人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程精练

人教A版（2019）选择性必修第一册《2.2 直线的方程》提升训练

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）方程表示

A. 通过点的一切直线
B. 通过点且不垂直于轴的一切直线
C. 通过点的一切直线
D. 通过点且除去轴的一切直线

2.（5分）若直线与直线垂直，且直线在轴上的截距为，则直线的方程为

A.  B.
C.  D.

3.（5分）过两点，的直线是，过点且斜率为的直线为，则 与的位置关系是

A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 重合

4.（5分）已知点，，则线段的垂直平分线方程为 
 

A.  B.
C.  D.

5.（5分）过点的直线与轴，轴分别交于，两点，且，则的方程是

A.  B.
C.  D.

6.（5分）经过点且垂直于直线的直线的方程为

A.  B.
C.  D.

7.（5分）直线与，轴所围成的三角形的面积等于

A.  B.  C.  D.

8.（5分）与直线的斜率相等，且过点的直线方程为   
 

A.  B.
C.  D.

二 、填空题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）过点，且在坐标轴上的截距相等的直线的方程为______ .

10.（5分）平面直角坐标系中，三角形顶点分别为，，，点在线段上异于端点，设，，，均为非零实数，直线交于点，则所在的直线的方程为 ______ .

11.（5分）已知过点和的直线与直线平行，则的值为 ______ ．

12.（5分）已知直线：与：垂直，则直线的倾斜角为 ______ .

13.（5分）过点的所有直线中，距离原点最远的直线的方程是___________.

三 、解答题（本大题共5小题，共60分）

14.（12分）已知中，，，． 
求直线的方程； 
求边上的高所在的直线方程．

15.（12分）已知直角的顶点的坐标为，直角顶点的坐标为，顶点在轴上．  
求边所在直线的方程；  
求直线的斜边中线所在的直线的方程．

16.（12分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为． 
Ⅰ求椭圆的方程； 
Ⅱ直线过点且与椭圆相交于、两点，当面积取得最大值时，求直线的方程．

17.（12分）分别求满足下列条件的直线方程． 
Ⅰ过点，且平行于：的直线； 
Ⅱ与：垂直，且过点的直线．

18.（12分）已知直线：与：． 
若、两点分别在直线、上运动，求的中点到原点的最短距离； 
若，直线过点，且被直线、截得的线段长为，求直线的方程．

四 、多选题（本大题共5小题，共25分）

19.（5分）过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为

A.  B.  C.  D.

20.（5分）下列说法不正确的是

A. 不能表示过点且斜率为的直线方程
B. 在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为
C. 直线与轴的交点到原点的距离为
D. 设，，若直线：与线段有交点，则的取值范围是

21.（5分）直线与无公共点，则的取值可能是

A.  B.  C.  D.

22.（5分）已知直线：，其中，下列说法正确的是

A. 当时，直线与直线垂直
B. 若直线与直线平行，则
C. 直线过定点
D. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等

23.（5分）过点且和，距离相等的直线的方程是

A.  B.  C.  D.

答案和解析

1.【答案】B;

【解析】解：方程，即，表示通过点且斜率为的一切直线， 
即它表示通过点且不垂直于轴的一切直线， 
故选： 
由题意根据直线的点斜式方程，得出结论． 
此题主要考查直线的点斜式方程，属于基础题．
 

2.【答案】B;

【解析】  
此题主要考查两直线垂直的性质与直线的点斜式方程，属于基础题. 
根据题意得出直线的斜率为，再利用直线在轴上的截距为即可得到答案. 
 
解：根据题意直线的斜率为， 
所以直线的斜率为 
又直线在轴上的截距为， 
即直线与轴的交点为， 
所以直线的方程为，即 
故选
 

3.【答案】B;

【解析】解：直线的斜率， 
而， 
故， 
故选：． 
求出直线的斜率，根据斜率的乘积是，求出直线的位置关系即可． 
该题考查了直线的斜率问题，考查直线的位置关系即可．
 

4.【答案】D;

【解析】 
此题主要考查了点关于直线对称的性质以及直线方程的求法，属于基础题. 
注意到线段的垂直平分线经过的中点，且与直线垂直，则两直线的斜率相乘等于，求出直线斜率，再利用点斜式求方程. 
 
解：点，， 
的中点坐标为，， 
线段的垂直平分线经过点，设斜率为， 
则， 
所以所求方程为即  
故选
 

5.【答案】D;

【解析】解：设， 
， 
点为的中点， 
则， 
即 
故选：． 
由题意知点为的中点，进而得出点和的坐标，然后根据截距式求出方程即可． 
这道题主要考查用截距式求直线方程，属于基础题．
 

6.【答案】B;

【解析】 
此题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于基础题. 
先设与直线垂直的直线，再把点代入，即可求出值即可得直线方程. 
 
