2022-2023学年甘肃省酒泉市高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省酒泉市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．函数在区间上的平均变化率为（    ）

A．2 B．1 C．-2 D．-1

【答案】A

【分析】根据平均变化率的定义即可求解.

【详解】根据平均变化率的定义可知，.

所以函数在区间上的平均变化率为2.

故选：A

2．已知空间向量，，且，则实数（    ）

A．-10 B．10 C． D．4

【答案】B

【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可.

【详解】因为所以

所以，

所以，

故选：B.

3．某学校食堂对高三学生偏爱蔬菜还是肉类与性别的关系进行了一次调查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，有的把握但没有的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关，则的观测值可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据已知条件可得的取值范围为，即可得正确选项.

【详解】因为有的把握但没有的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关，

所以的取值范围为，因此的值可能为．

故选：C．

4．若函数的图象在点处的切线与直线平行，则（    ）

A． B． C．-3 D．3

【答案】A

【分析】求出函数的导函数，即可求出，再表示出直线的斜率，根据两直线平行斜率相等得到方程，解得即可.

【详解】因为，所以，则，

直线的斜率，依题意可得，解得.

故选：A

5．如图所示，在底面为正三角形的三棱柱中，若平面ABC，，则与所成的角的大小为（    ）

A．60° B．45° C．90° D．120°

【答案】C

【分析】将正三棱柱组成一个底面为菱形的直四棱柱，连结，，则异面直线与所成的角，再利用勾股定理进行求解.

【详解】如图所示，将正三棱柱组成一个底面为菱形的直四棱柱，连结，，

因为,

所以四边形是平行四边形，所以，

∴异面直线与所成的角，

∵，∴设，，

则，，

∵，∴.

故选：C.

6．从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：

由上表可得经验回归方程，则当x＝60时，蝗虫的产卵量y的估计值为（    ）

A． B．10 C．6 D．

【答案】D

【分析】根据线性回归方程的性质求出，由此可求，

【详解】由表格数据知：，，因为数对满足，得，∴，即，∴，∴x＝60时，，

故当x＝60时，蝗虫的产卵量y的估计值为，

故选：D.

7．现有红、橙、黄、蓝、绿、紫6只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和紫色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件概率的计算公式及排列组合中相邻问题捆绑法策略即可求解.

【详解】记“黄色杯子和紫色杯子相邻”为事件A，“黄色杯子和红色杯子也相邻”为事件B，

则黄色杯子和紫色杯子相邻，有种；

黄色杯子和紫色杯子相邻，且黄色杯子和红色杯子也相邻，有种；

所以，

故选：D.

8．若方程在上有解，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分离参数得，设，，求出其值域，则得到的范围.

【详解】，则，

设，，

，令，

解得（负舍），又因为当，，此时单调递增，

当，，此时单调递减，

则，且，，

则，

若方程在上有解，

则，

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用参数得，再设新函数，，利用导数求出其值域，则得到的范围.

二、多选题

9．若函数在R上可导，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】求出函数导数，令可求判断A，代入函数解析式后，令求出判断B，计算即可判断CD.

【详解】，

，

，即，故A正确；

，，

，故B正确；

，

，故C错误，D正确.

故选：ABD

10．下列说法错误的是（    ）

A．在两个变量x与y的列联表中，当越大，两个变量有关联的可能性越大

B．若所有样本点都在回归直线方程上，则变量间的相关系数是-1

C．相关系数越接近于0，变量间的线性相关程度越低

D．独立性检验一定能给出明确的结论

【答案】BD

【分析】根据线性相关的独立性检验公式判断A，再由相关系数与相关性的概念判断BC，再由独立性检验的意义判断D.

【详解】根据独立性检验公式，，当越大，则越大，所以两个变量有关联的可能性越大，故A正确；

若所有样本点都在回归直线方程上，则变量间的相关系数的绝对值是1，故B错误；

由相关系数的概念，相关系数越接近于0，变量间的线性相关程度越低，故C正确；

独立性检验不一定能给出明确的结论，故D错误.

