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初中数学人教版八年级上册13.1.1 轴对称练习
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这是一份初中数学人教版八年级上册13.1.1 轴对称练习，文件包含八年级数学上册必考点07轴对称轴对称图形垂直平分线性质及判定-题型·技巧培优系列2022-2023学年八年级数学上册精选专题人教版原卷版docx、八年级数学上册必考点07轴对称轴对称图形垂直平分线性质及判定-题型·技巧培优系列2022-2023学年八年级数学上册精选专题人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
必考点07 轴对称、轴对称图形、垂直平分线的性质及判定
●题型一 轴对称图形的识别
【例题1】（2022秋•玄武区校级月考）以下四大通讯运营商的企业图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．中国移动 B．中国电信
C．中国网通 D．中国联通
【例题2】（2022秋•临平区月考）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【例题3】（2022春•南岗区校级期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B． 等腰三角形 C． 矩形 D． 菱形
【解题技巧提炼】
1.轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
2.轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
3.常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
●题型二 轴对称图形性质的应用
★★★1、解决求面积问题
【例题4】（2022春•大东区期末）如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是 ．
★★★2、解决求线段长问题
【例题5】如图，点P是∠AOB外一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为多少．
★★★3、解决求角度问题
【例题6】（2022秋•平城区校级月考）在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在边BC上的点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝80°．则∠MGE的度数为（ ）
A．50° B．90° C．40° D．80°
【解题技巧提炼】
1.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
2.求不规则图形阴影部分的面积时，一般先通过观察找到阴影部分与非阴影部分面积之间的关系，利用轴对称图形的性质将不规则图形转化规则的图形或便于求解的图形，从而求出阴影部分的面积.
●题型三 轴对称及轴对称的性质
【例题7】如图，每组中的两个图形成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【例题8】（2022秋•宝应县月考）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．50° C．90° D．100°
【例题9】（2022春•礼泉县期末）如图，已知△ABC与△ABD关于AB所在的直线对称，延长AD交CB的延长线于点E，若AC+BC＝AE，且∠C＝40°，则∠E的度数为 ．
【例题10】（2022春•六盘水期末）如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在
直线MN上．
（1）图中点C的对应点是点 ，∠B的对应角是 ；
（2）若DE＝5，BF＝2，则CF的长为 ；
（3）若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数．
【解题技巧提炼】
1.轴对称的定义：
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点
◎◎注意：
①轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等．
②若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称．
2.轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
●题型四 线段的垂直平分线的性质的应用
【例题11】 （2022春•青羊区校级期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E．已知△ABC与△BCE的周长分别为22cm和14cm，则BD的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【例题12】（2022春•永丰县期中）如图，在Rt△ABC中DE为AB的垂直平分线．
（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，试求△ACD的周长；
（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数．
【例题13】（2022秋•锡山区校级月考）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F．
（1）若△AEF的周长为10cm，求BC的长；
（2）若∠BAC＝110°，求∠EAF的度数．
【解题技巧提炼】
1.线段垂直平分线的定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
2.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
3.运用求线段长或证明线段长或求周长的问题时，如果不能直接求就要利用线段垂直平分线的性质进行转
化，连接线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点是常用的添加辅助线的方法.
●题型五 线段的垂直平分线的判定
【例题14】（2022春•兰州期末）如图，点E是△ABC的边AB的延长线上一点，∠BCE＝∠A+∠ACB，
求证：点E在BC的垂直平分线上．
【例题15】（2021秋•偃师市期末）如图已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：
（1）∠ECD＝∠EDC；
（2）OE是CD的垂直平分线．
【解题技巧提炼】
垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，通常要找到这样的两个点，根据“两点确定一条直线”来判定这条直线是已知直线的垂直平分线.
●题型六 利用线段的垂直平分线解决实际问题
【例题16】（2022秋•盐都区月考）某地兴建的幸福家园的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该安装在△ABC（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
【例题17】在国家精准扶贫政策的指导下，湖南龙山县有两个村庄P、Q种植了大量猕猴桃，现在正是丰
收的季节．为了让猕猴桃通过互联网迅速销往各地，当地准备在两个村庄的公路m旁建立公用移动通信基
站，要使基站到两个村庄的距离相等，基站应该建立在（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【解题技巧提炼】
三角形三边的垂直平分线相交于一点且该点到三角形三个顶点的距离相等，因此在找到三个顶点距离相等
的点时，只要画出三角形任意两条边的垂直平分线，其交点即为所求.
