2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第二高级中学高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第二高级中学高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合或，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据集合的交集运算即可得答案.

【详解】集合或，

，

故选：A

2．已知随机变量X服从二项分布X～B，则P(X＝2)＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用二项分布概率计算公式，计算出正确选项.

【详解】.

故选：C

3．下列关于独立性检验的说法正确的是（    ）

A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验

B．独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系

C．利用独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们则可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病

D．对于独立性检验，随机变量的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大

【答案】D

【分析】根据独立性检验的思想逐项判断即可.

【详解】对于A，独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法，

并非检验二者是否是线性相关，故错误；

对于B，独立性检验并不能100%确定两个变量相关，故错误；

对于C，99%是指“抽烟”和“癌症”存在关联的可能性，并非抽烟人中癌症的发病率，故错误；

对于D，根据卡方计算的定义，正确；

故选：D.

4．已知随机变量的分布列如表，则的标准差为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由分布列的性质求得，利用方差的计算公式可求得，进而得到标准差.

【详解】由分布列的性质得：，解得：，

，

，

的标准差为.

故选：.

【点睛】本题考查根据离散型随机变量的分布列求解标准差的问题，考查了分布列的性质、数学期望和方差的求解，考查基础公式的应用.

二、填空题

5．某研究机构对儿童记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据：

由表中数据，求得线性回归方程为，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为        .

【答案】

【分析】利用样本点的中心在线性归回方程对应的直线上，即可得出结论．

【详解】解：由表中数据得，，

由在直线，即得，

即线性回归方程为．

所以当时，，即他的识图能力为．

故答案为：．

【点睛】本题考查统计知识中的线性回归方程的应用．解题关键是求出线性归回方程中的值，属于基础题．

三、单选题

6．若随机变量的分布列如表，且，则的值为（    ）

A．9.2 B．5 C．4 D．1

【答案】C

【分析】由概率之和等于1得出，求出方差，并由方差性质求解即可.

【详解】由题意可得：，解得，因为，所以，

解得．所以．

所以．

故选：C

7．“”是“直线与圆相离”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据直线和圆相离求得参数a的取值范围，比较该范围和的关系，即可判断出答案.

【详解】将配方，即，

表示圆需满足，

所以或，其圆心为，半径为，

因为直线与圆相离，

故圆心到直线的距离，解得，

结合或可得或，

（）

则成立推不出直线与圆相离；

反之成立，故“”是“直线与圆相离”的必要不充分条件，

故选：B

8．已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2023项和（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件可得，利用累加法求出数列的通项，再利用等比数列前n项和公式求解作答.

【详解】依题意，，当时，

，而满足上式，因此，

所以.

故选：D

四、多选题

9．已知，集合．若是的必要条件，则实数m的取值可以是（    ）

A． B．1 C．3 D．5

【答案】ABC

【分析】解不等式得集合，将必要条件转化为集合之间的关系列出关于的不等式组，解得范围即可得结果.

【详解】由，解得，∴，

非空集合，

又是的必要条件，所以，

当，即时，满足题意；

当，即时，

∴，解得，

∴的取值范围是，

实数m的取值可以是，

故选：ABC.

10．某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为，已知均服从正态分布，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）

A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性

B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性

C．甲生产线的产品尺寸平均值等于乙生产线的产品尺寸平均值

D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值

【答案】AC

【分析】根据甲乙生产线产品的尺寸的正态分布曲线，比较二者的均值和方差，即可得答案.

【详解】由图可知，甲乙两条生产线产品尺寸的平均值相等，甲的正态分布密度曲线瘦高，

即甲生产线产品尺寸的方差更小，故甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性，

故选：AC．

11．为研究需要，统计了两个变量的数据情况如下表：

其中数据和数据的平均数分别为和，并且计算相关系数，经验回归方程为，则下列结论正确的为（    ）

A．点必在回归直线上，即 B．变量的相关性强

C．当，则必有 D．

【答案】ABD

【分析】由回归直线必过样本中心点以及相关系数的性质依次判断即可.

