2022-2023学年江西省彭泽县第二高级中学高二下学期5月期中考试数学试题含答案

2022-2023学年江西省彭泽县第二高级中学高二下学期5月期中考试数学试题

一、单选题

1．直线x－y＝0 的倾斜角为(　　)

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】B

【详解】分析：根据直线的倾斜角与直线的斜率有关，故可先求出直线斜率再转化为倾斜角即可.

详解：直线x－y＝0  的斜率为1，设其倾斜角为α，则0°≤α＜180°，由tanα＝1，得α＝45°，故选B.

点睛：考查直线的斜率与倾斜角之间的关系，正确计算斜率为解题关键，属于基础题

2．函数在上的平均变化率为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】D

【分析】根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.

【详解】平均变化率为.

故选：D.

3．若数列为等差数列，为其前项和，且，则 （  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由结合等差数列的性质可得，又，从而得到结果.

【详解】解：∵数列为等差数列，为其前项和，且，

∴，

∴，

∴.

故选：D.

4．已知，圆：与圆：有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别求出两圆的圆心及半径，由圆与圆有两个不同的交点，得圆与圆相交，则有，从而可得出答案.

【详解】解：圆圆心，半径为，圆的圆心，半径为，

因为圆与圆有两个不同的交点，

所以圆与圆相交，

所以，即，

，

所以，解得.

故选：C.

5．若函数有极大值和极小值，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出导函数，再由一元二次方程有两个不等实根即可得解.

【详解】，根据题意知方程有两个不等实根，

于是得，整理得，解得或，

所以的取值范围是.

故选：C

6．已知递增数列满足．若，，则数列的前2023项和为（    ）

A．2044242 B．2045253 C．2046264 D．2047276

【答案】D

【分析】根据，推出，推出数列是等差数列，设公差为，根据等差数列的通项公式以及求出，再根据等差数列求和公式可求出结果.

【详解】因为，所以，所以数列是等差数列，

设公差为，因为数列为递增数列，所以，

由，得，即，

由，得，将代入，得，

又，所以，，

所以数列的前2023项和为.

故选：D

7．数列是首项和公比均为2的等比数列，为数列的前项和，则使不等式成立的最小正整数的值是（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】B

【分析】根据等比数列得，利用裂项求和可得，结合不等式的性质代入求解即可得答案.

【详解】因为数列是首项和公比均为2的等比数列，所以，则，

所以，则，

不等式整理得，

当时，左边，右边，显然不满足不等式；

当时，左边，右边，显然满足不等式；

且当时，左边，右边，则不等式恒成立；

故当不等式成立时的最小值为9.

故选：B.

8．已知，且满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】变形给定的等式，构造函数，利用导数探讨单调性，借助单调性比较大小作答.

【详解】由，得，

由，得，

由，得，

令函数，显然，求导得，

当时，，单调递减，当时，单调递增，

于是，即有，而，

所以.

故选：B

【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.

二、多选题

9．下列求导正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】AD

【分析】根据求导公式分别检验各项即可得出结果.

【详解】对于，的导数为，故选项正确；

对于，的导数为，故选项错误；

对于，的导数为，故选项错误；

对于，的导数为，故选项正确，

故选：AD.

10．从正方体的8个顶点中任选4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成空间几何体．这个空间几何体可能是（    ）

A．每个面都是直角三角形的四面体；

B．每个面都是等边三角形的四面体；

C．每个面都是全等的直角三角形的四面体；

D．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．

【答案】ABD

【分析】根据正方体的性质和四面体的特征，结合图形逐个分析判断即可

【详解】对于A，每个面都是直角三角形的四面体，如：E﹣ABC，所以A正确；

对于B，每个面都是等边三角形的四面体，如E﹣BGD，所以B正确；

对于C，若四面体的每个面都是全等的直角三角形，则必有直角边等于斜边，而这样的直角三角形不存在，所以C错误；

对于D，有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如：A﹣BDE，所以D正确；

故选：ABD．

11．已知曲线C的方程为，则（    ）

A．当时，曲线C是半径为2的圆

B．存在实数k，使得曲线C的离心率为的双曲线

C．当时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为

D．“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件

【答案】ACD

【分析】根据曲线C的方程，由圆、椭圆和双曲线的标准方程，结合充分条件和必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，曲线C的方程为，

当时，曲线C为，曲线C为圆，半径为2，所以A正确；

使得曲线C为离心率为的双曲线，可得，方程无解，所以B不正确；

当时，曲线C为，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，所以C正确；

当时，曲线C为椭圆，焦点坐标在x轴上；当，曲线表示焦点坐标在y轴上的椭圆，所以“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”可知“”，反之不成立，所以“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以D正确.

故选：ACD

12．已知， 数列满足 ， 且对一切， 有，则（    ）

A．是等比数列 B．是等比数列

C．的前项和为 D．

【答案】BCD

【分析】根据推出，判断出是以1为首项，3为公比的等比数列，进而利用公式判断出BCD正确.