●题型七 轴对称中的探究题
【例题18】（2021秋•西湖区校级月考）如图，在折纸活动中，小明制作了一张∠ABC纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将∠ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合．
（1）若∠A＝75°，则∠1+∠2＝ ；
（2）若∠A＝n°，则∠1+∠2＝ ；
（3）由（1）（2）探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
【解题技巧提炼】
轴对称中的探究题主要是利用轴对称的性质解决问题，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
◆◆题型一 轴对称图形的识别
1．（2022秋•雨花区校级月考）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021秋•道里区校级期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．等腰三角形
C．长方形 D．平行四边形
3．（2021秋•宜兴市月考）下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形；⑥平行四边形．其中一定是轴对称图形的有 个．
◆◆题型二 轴对称图形性质的应用
4．（2022•东明县一模）如图，正方形ABCD的边长为6．则图中阴影部分的面积为 ．
5．（2021秋•泰山区校级月考）如图，不考虑阴影，图形的对称轴是直线l，其中圆的面积为4π，则阴影部分的面积是 ．
6．（2020秋•徽县校级期中）如图，在△ABC中，直线l交AB于点M，交BC于点N，点B关于直线l的对称点D在线段BC上，且AD⊥MD，∠B＝28°，求∠DAB的度数．
◆◆题型四 轴对称及轴对称的性质
7．下面的每组图形中，左右两个图形成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022秋•安丘市校级月考）如图，已知△ABC和△ADC关于直线AC成轴对称，∠B＝30°，∠BAD＝46°，则∠BCD的度数为（ ）
A．120° B．116° C．106° D．96°
9．（2021秋•海珠区校级期中）如图，直线m是五边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝130°，∠B＝110°，那么∠BCD等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
10．（2022春•绿园区期末）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对称点是点D，连结CD交OA于点M，交OB于点N．
（1）①若∠AOB＝60°，求∠COD的度数．
②若∠AOB＝n°，则∠COD＝ °（用含n的代数式表示）．
（2）若CD＝4，则△PMN的周长为 ．
◆◆题型五 线段的垂直平分线的性质的应用
11．（2022秋•香坊区校级月考）如图，AB＝AC，BC＝4，△BCE的周长为9，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，则AB＝（ ）
A．6 B．5 C．4 D．无法确定
12．（2021秋•大丰区期中）如图，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D、交AC于点E，△BCE的周长等于22cm．
（1）证明：BE+EC＝AC；
（2）求AC的长．
13．（2021秋•蓝山县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为线段CE的中点，∠CAD＝20°，∠ACB＝70°．求证：BE＝AC．
◆◆题型六 线段的垂直平分线的判定
14．（2022•丰顺县校级开学）已知，如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于点D，求证：点D在BC的垂直平分线上．
15．如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段AC的垂直平分线上．
16．（2022春•兰州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是AB上的一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于点F，求证：点E在AF的垂直平分线上．
◆◆题型七 利用线段的垂直平分线解决实际问题
17．（2022春•胶州市期中）某公园的A，B，C处分别有海盗船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目，现要在公园内一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心应建立在（ ）
A．△ABC三边高线的交点处 B．△ABC三角角平分线的交点处
C．△ABC三边中线的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处
18．（2021秋•两江新区期末）直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（ ）
A．B．C．D．
◆◆题型八 轴对称中的探究题
19．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称．
（1）画出直线EF；
（2）直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB″与直线MN、EF所夹锐角α的数量关系；
（3）你能否将△ABC经过一次变换得到△A″B″C″？如果能，请说说你是如何变换的？如果不能，请说明理由．
1．（2022秋•天心区校级月考）下列学校的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2.（2021秋•石家庄期末）如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB，则下列结论正确的有（ ）
①AO＝BO；②PO⊥AB；③∠APO＝∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．AC＝A1C1 B．BO＝B1O C．CC1⊥MN D．AB∥B1C1
4．（2022春•张家川县期末）如图，在△ACE中，AE＝7，AC＝9，CE＝12，点B、D分别在边CE、AE上，若△ACD与△BCD关于CD所在直线对称，则△BDE的周长为 ．
5．（2022春•隆回县期末）如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，∠BAD＝40°，三角形ADB与三角形ADB′关于直线AD对称，点B的对称点是B′，则∠CAB′的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
6．某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．
7．（2021秋•吴江区校级月考）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，将纸片沿着CD折叠，使AC边与BC边重合，则∠A'DB的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
8．（2022春•港北区期末）如图，∠BAC＝110°，若A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，则∠PAQ的大小是（ ）
A．70° B．55° C．40° D．30°
9．（2022秋•东台市校级月考）如图，P在∠AOB内，点C、D分别是点P关于AO、BO的对称点．如果△PMN的周长为12，则CD的长为（ ）
A．6 B．12 C．15 D．18
10．（2021秋•临沂期末）如图，直线l，m相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝2.7．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（ ）
A．0 B．5 C．6 D．7