【详解】对于A，回归直线必过样本中心点，即，A正确；

对于B，相关系数，，变量的相关性强，B正确；

对于C，当，不一定有，C错误；

对于D，，是负相关，则，D正确.

故选：ABD.

12．已知数列满足，，为数列的前项和.若对任意实数，都有成立.则实数的可能取值为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】ABC

【分析】根据题意求出，再化简求出，利用裂项相消即可求出，即可求出满足题意的.

【详解】①

②

②①得，

，当时，，当时，，满足上式，

故，

，

故，

，

故.

故选：ABC.

五、填空题

13．若“，”为假命题，则实数的最小值为           .

【答案】

【分析】根据特称命题的否定为全称命题，可得“，”为真命题，然后转化为恒成立问题求解.

【详解】因为“，”为假命题，所以“，”为真命题，所以对恒成立，即.

故答案为：.

14．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为           .

（附：若随机变量服从正态分布，则，）

【答案】0.1359

【分析】利用正态分布的对称性计算给定区间内的概率作答.

【详解】因长度误差（单位：毫米）服从正态分布，则，

于是得，，

所以.

故答案为：0.1359

15．某小组有名男生、名女生，从中任选名同学参加活动，若表示选出女生的人数，则      ．

【答案】

【分析】由超几何分布概率公式运算即可得解.

【详解】当时，；当时，，

则.

故答案为：.

16．在各项均为正数的等比数列{an}中公比q∈（0，1），若a3+a5＝5，a2•a6＝4，bn＝log2an，记数列{bn}的前n项和为Sn，则Sn＞0（n∈N*）成立的n最大值为   ．

【答案】8

【分析】根据条件求出数列{an}的通项公式，进而可得数列{bn}的通项公式，求出{bn}的前n项和，可得Sn＞0时n的取值范围，进而求得n的最大值．

【详解】解：因为等比数列{an}，

所以a3•a5＝a2•a6＝4，

又a3+a5＝5，q∈（0，1），

所以a3＝4，a5＝1，

所以q2，即q，

所以an＝4×（）n﹣3＝（）n﹣5，

所以bn＝log2an＝5﹣n，

易得数列{bn}为等差数列，

故Sn，

若Sn＞0，

则0＜n＜9，

因为n∈N*，

所以n的最大值为8，

故答案为：8．

六、解答题

17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝n2+r，其中r为常数．

(1)求r的值；

(2)设，求数列的前n项和Tn．

【答案】(1)r＝0

(2)

【分析】（1）求出前三项为1+r，3，5，利用等差中项的性质即可得解；

（2）由（1）可得bn＝n，，利用裂项相消法即可得解．

【详解】（1）由题意得，a1＝S1＝1+r，a2＝S2﹣S1＝3，a3＝S3﹣S2＝5，

∵{an}为等差数列，∴2a2＝a1+a3，即6＝r+6，故r＝0；

（2）由（1）知，数列{an}是以1为首项、2为公差的等差数列，

故an＝2n﹣1，故bn＝n，

则，

故．

18．近年来，随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升､机动车持有量急剧增加，某市空气中的PM2.5（直径小于等于2.5微米的颗粒物）的含量呈逐年上升的趋势，如图是根据该市环保部门提供的2018年至2022年该市PM2.5年均浓度值画成的散点图（为便于计算，把2018年编号为1，2019年编号为年编号为5）．

(1)以PM2.5年均浓度值为因变量，年份的编号为自变量，利用散点图提供的数据，用最小二乘法求出该市PM2.5年均浓度值与年份编号之间的经验回归方程；

(2)按世界卫生组织（WHO）过渡期-1的标准，空气中的PM2.5的年均浓度限值为35微克/立方米，该市若不采取措施，试预测到哪一年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织（WHO）过渡期-1设定的限值．参考公式： ，．

【答案】(1)

(2)2026年

【分析】（1）根据最小二乘法求出，，即得答案；

（2）由（1）所得回归方程结合题意列出不等式，即可求得答案.