【详解】由题意可得，，，

，即不是等比数列，故A错误；

，，

，

，

是以1为首项，3为公比的等比数列，故B正确；

的前项和为，故C正确；

，则，故D正确；

故选：BCD.

三、填空题

13．已知，则直线必过定点      .

【答案】

【分析】利用消元法可得直线即为，据此可求定点坐标.

【详解】解：因为，故，

故直线即为，

整理得到，

由可得，故定点为.

故答案为：

14．曲线在点处的切线方程为      .

【答案】

【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.

【详解】，

当时，，

则曲线在点处的切线方程为，即.

故答案为：.

15．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是       ．

【答案】

【分析】对求导，利用在上恒成立即可得到答案.

【详解】，

由题意，在上恒成立，即对上恒成立，

即对上恒成立，又，所以

故答案为：

16．若，设表示的整数部分，表示的小数部分，如，．已知数列的各项都为正数，，且，则        ．

【答案】/

【分析】根据， 表示的含义，即可代入求解 ，通过规律即可归纳求解.

【详解】由得，

，

，

依次类推知，所以，

故答案为：

四、解答题

17．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的单调增区间．

【答案】(1)；

(2)，.

【分析】（1）利用导数几何意义即可求得曲线在点处的切线方程；

（2）利用导数即可求得函数的单调增区间．

【详解】（1），则

则，又，

则曲线在点处的切线方程为，即

（2），

则，

由可得或，

则函数的单调增区间为，.

18．已知，分别是正方形边，的中点，交于，垂直于所在平面．

(1)求证：平面．

(2)若，，求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接交于，分别证得和，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求得平面的法向量和向量，结合距离公式，即可求解.

【详解】（1）证明：如图所示，连接交于，

因为是正方形边，的中点，，所以，

又因为垂直于所在平面，平面，所以，

因为且平面，所以平面．

（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，

则，，，，

可得，，

设平面的法向量，则，

令时，可得，所以

又因为向量，

则点到面的距离.

19．为了研究学生每天整理数学错题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”. 已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占.

(1)求图1中的值；

(2)根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关?

(3)用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数恰为1人的概率.

附：

【答案】(1)；

(2)有关

(3)

【分析】（1）根据频率值和等于1可以求得的值；

（2）根据题意完成列联表，计算，即可得相关结论；

（3）根据超几何分布和条件概率的相关公式即可解决.

【详解】（1）由题意可得，解得；

（2）数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，

经常整理错题的有人，

不经常整理错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人，则

零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，

根据列联表中的数据，经计算得到可得，

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，

即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于；

（3）由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，

不经常整理错题的有2人，

则（为经常整理数学错题且数学成绩优秀的人数）可能取为0，1，2，

经常整理错题的3名学生中，

恰抽到人记为事件，则

参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到人记为事件

则，，，

.

20．已知等差数列满足，且，，成等比数列.

(1)求的通项公式；

(2)设，的前n项和分别为，.若的公差为整数，且，求.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据题意，利用等差数列的通项公式和等比中项的应用求出，即可求出；

（2）根据题意，由（1）可得，根据等差数列前n项求和公式计算可得，则，利用裂项相消求和法计算即可求解.

【详解】（1）设等差数列的公差为d，∵，∴，

∵，，成等比，∴，

即，得，解得或，

∴当时，；

当时，；

∴或.

（2）因为等差数列的公差为整数，由（1）得，

所以，则，

∴.

∴

.

21．已知椭圆的离心率为，且点在C上.

(1)求C的方程；

(2)设C的左顶点为P，点A，B为C上与P不重合的两点，且，证明：直线恒过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由离心率和过的点建立方程组求解即可；

（2）设出直线方程，联立椭圆，求出，再结合即可求出定点.

【详解】（1）由题意知：，解得，故C的方程为；

（2）由题意知，，直线的斜率不为0，设直线：，联立椭圆方程有，

化简得，设，则，

则，，

由可得，即，化简得，

即，化简得，解得或，

又点A，B与P不重合，故，即直线：，恒过点.

22．已知函数，，其中.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若方程在(为自然对数的底数)上存在唯一实数解，求实数的取值范围.

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.

【解析】求导，利用导函数不等式得到函数的单调区间；

方程等价变形，构造函数，对参数进行讨论，利用单调性和函数零点得解.

【详解】（1）当时，

则当时，，为减函数

当时，，为增函数

故的单调递增区间为，单调递减区间为

（2）∵，∴

即；令，

由题意得只需函数在上有唯一的零点；

又，其中，

①当时，恒成立，单调递增，

又，则函数在区间上有唯一的零点；

②当时，恒成立，单调递减，

又，则函数在区间上有唯一的零点；

③当时，当时，，

单调递减，又，∴，

则函数在区间上有唯一的零点；

当时，，单调递增，

则当时，在上没有零点，符合题意，

即，解得：，∴当时，

在上没有零点，此时函数在区间上有唯一的零点；

所以实数的取值范围是.

【点睛】本题考查利用导函数求函数单调区间及研究方程根个数求解参数，属于难题.