2022-2023学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分析可得，由此可得出结论.

【详解】任取，则，其中，所以，，故，

因此，.

故选：C.

2．“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】当”时，则或

此时可能无意义，故不一定成立，

而当时，则或，“”成立

故“”是的一个必要不充分条件．

故答案选

3．已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则的最小值为（    ）

A． B．4

C． D．2

【答案】C

【分析】由可求的范围，进而可求的最小值.

【详解】解：，，且

的最小值为

故选：C．

【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题.

4．从单词”equation”中取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中”qu”相连且顺序不变)的不同排列共有

A．120种 B．480种 C．720种 D．840种

【答案】B

【详解】试题分析：由题意知本题是一个分步计数问题，第一步是从其它个字母是选取个，再与“qu”全排列，共有种不同排列，故选B.

【解析】1.两个计数原理；2.排列与组合.

5．若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（    ）

A．－540 B．－162 C．162 D．540

【答案】A

【详解】试题分析：根据题意，由于展开式各项系数之和为2n=64，解得n=6，则展开式的常数项为 ，故答案为A.

【解析】二项展开式的通项公式

点评：本题考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．

6．已知学校有15位数学老师，其中9位男老师，6位女老师，学校有10位数学老师，其中3位男老师，7位女老师，为了实现师资均衡，现从学校任意抽取一位数学老师到学校，然后从学校随机抽取一位数学老师到市里上公开课，则在B学校抽取到市里上公开课的是男老师的情况下，从A学校抽到B学校的老师也是男老师的概率是（       ）（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据条件概率公式可得解.

【详解】设学校抽到学校的老师是男老师事件为M，学校抽取到市里上公开课的是男老师事件为N，

则，，

因而由条件概率公式可得,

故选：A.

【点睛】本题考查了条件概率的简单应用，条件概率的求法，属于基础题.

7．随机变量的分布列如下表，其中，且，

则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由概率的性质可得，结合已知条件求出的值，即可求解.

【详解】由概率的性质可得，

由得

则，

故选：A

8．已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令函数，利用导数求得函数的单调性，得到，再根据，，，结合题意，，，得到，分别求得，，，即可求解.

【详解】令函数，则，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以，所以，

因为，，，

所以，，，

所以，即，

因为，可得，

又因为，则，

同理，，所以，，

因为当时，，函数单调递减，所以．

故选：C．

【点睛】方法点拨：设函数，求得当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，得到，得出，结合函数的单调性进行比较是解答的关键.

二、多选题

9．下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】分别解出相应的定义域和值域.

【详解】对A，要使函数有意义，则，解得，该函数定义域为，

当时，，则，即该函数值域为，A正确；

对B，要使函数有意义，则真数，函数定义域为，又，即该函数值域为，B不正确；

对C，要使函数有意义，则，解得，该函数定义域为，

因为，所以函数为增函数，

当时，，此时；当时，，此时.

即该函数值域为，C不正确；

对D，要使函数有意义，则解得，该函数定义域为，

因为，显然，即，即该函数值域为，D正确.

故选：AD.

10．设为定义在R上的函数，且，，在上单调递减，下列说法正确的是（    ）

A．函数的图象关于y轴对称

B．函数的最小正周期为2

C．

D．函数在上单调递减

【答案】ABC

【分析】对于A，由进行判断，对于B，由进行判断，对于CD，利用周期和已知的单调性判断.

【详解】对于A，因为为定义在R上的函数，，所以，

所以为偶函数，所以的图象关于y轴对称，所以A正确，

对于B，因为，所以，所以，所以的最小正周期为2，所以B正确，

对于C，因为为偶函数，在上单调递减，所以在上递增，

因为的最小正周期为2，所以在，上递增，所以，所以C正确，

对于D，因为的最小正周期为2，所以在和在的单调性一致，

因为在上递增，所以在上递增，所以D错误，

故选：ABC

11．已知实数，满足等式，下列式子可以成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】分别画出，的图象 ，结合图象即可判断

【详解】分别画出，的图象，如示意图：

实数，满足等式，

可得：，或，或．

故选：ABD.

12．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，在杨辉三角（左图）中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，第n行所有数之和为；右图是英国生物学家高尔顿设计的模型高尔顿板，在一块木板上钉着若干排相互平行且相互错开的圆柱形钉子，钉子之间留有空隙作为通道，让一个小球从高尔顿板上方的入口落下，小球在下落的过程中与钉子碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉到下方的某一球槽内，如图，小球从高尔顿板第1行的第一个缝隙落下的概率是，第二个缝隙落下的概率是；从第2行第一个缝隙落下的概率是，第二个缝腺落下的概率是，第三个缝隙落下的概率是，小球从第n行第m个缝隙落下的概率可以由杨辉三角快速算出，那么小球从第6行某个缝隙落下的概率可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率公式，计算m取各个值的概率即可判断作答.

