2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．下列关于y与x的经验回归方程中，变量x，y成正相关关系的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由经验回归方程的特征判断即可.

【详解】设关于y与x的经验回归方程为，变量x，y成正相关关系，则，

故选：B

2．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数种计算器械的使用方法某研究性学习小组人分工搜集整理种计算器械的相关资料，其中一人种、另两人每人种计算器械，则不同的分配方法有（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题涉及平均分组问题，先计算出分组的方法，然后乘以得出总的方法数.

【详解】先将种计算器械分为三组，方法数有种，再排给个人，方法数有种，故选A.

【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，考查平均分组要注意的地方，属于基础题.

3．从一批含有6件正品，2件次品的产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题可得X服从超几何分布，利用概率公式计算．

【详解】由题意知X服从超几何分布，则.

故选：C

4．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ）

A．－4 B．－3 C．4 D．3

【答案】D

【分析】根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解.

【详解】因为，所以，

当时，，

所以曲线在点处的切线的斜率等于3，

所以直线的斜率等于，

即，解得，

故选:D.

5．下列说法错误的是（    ）

A．决定系数越大，模型的拟合效果越好

B．若变量x和y之间的样本相关系数为，则变量x和y之间的负相关程度很强

C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

D．在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平均增加3个单位

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合相关系数、决定系数的定义，以及线性回归方程的性质，即可求解．

【详解】用决定系数来刻画回归效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故A正确；

若变量x和y之间的样本相关系数为，r接近-1，则变量x和y之间的负相关很强，故B正确；

比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故C正确；

在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平均减小3个单位，故D错误.

故选：D.

6．已知两个随机变量，，其中，，若，，则（    ）

A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5

【答案】B

【分析】根据二项分布期望公式得到，再根据正态分布的对称性计算可得.

【详解】由，则，故，

所以，又因为，

可得.

故选：B.

7．有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球和3个红球，乙袋中有2个红球和1个白球，这8个球除颜色外没有区别，现从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，则收到红球的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】考虑从甲袋中取出的球是白球还是红球，根据全概率公式，即可求得答案.

【详解】设“从甲袋中取出红球”为事件A，“从乙袋中取出红球”为事件B，

，，，

，

∴从乙袋取出的球是红球的概率为.

故选：B

8．已知函数的两个极值点分别是，则下列结论正确的是（    ）

A．或 B．

C．存在实数a，使得 D．

【答案】D

【分析】求出函数的导数，由有两个零点求出a范围判断A；根据选项BCD的特征结合韦达定理表示成a的函数，再利用导数推理作答.

【详解】函数的定义域为，求导得，

依题意，，即在上有两个不等的实根，因此，解得，A错误；

由韦达定理得，则，B错误；

，

令，，即函数在上单调递减，

，因此恒成立，C错误；

，令，

，令，，即函数在上单调递减，

，则函数在上单调递减，

于是，所以，D正确.

故选：D

【点睛】思路点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

二、多选题

9．某学校一同学研究温差x（℃）与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该同学记录了5天的数据：

经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则（    ）

A．经验回归直线经过 B．

C．时，残差为 D．若去掉样本点，则样本的相关系数r增大

【答案】ABC

【分析】计算样本中心点可得验证选项A；由样本中心点计算验证选项B；根据残差的定义计算验证选项C；根据相关系数r的分析验证选项D．

【详解】，，

所以样本中心点为，则A正确；

由，得，则B正确；

由B知，，当时，，

则残差为，则C正确；

由相关系数公式可知，去掉样本点后，相关系数r的公式中的分子、分母的大小都不变，故相关系数r的大小不变，故D不正确．

故选：ABC．

10．在的展开式中，下列说法正确的是（    ）

A．所有项系数之和为 B．二项式系数之和为64

C．常数项为 D．含x6的项的系数为60

【答案】BD

【分析】赋值法，即可求出系数之和，判断A项；根据二项式系数的性质，即可得出B项；化简得出通项为.由可得，，代入即可得出常数项；由可得，，代入即可得出系数.

【详解】对于A项，令，即可得出所有项系数之和为，故A项错误；

对于B项，根据二项式定理可得，二项式系数之和为，故B项正确；

对于C项，该二项式展开式的通项为

，.

由可得，，

所以，常数项为，故C项错误；

对于D项，由可得，，

所以，含x6的项的系数为，故D项正确.

故选：BD.