11．（2022秋•南岗区校级月考）如图，△ABC中，点D在BC边上，做点D关于直线AB的对称点E，连接AE，做点D关于直线AC的对称点F，连接AF．∠B＝61°，∠C＝54°，则∠EAF的度数为（ ）
A．130° B．122° C．115° D．108°
12．（2022秋•铁西区月考）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接AE，若AD＝2，△ABE的周长为12，则△ABC的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
13．（2022春•雁塔区校级月考）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝12°，求∠EFB的度数．
14．（2021秋•惠东县月考）如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE．
（1）求证：AB＝CE；
（2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，则DC的长为 cm．
15．（2021秋•襄州区期中）如图，已知AB＝AC，AD⊥BC，AB+BD＝DE，求证：点C在AE的垂直平分线上．
16．（2022春•市南区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．
17．如图，△ABC中，∠BAC的平分线与边BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，试猜想线段AB，AE，CF之间的数量关系，并证明．
18．（2022秋•东台市校级月考）在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为8cm．
（1）求BC的长；
（2）若∠BAC＝124°，则∠DAE的度数是 °；
（3）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为18cm，求OA的长．
19．（2021秋•镇海区期末）【定义】如图1，OM平分∠AOB，则称射线OB，OA关于OM对称．
【理解题意】
（1）如图1，射线OB，OA关于OM对称且∠AOB＝45°，则∠AOM＝ 度；
【应用实际】
（2）如图2，若∠AOB＝45°，OP在∠AOB内部，OP，OP1关于OB对称，OP，OP2关于OA对称，求∠P1OP2的度数；
（3）如图3，若∠AOB＝45°，OP在∠AOB外部，且0°＜∠AOP＜45°，OP，OP1关于OB对称，OP，OP2关于OA对称，求∠P1OP2的度数；
【拓展提升】
（4）如图4，若∠AOB＝45°，OP，OP1关于∠AOB的OB边对称，∠AOP1＝4∠BOP1，求∠AOP（直接写出答案）．
必考点07 轴对称、轴对称图形、垂直平分线的性质及判定
●题型一 轴对称图形的识别
【例题1】（2022秋•玄武区校级月考）以下四大通讯运营商的企业图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．中国移动 B．中国电信
C．中国网通 D．中国联通
【例题2】（2022秋•临平区月考）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【例题3】（2022春•南岗区校级期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B． 等腰三角形 C． 矩形 D． 菱形
【解题技巧提炼】
1.轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
2.轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
3.常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
●题型二 轴对称图形性质的应用
★★★1、解决求面积问题
【例题4】（2022春•大东区期末）如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是 ．
★★★2、解决求线段长问题
【例题5】如图，点P是∠AOB外一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为多少．
★★★3、解决求角度问题
【例题6】（2022秋•平城区校级月考）在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在边BC上的点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝80°．则∠MGE的度数为（ ）
A．50° B．90° C．40° D．80°
【解题技巧提炼】
1.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
2.求不规则图形阴影部分的面积时，一般先通过观察找到阴影部分与非阴影部分面积之间的关系，利用轴对称图形的性质将不规则图形转化规则的图形或便于求解的图形，从而求出阴影部分的面积.
●题型三 轴对称及轴对称的性质
【例题7】如图，每组中的两个图形成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【例题8】（2022秋•宝应县月考）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．50° C．90° D．100°
【例题9】（2022春•礼泉县期末）如图，已知△ABC与△ABD关于AB所在的直线对称，延长AD交CB的延长线于点E，若AC+BC＝AE，且∠C＝40°，则∠E的度数为 ．
【例题10】（2022春•六盘水期末）如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在
直线MN上．
（1）图中点C的对应点是点 ，∠B的对应角是 ；
（2）若DE＝5，BF＝2，则CF的长为 ；
（3）若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数．
【解题技巧提炼】
1.轴对称的定义：
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点
◎◎注意：
①轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等．
②若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称．
2.轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
●题型四 线段的垂直平分线的性质的应用
【例题11】 （2022春•青羊区校级期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E．已知△ABC与△BCE的周长分别为22cm和14cm，则BD的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【例题12】（2022春•永丰县期中）如图，在Rt△ABC中DE为AB的垂直平分线．
（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，试求△ACD的周长；
（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数．
【例题13】（2022秋•锡山区校级月考）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F．
（1）若△AEF的周长为10cm，求BC的长；
（2）若∠BAC＝110°，求∠EAF的度数．
【解题技巧提炼】
1.线段垂直平分线的定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
2.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
3.运用求线段长或证明线段长或求周长的问题时，如果不能直接求就要利用线段垂直平分线的性质进行转
化，连接线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点是常用的添加辅助线的方法.