故选：BD

11．下列结论正确的是（    ）

A．若随机变量，则

B．已知随机变量X，Y满足，若，则，

C．有8名学生，其中5名男生，从中选出4名学生，选出的学生中男生人数为，则其数学期望

D．离散型随机变量服从两点分布，且，则

【答案】ABD

【分析】根据正态分布的性质判断A，根据二项分布的期望、方差公式求出、，再根据期望与方差的性质判断B，根据超几何分布的概率公式求出所对应的概率，即可得到数学期望判断C，根据两点分布的性质计算D.

【详解】对于A：因为，则正态曲线关于对称，所以，故A正确；

对于B：因为，所以，，

又，所以，

所以，，即B正确；

对于C：依题意的可能取值为、、、，则，

，，，

所以，故C错误；

对于D：因为且，解得，故D正确；

故选：ABD

12．在正方体中，点M，N，P，Q分别为，，AD，的中点，则下列结论错误的是（    ）

A．

B．平面平面PQN

C．二面角的余弦值为

D．二面角的余弦值为

【答案】CD

【分析】利用线面垂直证明线线垂直即可判断选项A；利用面面平行的判定定理即可判断选项B；利用空间向量的坐标运算求二面角的余弦值即可判断选项C,D.

【详解】  

如图，以为轴建立直角坐标系，

设,

则,

对A，因为平面，平面，所以，A正确；

对B，连接,

因为平面PQN, 平面PQN,所以平面PQN,

因为平面PQN, 平面PQN,所以平面PQN,

且平面，所以平面平面PQN，B正确；

对C，设平面的法向量分别为

则令则，所以

又因为平面,所以可取

所以，

所以二面角的余弦值为，C错误；

对D，设平面的法向量分别为

则令则，所以

令则，所以

所以，

所以二面角的余弦值为0，D错误；

故选：CD.

三、填空题

13．在空间坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，则、两点之间的距离为      ．

【答案】

【分析】直接利用空间中两点的距离公式计算可得.

【详解】因为点的坐标为，点的坐标为，

所以.

故答案为：

14．A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有5%，4%，2%的人患了流感．假设这三个地区的人口比例为4∶3∶3．现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为      ．

【答案】/0.038

【分析】有三个地区的人数比设出三个地区的人数，求出三个地区患了流感的人数，利用古典概型的概率计算公式求解即可.

【详解】因为A，B，C三个地区的人口数的比为，

所以设A，B，C三个地区的人口数分别为，

则这三个地区患了流感的人数分别为，，.

现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为：

.

故答案为：.

15．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是      ．

【答案】

【分析】由原函数单调递增可知导函数不小于0恒成立，分离参数后，利用导数求出函数的最大值即可得解.

【详解】 ，，

又在 上单调递增，

所以在上恒成立，

即在上恒成立.

令，，

由 得， 得 ，

所以在 上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以有最大值，

所以 .

故答案为：

16．某同学高考后参加国内3所名牌大学A，B，C的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y，，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为      ．

【答案】/

【分析】根据独立性乘法公式可得，再结合对立事件即可求解.

【详解】该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，

该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率

该同学至少通过1所大学招生考试的概率为

.

故答案为：

四、解答题

17．已知函数，是函数的一个极值点．

(1)求a的值；

(2)求函数的单调区间．

【答案】(1)16

(2)的单调递增区间是和，单调递减区间为.

【分析】（1）求导后，由是函数的一个极值点，可得，求解检验即可；

（2）利用（1）中结论即可得解.

【详解】（1）由题意，，

∵是函数的一个极值点，

，解得，

当时，，

由，得或，又，

∴当或时，单调递增；

由，得，∴当时，单调递减；

所以是函数的一个极值点.

所以；

（2）由（1）知的单调递增区间是和，单调递减区间为.

18．为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支持，现统计了45株抗倒伏玉米，55株易倒伏玉米的茎高情况，设茎高大于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．完成以下问题．

(1)完成以下的2×2列联表：

(2)根据（1）中的列联表，能否作出玉米倒伏与茎高有关的结论？

(参考公式及数据：

其中.)