11．已知函数的定义域为，导函数为，满足（e为自然对数的底数），且，则（    ）

A．

B．在上单调递增

C．在处取得极小值

D．无最大值

【答案】ACD

【分析】根据条件构造函数，由题意可得，的解析式，利用导数分析，单调性，进而可得答案.

【详解】设，

因为，所以，

因为，，

则，

故可设，由，

则，解得，

故，即，

因为，

令，则，故在上单调递增，

所以，即，故A正确；

因为，令，解得，

则在上单调递减，在上单调递增，

所以在处取得极小值，故B错误，C正确，

因为逼近于时，逼近于，所以无最大值，故D正确.

故选：ACD．

12．为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检测方式：

（1）逐份检测；

（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为次.假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率的知识判断下列哪些值能使得混合检测次数少于逐份检测（    ）

A．0.15 B．0.21 C．0.35 D．0.42

【答案】AB

【分析】计算混合检测方式，样本需要检测的总次数的期望；又逐份检测方式，样本需要检测的总次数，，利用求解可得的范围，验证即可得出选项.

【详解】设混合检测方式，样本需要检测的总次数，可能取值为，

，，

故的分布列为：

，

设逐份检测方式，样本需要检测的总次数，则，

要使得混合检测次数少于逐份检测，需，

即，即，即，

对于A，，符合题意；

对于B，，符合题意；

对于C，，不符合题意；

对于D，，不符合题意.

故选：AB.

三、填空题

13．e作为数学常数，它的一个定义是，其数值约为：2.7182818284…，梓轩在设置手机的数字密码时，打算将e的前5位数字：2，7，1，8，2进行某种排列得到密码，如果要求两个2不相邻，那么梓轩可以设置的不同密码有      种（以数字作答）．

【答案】36

【分析】利用插空法，结合排列数与组合数，可得答案.

【详解】第一步：对除2以外的3位数字进行全排列，有种方法；

第二步：将两个2选两个空插进去种方法，由分步计数原理可得共有种不同的密码．

故答案为：.

14．设随机变量的分布列为，则常数        ．

【答案】

【分析】利用概率和为求解即可.

【详解】因为，

因为，即，

所以.

故答案为：.

15．已知函数，．若函数在上单调递减，则a的取值范围是          ．

【答案】．

【分析】将函数在上单调递减转化为在上恒成立,然后分离参数转化为最值问题来解决.

【详解】由题意得，

函数在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立，

∴在上恒成立，

令，二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线，

∴，

∴，

故实数a的取值范围是，

故答案为：．

16．《英雄联盟》2023MSI季中冠军赛在英国伦敦举办，中国战队“JDG”与“BLG”进入决赛，决赛采用五局三胜制，当两队中有一队赢得三局比赛时，就由该队赢得冠军.每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设“JDG”战队在任一局赢得比赛的概率为，比赛局数的期望值记为，则的最大值是      .

【答案】

【分析】设比赛局数为，分别计算出可能取值的概率，进而求出期望值，再利用导数求得的最大值，由此得解．

【详解】设比赛局数为，则的可能取值为3，4，5，

则，

，

，

则，

所以，

因为函数的图象对称轴为，

当时，，当时，，所以，

所以当时，；当时，，

则函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，即的最大值为．

故答案为：．

四、解答题

17．某年级有2000名学生.一次物理单元测验成绩近似服从正态分布.

(1)求成绩不超过64分的人数占年级总人数的比例；

(2)估计全年级成绩在80～96分内的学生人数.

附：若，则，.

【答案】(1)0.15865

(2)314

【分析】（1）由题意可求的概率，然后根据正态分布的对称性求解即可，

（2）先根据正态分布求出成绩在80～96分内的概率，从而可求出人数.

【详解】（1）因为，所以，

所以成绩不超过64分的人数占年级总人数的比例为

，

（2）由于，所以成绩在80～96分内的概率为

，

所以全年级成绩在80～96分内的学生人数约为人.

18．某短视频平台的一位博主，其视频以展示乡村生活为主，赶集、抓鱼、养鸡等农村生活吸引了许多观众，该博主为家乡的某农产品进行直播带货，通过5次试销得到了销量y（单位：百万盒）与单价x（单位：元/盒）的如下数据：

(1)根据以上数据，求y关于x的回归直线方程；

(2)在所有顾客中随机抽取部分顾客（人数很多）进行调查问卷，其中“体验非常好”的占一半，“体验良好”、“体验不满意”的分别各占30%、20%，然后在所有顾客中随机抽取5人作为幸运顾客赠送礼品，记抽取的5人中“体验非常好”的人数为随机变量，求的分布列和方差.