【详解】小球落下要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，

小球从第6行第m个缝隙落下，则6次碰撞有次向右，

其概率为，，

于是得，，，，

所以选项A，D不可能，选项B，C可能.

故选：BC

三、填空题

13．已知，则        ．

【答案】/

【分析】利用换元法求出，从而可求出的值

【详解】令，则（），

所以，即，

所以，

故答案为：

四、双空题

14．一个盒子中有大小形状完全相同的个红球和6个黄球，现从中有放回的摸取5次，每次随机摸出一个球，设摸到红球的个数为，若，则        ，        ．

【答案】     9    

【分析】根据题意先求出每次随机抽出1个球为红球的概率，这样可以判断服从二项分布，根据二项分布数学期望公式可以求出的值，最后根据二项分布的性质进行求解即可.

【详解】由题意知每次随机抽出1个球为红球的概率为，所以，则由，得，解得，所以，

所以．

故答案为：9；

【点睛】本题考查了二项分布的判断和性质，考查了二项分布数学期望的公式，考查了数学运算能力.

五、填空题

15．若函数的值域是，则f(x)的单调递增区间是        .

【答案】

【分析】令g(x)=ax2+2x+3，由f(x)的值域确定g(x)的值域，从而求出a值，利用复合函数单调性的性质可得答案.

【详解】令g(x)=ax2+2x+3，由于f(x)的值域是，所以g(x)的值域是[2，+∞).

因此有解得a=1，这时g(x)=x2+2x+3，，

由于g(x)的单调递减区间是(-∞，-1]，所以f(x)的单调递增区间是(-∞，-1].

故答案为：

【点睛】本题考查复合函数的单调性，考查指数函数性质的应用，属于基础题.

16．随机变量服从正态分布，，，则的最小值为     ．

【答案】

【分析】根据正态分布的对称性，得到，再利用均值不等式计算的最小值.

【详解】随机变量服从正态分布，∴，

由，得，

又，

∴，且，，

则．

当且仅当，即，时等号成立．

∴的最小值为．

故答案为．

【点睛】本题考查了正态分布的计算，均值不等式的运用，综合性较强，需要同学们熟练掌握各个知识点.

六、解答题

17．已知函数，．

（1）若函数为奇函数，求实数的值．

（2）若对任意的都有成立，求实数的取值范围．

【答案】（I）(II)

【详解】试题分析：（1） 已知函数为奇函数，由，求得的值；（2）恒成立问题通常是求最值，将原不等式整理为对恒成立，进而求在上的最小值，得到结果.

试题解析：（1）因为是奇函数，所以，即所以对一切恒成立，

所以.

（2）因为，均有即成立，

所以对恒成立，

所以,

因为在上单调递增，所以，

所以. 10分

【解析】1.奇函数的特点；2.函数恒成立.3.求最值.

18．已知函数，其中a是大于0的常数．

(1)求函数的定义域；

(2)当时，求函数在上的最小值；

(3)若对任意恒有，试确定的取值范围．

【答案】(1)答案不唯一，具体见解析

(2)

(3)

【分析】（1）求函数的定义域，就是求，可以通过对分类讨论解决；

（2）可以构造函数，根据对勾函数的性质得到在上的单调性，再利用复合函数的性质可以求得在上的最小值；

（3）对任意恒有，即对恒成立，转化为是的函数，即可求得的取值范围．

【详解】（1）解：由得，，等价于，

因为方程的，

当，即时，恒成立，所以解得，

当，即时，原不等式即为，解得且；

当，即，又，即时，

方程的两根、，

所以解得或，

综上可得当时，定义域为，

当时，定义域为且，

当时，定义域为或

（2）解：设，

因为，由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，

因为，所以，又，所以在上单调递增，

又在定义域上单调递增

在上是增函数，

在上的最小值为；

（3）解：对任意恒有，

即对恒成立

，而在上是减函数，

，

19．某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2022年连续六个月(1～6月)的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示．

(1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y(单位：百万元)与月份x之间的关系，求y关于x的经验回归方程，并据此预测该公司2022年12月份的利润；

(2)甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A，B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新型材料的不稳定性会导致材料损坏的时间不同，现对A，B两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到如下频数统计表．若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？(用频率估计概率)

参考数据：，.

参考公式：在经验回归方程中，，.