解： 设所求直线方程为， 
而所求直线过点， 
所以，解得， 
因此 
故选
 

7.【答案】B;

【解析】解：由直线的截距式方程，得直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为：， 
故选：． 
利用直线的截距式方程，可得直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，从而求得直线与，轴所围成的三角形的面积． 
这道题主要考查了直线方程的截距式，以及三角形面积公式，是基础题．
 

8.【答案】C;

【解析】 
此题主要考查直线方程的求法，考查计算能力．求出直线的斜率，利用直线经过点，即可求出所求直线方程． 
 
解：因为所求直线与直线的斜率相等，即为，且直线经过点， 
所以 
故选 

 

9.【答案】或 ;

【解析】此题主要考查了直线的截距式方程，分直线过原点和不过原点两种情况讨论，直线过原点时直接求出斜率得直线方程；不过原点时设出直线方程，代入点的坐标得答案．解：当直线过原点时，直线的斜率，直线方程为，即；当直线不过原点时，设直线方程为， 
将代入得，所以直线方程为：故答案为或
 

10.【答案】;

【解析】解：直线方程：，直线的方程为：， 
两个方程相减可得：， 
可知：交点及原点满足上述方程． 
因此所在的直线的方程为： 
故答案为： 
利用截距式方程即可得出． 
此题主要考查了直线的截距式方程，属于基础题．
 

11.【答案】-8;

【解析】解：直线的斜率等于，  
过点和的直线的斜率也是，  
解得：  
故答案为：  
因为过点和的直线与直线平行，所以，两直线的斜率相等．  
该题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．
 

12.【答案】120°;

【解析】解：：的斜率为， 
直线的斜率为， 
设直线的倾斜角为，则， 
， 
故答案为： 
由垂直可得直线的斜率，由斜率和倾斜角的关系可得． 
此题主要考查直线的垂直关系，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，属基础题．
 

13.【答案】;

【解析】

此题主要考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，直线的点斜式方程，属于基础题. 
经过点的所有直线中距离原点最远的直线是与直线垂直的直线，利用斜率计算公式、直线的点斜式方程即可得出． 
 

解：如图所示，

只有当直线与垂直时，原点到的距离最大，

此时，

，

方程为，

即

故答案为
 

14.【答案】解：（1）∵B（-4，0），C（3，-1），∴， 
∴直线BC的方程为， 
即x+7y+4=0． 
（2）设BC边上的高所在的直线为AD，则=7， 
∴AD的直线方程为y-2=7（x-2）， 
即BC边上的高所在的直线方程为：7x-y-12=0．;

【解析】 
由两点求斜率公式求得所在直线斜率，再由直线方程的点斜式得答案；  
由两直线垂直与斜率的关系求得边上的高所在直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 
该题考查直线方程的求法，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．
 

15.【答案】解：（1）依题意，直角△ABC的直角顶点为  
所以AB⊥BC，故•=-1，  
又因为A（-3，0），∴==，∴=-=-．  
∴边BC所在的直线方程为：y-=-（x-1），即x+y-2=0．  
（2）因为直线BC的方程为，点C在x轴上，  
由y=0，得x=2，即C（2，0），  
所以，斜边AC的中点为（0，0），  
故直角△ABC的斜边中线为OB（O为坐标原点）．  
设直线OB：y=kx，代入，得，  
所以直角△ABC的斜边中线OB的方程为．;

【解析】 
利用相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出．  
利用直线与坐标轴相交可得坐标，利用中点坐标公式可得斜边的中点，设直线：，代入可得． 
该题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

16.【答案】解：设椭圆方程为 
（Ⅰ）由已知得⇒， 
∴所求椭圆方程为8+16=1． 
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+2，A（，），B（，） 
由，消去y得关于x的方程：（1+2）+8kx+6=0， 
由直线l与椭圆相交于A、B两点， 
∴△＞0⇒64-24（1+2）＞0 
解得 
又由韦达定理得 
∴= 
原点O到直线l的距离 
∵． 
对两边平方整理得：4S2+4（S2-4）+S2+24=0（*） 
∵S≠0， 
整理得： 
又S＞0，∴ 
从而S△AOB的最大值为， 
此时代入方程（*）得4-28+49=0∴ 
所以，所求直线方程为：．;