●题型五 线段的垂直平分线的判定
【例题14】（2022春•兰州期末）如图，点E是△ABC的边AB的延长线上一点，∠BCE＝∠A+∠ACB，
求证：点E在BC的垂直平分线上．
【例题15】（2021秋•偃师市期末）如图已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：
（1）∠ECD＝∠EDC；
（2）OE是CD的垂直平分线．
【解题技巧提炼】
垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，通常要找到这样的两个点，根据“两点确定一条直线”来判定这条直线是已知直线的垂直平分线.
●题型六 利用线段的垂直平分线解决实际问题
【例题16】（2022秋•盐都区月考）某地兴建的幸福家园的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该安装在△ABC（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
【例题17】在国家精准扶贫政策的指导下，湖南龙山县有两个村庄P、Q种植了大量猕猴桃，现在正是丰
收的季节．为了让猕猴桃通过互联网迅速销往各地，当地准备在两个村庄的公路m旁建立公用移动通信基
站，要使基站到两个村庄的距离相等，基站应该建立在（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【解题技巧提炼】
三角形三边的垂直平分线相交于一点且该点到三角形三个顶点的距离相等，因此在找到三个顶点距离相等
的点时，只要画出三角形任意两条边的垂直平分线，其交点即为所求.
●题型七 轴对称中的探究题
【例题18】（2021秋•西湖区校级月考）如图，在折纸活动中，小明制作了一张∠ABC纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将∠ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合．
（1）若∠A＝75°，则∠1+∠2＝ ；
（2）若∠A＝n°，则∠1+∠2＝ ；
（3）由（1）（2）探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
【解题技巧提炼】
轴对称中的探究题主要是利用轴对称的性质解决问题，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
◆◆题型一 轴对称图形的识别
1．（2022秋•雨花区校级月考）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021秋•道里区校级期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．等腰三角形
C．长方形 D．平行四边形
3．（2021秋•宜兴市月考）下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形；⑥平行四边形．其中一定是轴对称图形的有 个．
◆◆题型二 轴对称图形性质的应用
4．（2022•东明县一模）如图，正方形ABCD的边长为6．则图中阴影部分的面积为 ．
5．（2021秋•泰山区校级月考）如图，不考虑阴影，图形的对称轴是直线l，其中圆的面积为4π，则阴影部分的面积是 ．
6．（2020秋•徽县校级期中）如图，在△ABC中，直线l交AB于点M，交BC于点N，点B关于直线l的对称点D在线段BC上，且AD⊥MD，∠B＝28°，求∠DAB的度数．
◆◆题型四 轴对称及轴对称的性质
7．下面的每组图形中，左右两个图形成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022秋•安丘市校级月考）如图，已知△ABC和△ADC关于直线AC成轴对称，∠B＝30°，∠BAD＝46°，则∠BCD的度数为（ ）
A．120° B．116° C．106° D．96°
9．（2021秋•海珠区校级期中）如图，直线m是五边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝130°，∠B＝110°，那么∠BCD等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
10．（2022春•绿园区期末）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对称点是点D，连结CD交OA于点M，交OB于点N．
（1）①若∠AOB＝60°，求∠COD的度数．
②若∠AOB＝n°，则∠COD＝ °（用含n的代数式表示）．
（2）若CD＝4，则△PMN的周长为 ．
◆◆题型五 线段的垂直平分线的性质的应用
11．（2022秋•香坊区校级月考）如图，AB＝AC，BC＝4，△BCE的周长为9，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，则AB＝（ ）
A．6 B．5 C．4 D．无法确定
12．（2021秋•大丰区期中）如图，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D、交AC于点E，△BCE的周长等于22cm．
（1）证明：BE+EC＝AC；
（2）求AC的长．
13．（2021秋•蓝山县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为线段CE的中点，∠CAD＝20°，∠ACB＝70°．求证：BE＝AC．
◆◆题型六 线段的垂直平分线的判定
14．（2022•丰顺县校级开学）已知，如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于点D，求证：点D在BC的垂直平分线上．
15．如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段AC的垂直平分线上．
16．（2022春•兰州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是AB上的一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于点F，求证：点E在AF的垂直平分线上．
◆◆题型七 利用线段的垂直平分线解决实际问题
17．（2022春•胶州市期中）某公园的A，B，C处分别有海盗船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目，现要在公园内一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心应建立在（ ）