【答案】(1)，33百万元

(2)B型号的新型材料

【分析】（1）根据经验回归方程的参考公式求解即可；

（2）分别求A，B两种型号的新型材料对应的产品使用寿命的平均值，作比较后即可得出判断结果.

【详解】（1）由折线图可知统计数据(x，y)共有6组，即(1，11)，(2，13)，(3，16)，(4，15)，(5，20)，(6，21)．

计算可得，，

所以，

所以月利润y关于月份x的经验回归方程为.

当x＝12时，.

故预测甲公司2022年12月份的利润为33百万元．

（2）由题意知，A型号的新型材料可使用1个月、2个月、3个月、4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，所以A型号的新型材料对应产品的使用寿命的平均数为.

B型号的新型材料可使用1个月，2个月，3个月，4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，所以B型号的新型材料对应产品的使用寿命的平均数为.

因为，所以甲公司的负责人应该采购B型号的新型材料．

20．每年9月第三个公休日是全国科普日．某校为迎接2019年全国科普日，组织了科普知识竞答活动，要求每位参赛选手从4道“生态环保题”和2道“智慧生活题”中任选3道作答（每道题被选中的概率相等），设随机变量ξ表示某选手所选3道题中“智慧生活题”的个数．

（Ⅰ）求该选手恰好选中一道“智慧生活题”的概率；

（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列及数学期望．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析，1.

【分析】（Ⅰ）设该选手恰好选中一道“智慧生活题”为事件，利用古典概型求解即可．

（Ⅱ）由题意可知；求出概率可得到的分布列，再由期望公式即可求得期望．

【详解】（Ⅰ）根据古典概型概率求法，可设该选手恰好选中一道“智慧生活题”为事件，则选中2道“生态环保题”，

则，

（Ⅱ）由题意可知；

则，

，

，

所以的分布列为：

故的期望．

【点睛】本题考查古典概型概率求法，离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，属于基础题．

21．2021年7月，台风“烟花”导致多地受灾，某调查小组调查了某受灾小区的100户居民由于台风造成的经济损失(单位：元)，将收集的数据分成，，，，五组，并作出如图所示的频率分布直方图．

(1)遭受台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如下表所示，在表格空白处填写正确数字，并判断能否在小概率值α＝0.05的独立性检验下，认为捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4 000元有关；

(2)将上述调查所得的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自家经济损失超过4000元的户数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望和方差．

附：，n＝a＋b＋c＋d.

【答案】(1)表格数据见解析，能

(2)分布列见解析，，

【分析】（1）由频率分布直方图可得，在抽取的100户中，经济损失不超过4000元的有70户，经济损失超过4000元的有30户，可补全表格数据；零假设：捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4000元无关，计算出参照附值表可得答案；

（2）由频率分布直方图可知抽到自家经济损失超过4000元的居民的频率为0.3，将频率视为概率，求出的可能取值且，可得分布列及、.

【详解】（1）由频率分布直方图可得，在抽取的100户中，经济损失不超过4000元的有70户，经济损失超过4000元的有30户，补全表格数据如下：

零假设：捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4000元无关，

则，

根据小概率值的独立性检验，可以认为不成立，即认为捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4000元有关；

（2）由频率分布直方图可知抽到自家经济损失超过4000元的居民的频率为0.3，将频率视为概率，由题意知的可能取值为0，1，2，3，且，

，

，

，

，

从而ξ的分布列为：

，.

22．“T2钻石联赛”是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5模式”.在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式.某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束.现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；在“FAST5”模式，每局比赛双方获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立.

（Ⅰ）求4局比赛决出胜负的概率；

（Ⅱ）设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为，求的分布列及数学期望.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）分布列见解析，.

【分析】（Ⅰ）设前24分钟比赛甲胜出分别为，乙胜出分别为，在“FAST5”模式每局比赛甲获胜为，4局比赛决出胜负记为事件，分类即可求解；

（Ⅱ）的可能取值为4、5、6、7，分别求得其相应概率，列出分布列，再求期望.

【详解】（Ⅰ）设前24分钟比赛甲胜出分别为，乙胜出分别为，在“FAST5”模式每局比赛甲获胜为，4局比赛决出胜负记为事件.

若24分钟内甲、乙打满2局，则；

若24分钟内甲、乙打满3局，则

；

（Ⅱ）的可能取值为4、5、6、7

；

；

；

；

所以，随机变量的概率分别列为：

的数学期望为.

【点睛】方法点睛：(1)正确分析所求事件的构成，将其转化为几个彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．(2)注意根据问题情境正确判断事件的独立性．(3)在应用相互独立事件的概率公式时，对含有“至多有一个发生”“至少有一个发生”的情况，可结合对立事件的概率求解．