【解析】 
Ⅰ先设出椭圆标准方程，根据题意可知，根据准线方程求得和的关系，进而求得，和，则椭圆方程可得．  
Ⅱ设出直线的方程和，的坐标，进而把直线方程与椭圆方程联立，消去，根据判别式大于求得的范围，根据韦达定理求得，的表达式，表示出，求得原点到直线的距离，进而表示出三角形的面积，两边平方根据一元二次方程，建立关于的不等式，求得的最大值，进而求得，则直线方程可得． 
这道题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系．考查了学生分析问题和基本运算的能力．
 

17.【答案】解：（Ⅰ）所求直线行于， 
∴所求直线的斜率为-2，又过点为（0，-1）， 
∴由点斜式可得直线方程为y+1=-2（x-0）， 
即2x+y+1=0； 
（Ⅱ）所求直线直线与垂直， 
可设直线方程为x-y+m=0， 
过点P（-1，0），则m=1， 
故所求直线方程为x-y+1=0．;

【解析】 
Ⅰ根据直线的平行关系代入点斜式方程即可；Ⅱ根据直线的垂直关系设出直线方程，求出即可． 
该题考查了直线的位置关系，考查求直线方程问题，是一道基础题．
 

18.【答案】解：（1）设与直线及平行且到此两条直线的距离相等的直线上的任意一点为P（x，y）， 
则=， 
化为：6x+8y-1=0， 
可得：AB的中点D到原点的最短距离为原点O到上述直线的距离==； 
（2）设要求的直线方程为：y-3=k（x-2）， 
分别联立：，， 
解得：，， 
由题意可得：=3， 
化为：11+24k+4=0， 
解得k=-2，或-． 
∴直线l的方程为：y=-2x+7，或y=-x+．;

【解析】 
设与直线及平行且到此两条直线的距离相等的直线上的任意一点为，可得：，化简即可得出方程．可得：的中点到原点的最短距离为原点到上述直线的距离． 
设要求的直线方程为：，分别联立：，，解得交点，利用两点之间的距离公式进而得出结论． 
该题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、点到直线距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

19.【答案】AC;

【解析】解：当直线经过原点时，斜率为， 
此时，直线的方程为，即 
当直线经过原点时， 
设在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为， 
把点代入方程，求得， 
故要求的直线的方程为 ， 
故选： 
分类讨论，分别用点斜式、截距式求得直线的方程． 
此题主要考查用点斜式、截距式求直线的方程，属于基础题．
 

20.【答案】BCD;

【解析】解：对于选项：由于定义域为，所以不过点，故选项正确， 
对于选项：当时，在轴、轴上的截距分别为的直线不可用表示，故选项错误， 
对于选项：直线与轴的交点为，到原点的距离为，故选项错误， 
对于选项：直线方程可化为，恒过定点，画出图形，如图所示， 
，， 
若直线：与线段有交点，则，或， 
即或，故选项错误， 
故选： 
根据直线方程两点式和截距式形式的局限性，可判断选项，的正误，由截距和距离的定义可判断选项的正误，选项中直线过定点，利用数形结合法可得的取值范围． 
此题主要考查了直线方程的几种形式的使用范围，考查了学生概念理解、综合分析的能力，属于基础题．

 

21.【答案】AB;

【解析】 
此题主要考查直线方程的概念以及两条直线平行判定，属于基础题. 
根据直线方程的概念以及两条直线平行的条件求解，本题易错点：误将方程 当做直线的方程. 
 
解：表示直线去掉点， 
直线与不相交的条件是： 
直线与平行或直线过点， 
的取值为或 
故选：
 

22.【答案】AC;

【解析】解：直线：，  
对于，当时，直线的斜率，直线的斜率为，直线与直线垂直，故A正确；  
对于，若直线与直线平行，则，解得或，故B错误；  
对于，无论取何值，当时，，直线过定点，故C正确；  
对于，当时，直线：在轴上的截距为，在轴上的截距为，  
当时，直线在两坐标轴上的截距不相等，故D错误．  
故选：． 
对于，当时，直线的斜率，直线的斜率为，直线与直线垂直；对于，若直线与直线平行时，或；对于，无论取何值，当时，；对于，当时，直线：在轴上的截距为，在轴上的截距为． 
此题主要考查命题真假的判断，考查直线方程、直线与直线平行、直线与直线垂直等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

23.【答案】AB;

【解析】 
此题主要考查直线的一般式方程，中点坐标公式，属于基础题. 
由题意可知当直线平行于直线时，或过的中点时满足题意，分别求其斜率可得方程． 
 
解：当直线平行于直线时，或过的中点时满足题意，

当直线平行于直线时，所求直线的斜率为，

故所求直线方程为，即；

当直线过的中点时，斜率为，

故所求直线方程为；

故所求直线方程是为：或

故选