参考公式：经验回归方程，其中.

【答案】(1)

(2)分布列见解析；

【分析】（1）根据题目表格数据和附注公式进行求解即可；

（2）由于人数很多，可以近似看成二项分布处理，用二项分布的方差公式求解.

【详解】（1）由题意，，，

，故，

则，故

（2）由于人数很多，故可近似看成二项分布，即，可能的取值为，

，，，

，，，

分布列如下：

根据二项分布的方差公式，

19．已知等比数列的各项均为正数，且，.

(1)求的通项公式；

(2)数列满足，求的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件建立关于的方程组，然后解出即可得答案；

（2）利用分组求和法求出答案即可.

【详解】（1）∵，

∴，，解得，∴；

（2）由题可知，∴，

∴，

20．已知函数

(1)若，求函数的极值；

(2)若在内为单调递增函数，求实数a的取值范围．

【答案】(1)的极小值为，无极大值

(2)

【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性和极值；

（2）利用导数分析可得原题意等价于在内恒成立，结合二次不等式恒成立问题分析运算.

【详解】（1）若，则的定义域为，

可得，

因为，则，

令，解得；令，解得；

则在上单调递增，在上单调递减，

所以的极小值为，无极大值.

（2）由题意可得：，

若在内为单调递增函数，则，

整理得，

故原题意等价于在内恒成立，

因为开口向上，对称轴，

①当，即时，则当时，取到最小值，

则，解得；

②当，即时，则当时，取到最小值，

则，解得；

综上所述：实数a的取值范围.

21．我国综合性太阳探测专用卫星“夸父一号”是中国科学院空间科学二期先导专项研制的一颗空间科学卫星，卫星以“一磁两暴”为科学目标，即同时观测太阳磁场和太阳.上两类最剧烈的爆发现象——耀斑和日冕物质抛射。某学校为了解该校某兴趣小组对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣，对该兴趣小组的100位学生进行了问卷调查，已知被调查学生中男生占调查人数的55%，其中感兴趣的有45人，余下的不感兴趣，在被调查的女生中，感兴趣的有20人，其余人不感兴趣.

(1)请补充完整2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生的性别有关联？

(2)从兴趣小组100人中任选1人，A表示事件“选到的人是男生”，B表示事件“选到的人对‘夸父一号’探测卫星相关知识不感兴趣”，求；

(3)按随机抽样的方法从感兴趣的学生中抽取4名男生和3名女姓，组成一个容量为7的样本，再从抽取的7人中随机抽取3人，随机变量表示3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.

附：参考公式：，其中.

临界值表：

【答案】(1)列联表见解析；能认为

(2)

(3)分布列见解析；

【分析】（1）由题设数据填写列联表，并计算卡方，进行独立性检验；

（2）由条件概率的计算公式求解即可；

（3）求出的可能取值以及相应概率，进而列出分布列，计算期望.

【详解】（1）

，

对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生的性别有关．

（2）由题意可得，，则.

（3）由题意可知，的可能取值为

，；

，.

则的分布列如下表：

.

22．已知函数，其中.

(1)令，讨论的单调性；

(2)若对任意两个不相等的正实数m，n，均有，求实数a的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求导函数，分为，两种情况讨论的符号，从而得出函数的单调性；

（2）将原不等式整理为，由于，从而问题转化为，由此利用导数结合分类讨论的方法，可求得答案．

【详解】（1）,定义域为,

,

方程的判别式，

当时，，恒成立，

所以，在单调递增；

当时，，方程有两个不等实根

，，

∵，∴，

∵，∴，

∴当或时，；当时，，

∴在单调递增；

在单调递减.

（2）不妨设，原不等式即，

即，整理得，

由于，从而问题转化为．

，

当时，在单调递增，

所以，当时，，符合题意．

当时，

令，对称轴，

在内单调递减，在内单调递增．

则，且．

由零点存在性定理及的单调性知，存在，使得，

且当时，在内单调递减．

由此，当时，，与已知矛盾．

综上，实数的取值范围为．

【点睛】关键点睛：第（2）问根据不等式恒成立求参数的取值范围，要将原不等式整理变形为，从而同构函数，这是解决本题关键的一步，结合题意即，从而利用导数结合分类讨论解决问题．