A．△ABC三边高线的交点处 B．△ABC三角角平分线的交点处
C．△ABC三边中线的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处
18．（2021秋•两江新区期末）直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（ ）
A．B．C．D．
◆◆题型八 轴对称中的探究题
19．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称．
（1）画出直线EF；
（2）直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB″与直线MN、EF所夹锐角α的数量关系；
（3）你能否将△ABC经过一次变换得到△A″B″C″？如果能，请说说你是如何变换的？如果不能，请说明理由．
1．（2022秋•天心区校级月考）下列学校的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2.（2021秋•石家庄期末）如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB，则下列结论正确的有（ ）
①AO＝BO；②PO⊥AB；③∠APO＝∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．AC＝A1C1 B．BO＝B1O C．CC1⊥MN D．AB∥B1C1
4．（2022春•张家川县期末）如图，在△ACE中，AE＝7，AC＝9，CE＝12，点B、D分别在边CE、AE上，若△ACD与△BCD关于CD所在直线对称，则△BDE的周长为 ．
5．（2022春•隆回县期末）如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，∠BAD＝40°，三角形ADB与三角形ADB′关于直线AD对称，点B的对称点是B′，则∠CAB′的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
6．某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．
7．（2021秋•吴江区校级月考）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，将纸片沿着CD折叠，使AC边与BC边重合，则∠A'DB的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
8．（2022春•港北区期末）如图，∠BAC＝110°，若A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，则∠PAQ的大小是（ ）
A．70° B．55° C．40° D．30°
9．（2022秋•东台市校级月考）如图，P在∠AOB内，点C、D分别是点P关于AO、BO的对称点．如果△PMN的周长为12，则CD的长为（ ）
A．6 B．12 C．15 D．18
10．（2021秋•临沂期末）如图，直线l，m相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝2.7．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（ ）
A．0 B．5 C．6 D．7
11．（2022秋•南岗区校级月考）如图，△ABC中，点D在BC边上，做点D关于直线AB的对称点E，连接AE，做点D关于直线AC的对称点F，连接AF．∠B＝61°，∠C＝54°，则∠EAF的度数为（ ）
A．130° B．122° C．115° D．108°
12．（2022秋•铁西区月考）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接AE，若AD＝2，△ABE的周长为12，则△ABC的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
13．（2022春•雁塔区校级月考）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝12°，求∠EFB的度数．
14．（2021秋•惠东县月考）如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE．
（1）求证：AB＝CE；
（2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，则DC的长为 cm．
15．（2021秋•襄州区期中）如图，已知AB＝AC，AD⊥BC，AB+BD＝DE，求证：点C在AE的垂直平分线上．
16．（2022春•市南区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．
17．如图，△ABC中，∠BAC的平分线与边BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，试猜想线段AB，AE，CF之间的数量关系，并证明．
18．（2022秋•东台市校级月考）在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为8cm．
（1）求BC的长；
（2）若∠BAC＝124°，则∠DAE的度数是 °；
（3）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为18cm，求OA的长．
19．（2021秋•镇海区期末）【定义】如图1，OM平分∠AOB，则称射线OB，OA关于OM对称．
【理解题意】
（1）如图1，射线OB，OA关于OM对称且∠AOB＝45°，则∠AOM＝ 度；
【应用实际】
（2）如图2，若∠AOB＝45°，OP在∠AOB内部，OP，OP1关于OB对称，OP，OP2关于OA对称，求∠P1OP2的度数；
（3）如图3，若∠AOB＝45°，OP在∠AOB外部，且0°＜∠AOP＜45°，OP，OP1关于OB对称，OP，OP2关于OA对称，求∠P1OP2的度数；
【拓展提升】
（4）如图4，若∠AOB＝45°，OP，OP1关于∠AOB的OB边对称，∠AOP1＝4∠BOP1，求∠AOP（直接写出答案）．
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