点一  圆的标准方程1.已知一圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为(　　)A．(1,0)，4  B．(－1,0)，2C．(0,1)，4  D．(0，－1)，2答案　D解析　由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，知圆心为(a，b)，半径为r，易知答案为D.2．方程(x－1) ＝0所表示的曲线是(　　)A．一个圆  B．两个点C．一个点和一个圆  D．一条直线和一个圆答案　D解析　(x－1)＝0可化为x－1＝0或x2＋y2＝3，因此该方程表示一条直线和一个圆．3．方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆(　　)A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线x－y＝0对称D．关于直线x＋y＝0对称答案　D解析　易得圆心C(－a，a)，即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称，故选D.知识点二  点与圆的位置关系4.若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是(　　)A．(－1,1)  B．(0,1)C.  D.答案　A解析　因为点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以(2a)2＋[(a＋1)－1]2＜5，解得－1<a<1.故选A.5．(多选)若点A(a＋1,3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的值可以是(　　)A．0  B．1  C．2  D．5答案　BC解析　由题意，得(a＋1－a)2＋(3－1)2>m，即m<5，又易知m>0，∴0<m<5，故选BC.知识点三  求圆的标准方程6.求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．解　解法一(几何法)：设点C为圆心，∵点C在直线x－2y－3＝0上，∴可设点C的坐标为(2y0＋3，y0)．∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|，∴ ＝ ，解得y0＝－2，∴圆心坐标为C(－1，－2)，半径长r＝.故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.解法二(待定系数法)：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题设条件知解得故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.解法三(几何法)：线段AB的中点的坐标为(0，－4)，直线AB的斜率kAB＝＝，∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝－2，∴弦AB的垂直平分线的方程为y＋4＝－2x，即y＝－2x－4.又圆心是直线y＝－2x－4与直线x－2y－3＝0的交点，由得∴圆心坐标为(－1，－2)，∴圆的半径长r＝＝，故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.7．已知圆P过点A(1,0)，B(4,0)．(1)若圆P还过点C(6，－2)，求圆P的标准方程；(2)若圆心P的纵坐标为2，求圆P的标准方程．解　(1)设圆P的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则解得故圆P的标准方程为(x－)2＋(y＋)2＝.(2)由圆的对称性，可知圆心P的横坐标为＝，故圆心P，2，故圆P的半径r＝＝，故圆P的标准方程为(x－)2＋(y－2)2＝.知识点四  圆的标准方程的实际应用8.已知隧道的截面是半径为4 m 的半圆，为确保车辆安全，要求车辆只能在道路中心线右侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？解　以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)，将x＝2.7代入，得y＝＝＜3.即在离隧道中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道．  一、选择题1．点(sin30°，cos30°)与圆x2＋y2＝的位置关系是(　　)A．在圆上  B．在圆内C．在圆外  D．不能确定答案　C解析　∵sin230°＋cos230°＝2＋2＝1>，∴点在圆外．2．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是(　　)A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1答案　A解析　圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆心C(2，－1)，故圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.3．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半径为3.6 m的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过(　　)A．1.4 m  B．3.5 mC．3.6 m  D．2.0 m答案　B解析　如图所示为隧道与卡车的横截面，以半圆的直径为x轴，圆心为原点建立直角坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)，点A的坐标为(0.8，h)．设M(0.8，y)在半圆上，则y＝≈3.5，∴h≤y≈3.5(m)．4．方程|x－1|＝表示的曲线是(　　)A．一个圆  B．两个半圆C．两个圆  D．半圆答案　A解析　方程|x－1|＝两边平方得|x－1|2＝()2，即(x－1)2＋(y＋1)2＝1，所以方程表示的曲线为一个圆，故选A.5．(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为(　　)A．x2＋(y－4)2＝20  B．(x－4)2＋y2＝20C．x2＋(y－2)2＝20  D．(x－2)2＋y2＝20答案　AD解析　令x＝0，得y＝4，令y＝0，得x＝2.即直线与两坐标轴的交点为A(0,4)和B(2,0)．以点A为圆心，过点B的圆的方程为x2＋(y－4)2＝20；以点B为圆心，过点A的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20.故选AD.二、填空题6．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝x的距离是________．答案　解析　圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，由点到直线的距离公式得d＝＝.7．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为________________．答案　(x－2)2＋y2＝10解析　设圆C的方程为(x－a)2＋y2＝r2，则解得所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.8．过两点A(1,0)，B(2,1)，且圆心在直线x－y＝0上的圆的标准方程是________．答案　(x－1)2＋(y－1)2＝1解析　线段AB的中点为，A，B所在直线的斜率为1，所以直线AB的垂直平分线的方程为y－＝－，化简得y＝－x＋2，与x－y＝0联立，解得圆心坐标为(1,1)，半径r＝＝1，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.三、解答题9．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程．解　(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.又点T(－1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.(2)由解得点A的坐标为(0，－2)，因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M(2,0)，所以M为矩形ABCD外接圆的圆心，又r＝|AM|＝＝2，所以矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.10．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．(1)若点M(6,9)在圆上，求a的值；(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．解　(1)因为点M在圆上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，又a>0，可得a＝.(2)由两点间距离公式可得|PN|＝＝，|QN|＝＝3.因为线段PQ(不含端点)与圆有且只有一个公共点，所以P，Q两点一个在圆N内，另一个在圆N外，又3<，所以3<a<，即a的取值范围是(3，)．