【详解】（1）由散点图可得，变量组成的几组数据为，

则，

所以，

，

所以所求经验回归方程为．

（2）由，得，因为，所以，

即到2026年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织（WHO）过渡期-1设定的限值．

19．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an﹣1.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝2log2an﹣Sn，求数列{bn}的前n项和Tn.

【答案】(1)an＝2n﹣1

(2)Tn＝n2﹣2n+1+2

【分析】（1）利用Sn与an关系，退一相减，得到通项公式即可.

（2）化简bn，然后利用分组求和法进行求和即可.

【详解】（1）当n＝1时，S1＝2a1﹣1，解得a1＝1，

当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣1，∴an＝2an﹣2an﹣1化简得an＝2an﹣1，

∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴an＝2n﹣1，

因此{an}的通项公式为an＝2n﹣1.

（2）由（1）得Sn＝2an﹣1＝2n﹣1，

∴bn＝2log2an﹣Sn＝2n﹣1﹣2n，

故数列{bn}的前n项和Tn＝（1﹣21）+（3﹣22）+（5﹣23）+...+（2n﹣1﹣2n）

＝（1+3+5+...+2n﹣1）﹣（21+22+...+2n）

n2﹣2n+1+2.

∴Tn＝n2﹣2n+1+2.

20．某品牌专卖店准备在国庆期间举行促销活动.根据市场调查，该店决定从2种不同型号的洗衣机､2种不同型号的电视机和3种不同型号的空调中（不同种商品的型号不同），选出4种不同型号的商品进行促销，该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买任何一种型号的商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得元奖金.假设顾客每次抽奖时获奖概率都是.

(1)求选出的4种不同型号商品中，洗衣机､电视机､空调都至少有1种型号的概率；

(2)设顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额（单位：元）为随机变量X，请写出X的分布列，并求X的均值；

(3)该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，均值为；

(3)100元

【分析】（1）由组合计数及古典概型直接计算概率即可；

（2）列出的所有可能取值，分别计算所对应的概率，列出分布列，求出均值即可；

（3）结合（2）中的均值，由求解即可.

【详解】（1）设选出的4种不同型号商品中，洗衣机､电视机､空调都至少有1种型号为事件，则；

（2）的所有可能取值为，，

，则分布列如下：

则X的均值为；

（3）若想采用此促销方案获利，应使顾客获奖奖金总额低于商场的提价数额，则，即，故每次中奖奖金要低于100元.

21．已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，

.

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和.

【答案】（Ⅰ）. .（Ⅱ）.

【详解】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列首项和公差及等比数列的公比，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.

试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.

由，可得.由，可得，联立①②，解得，由此可得.

所以，的通项公式为，的通项公式为.

（Ⅱ）解：设数列的前项和为，由，有

，

，

上述两式相减，得

.

得.

所以，数列的前项和为.

【解析】等差数列、等比数列、数列求和

【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.

22．司机在开车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命，为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门通过道路监控随机调查了100名司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人.

(1)完成下面的列联表，依据小概率值的独立性核验，分析开车时使用手机与司机的性别的关联性；

(2)采用分层抽样从开车时不使用手机的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记X为开车时不使用手机的男性司机人数，求X的分布列和数学期望.

参考数据：

参考公式：，其中.

【答案】(1)列联表答案见解析，认为开车时使用手机与司机的性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005

(2)分布列答案见解析，数学期望：

【分析】（1）根据题意填写 列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；

（2）由题可得，X服从超几何分布，计算对应的概率写出X的分布列，计算数学期望.

【详解】（1）解：由已知数据可得列联表如下：

零假设为开车时使用手机与司机的性别无关联.

∵，

∴根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为开车时使用手机与司机的性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.

（2）解：开车时不使用手机的男性司机人数为：人；开车时不使用手机的女性司机人数为：人.

由题意可知：X的所有可能取值为0，1，2，3，

∴；；

；.

则X的分布列为：

则.