【答案】(1)列联表见解析

(2)可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为抗倒伏与茎高有关．

【分析】（1）根据题干所给数据，完善列联表；

（2）计算出卡方，即可判断.

【详解】（1）依题意可得列联表如下：

（2）由（1）可得，

因为

因此可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．

19．“清明时节雨纷纷”说的是长江中下游地区在清明节前后常常是阴雨天气，若某地区清明节假期的3天中，每一天下雨的概率均为，且每天是否下雨都是相互独立的．

(1)估计该地区这3天中恰好有1天下雨的概率；

(2)2018年到2022年该地区清明节当天降雨量（单位：mm）如下表：

研究表明，从2018年到2022年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量y与序号x具有线性相关关系，求回归直线方程；若该地区2024年清明节有降雨的话，降雨量约为多少？

参考公式：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．

【答案】(1)；

(2)，.

【分析】（1）根据给定条件，利用独立重复事件的概率公式列式计算作答.

（2）利用给定数表，结合最小二乘法公式求出回归直线方程，再估算作答.

【详解】（1）依题意，该地区这3天中恰好有1天下雨的概率.

（2）由数表知，，，

，

，

于是，，

因此，当时，，

所以回归直线方程为，该地区2024年清明节降雨量约为.

20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面，，，，点P为棱DF上一点（不含端点）．

(1)当FP为何值时，；

(2)求直线DE与平面BCF所成角的正弦值；

(3)若P为DF中点，求点E到平面APC的距离．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，令，则，从而可得，，再根据垂直的向量表示即可求解；

（2）由（1）写出坐标，求得平面的法向量，根据线面角公式即可求得直线与平面所成角的正弦值；

（3）求得平面的法向量，利用点到平面的距离公式即可求得E到平面的距离．

【详解】（1）  

因为直线平面，平面，

所以，又，

所以以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则，

所以，，，

令，则，

，

所以，

当时，，解得或，

因为，所以，

所以；

（2）由（1）可知，，

所以，，，

设平面的法向量，则 ，

令，则，所以，

设直线与平面所成角的正弦值θ，

所以  ，

所以直线与平面所成角的正弦值；

（3），连接AE,由（1）（2）可知，

设平面的法向量为，则，

令，则，所以，

所以平面的法向量，

则点E到平面的距离，

所以E到平面的距离1．

21．为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同，参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的白球个数记为该轮得分，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中．当参与者完成第轮游戏，且其前轮的累计得分恰好为时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏．若第3轮后仍未过关，则游戏也结束．每位参与者只能参加一次游戏．

(1)求随机变量的分布列及数学期望；

(2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率．

【答案】(1)分布列见解析，

(2)

【分析】（1）确定随机变量的可能取值和取每个值所对应的概率，即可得到分布列，结合期望公式即可得解；

（2）分别求出该同学取球1次后，取球2次后，取球3次后过关的概率，求和即可得到答案.

【详解】（1）由题意得，随机变量可取的值为，，，

易知，，，

则随机变量的分布列如下：

所以；

（2）由（1）可知，甲每轮得分，分，分的概率依次为，，，

记甲第轮的得分为，则其前轮的累计得分为，

若第一轮取球后过关，即甲获得分，则；

若第二轮取球后过关，即甲获得的分数之和为分，

有“”､“”的情形，则；

若第三轮取球后过关，即甲获得的分数之和为分，

有“”， “”的情形，

则；

记“甲能过关”为事件，则.

22．已知函数．(为自然对数的底数)

(1)若曲线在点处的切线方程；

(2)证明：当时，．（参考数据：，）

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程；

（2）由（1）可得，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出的单调性，求出在上的最小值，即可得证.

【详解】（1）因为，所以，

，则，

所以切线方程为，即.

（2）因为，

令，，则，

显然在定义域上单调递增，

又，，

所以存在使得，即，

所以当时，当时，

即在上单调递减，在上单调递增，

所以，

又，，

所以存在使得，使得，

即，

所以当时，当时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

所以在上的最小值为，

又，，

令，，则，所以在上单调递减，

所以，即，所以，

又，所以当时，.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．