2022-2023学年江西省南昌市新建区第二中学高二下学期4月份期中学业水平考核数学试题含答案

2022-2023学年江西省南昌市新建区第二中学高二下学期4月份期中学业水平考核数学试题

一、单选题

1．已知等差数列中，，公差，则等于（    ）．

A． B． C．24 D．27

【答案】A

【分析】利用等差数列的通项公式进行求解即可.

【详解】因为等差数列中，，公差，

所以，

故选：A

2．函数在区间上的平均变化率为（    ）

A．2 B．3 C．5 D．4

【答案】C

【分析】根据平均变化率的知识求得正确答案.

【详解】当时，；当时，.

所以函数在区间上的平均变化率为.

故选：C

3．已知函数可导，且满足，则函数在x＝3处的导数为（    ）

A．2 B．1 C．－1 D．－2

【答案】D

【分析】根据导数的定义即可得到答案.

【详解】由题意，，所以.

故选：D.

4．已知实数列、、、、成等比数列，则（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】C

【分析】求出的值，利用等比中项的性质可求得结果.

【详解】设等比数列、、、、的公比为，则，

由等比中项的性质可得，所以，，

因此，.

故选：C.

5．已知函数，函数的单调递减区间为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求导,令求解即可.

【详解】

令即，解得，

所以函数的单调递减区间为.

故选：A

6．点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（    ）

A．[0， B． C． D．[0，

【答案】D

【分析】结合导数的几何意义求出切线的斜率的取值范围，进而根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜角的范围即可求出结果.

【详解】因为，所以，因为，所以，又，所以，

故选：D.

7．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数极值点的定义，结合二次函数的性质、数形结合思想、转化法进行求解即可.

【详解】由，

当时，函数单调递增，在时，该函数单调递减，

当时，函数有最大值，且，且函数的对称轴为，

所以当时，有两个不同的极值点，等价于直线与函数有两个不同的交点，所以，

故选：B

8．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】依题意令，求导分析单调性，不等式，可转化为，即，即可得出答案．

【详解】解：依题意令，则，

所以在上单调递减，

对于不等式，显然，则，即，

又，所以，

所以，即，

所以，

解得，即关于的不等式的解集为.

故选：B．

二、多选题

9．下列结论中不正确的是（    ）

A． B．

C． D．若，则

【答案】AC

【分析】根据导数公式和导数运算律，复合函数求导分别判断各个选项即可.

【详解】对于A选项:,故A错误;

对于B选项: 根据导数运算律可得,故B正确;

对于C选项: ,故C错误;

对于D选项:根据复合函数导数运算 ,,故D正确.

故选 :AC.

10．已知数列，满足，，为的前n项和，且，，则（    ）．

A．数列为等差数列 B．

C． D．或时，取得最大值

【答案】AB

【分析】根据等差数列的定义、结合等差数列的前n项和公式、通项公式逐一判断即可.

【详解】由，所以数列为等差数列，因此选项A正确；

设该等差数列的公差为，因为，，

所以有，

，因此选项B正确，选项C不正确；

因为，

所以或时，取得最大值，因此选项D不正确，

故选：AB

11．若函数在区间上不单调，则实数的值可能是（    ）

A．2 B．3 C． D．4

【答案】BC

【分析】利用导函数判断的单调区间进行求解即可.

【详解】的定义域为，所以，A错误；

由题意可得，令解得，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

因为在区间上不单调，所以，即，

选项B：当时，，正确；

选项C：当时，，

所以，正确；

选项D：当时，，错误；

故选：BC

12．已知函数，，若，，不等式成立，则的可能值为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】BCD

【分析】问题等价于，通过导数求出两个函数的最小值即可.

【详解】，若，则，则在单调递增， ；

若，则在单减，在单增，，∴.

，则在单调递增，在单调递减，，

∴.

∵，，不等式成立，

∴若，，成立；

若，，即，令，∴，∴h（x）在（1，+∞）单增.

而，，，.

故选：BCD.

【点睛】本题在求的最小值时需要对参数k进行讨论，本题对参数的讨论非常典型注意总结；当进行到这一步时，需要构造函数求出k的值，式子比较经典，一定要熟练掌握.

三、填空题

13．已知函数，则的单调递增区间是           .

【答案】（填也可以）

【分析】由题得，解即得函数的单调递增区间.

【详解】由题得，

，

令得，

所以的单调递增区间为.

故答案为：（填也可以）

14．若是等差数列的前项和，且，则      ．

【答案】2

【分析】根据等差数列前项和公式，结合等差数列的通项公式进行求解即可.

【详解】设等差数列的公差为，由，得，化简得，所以．

故答案为：2

15．已知数列为等比数列，且，设等差数列的前n项和为，若，则          ．

【答案】

【分析】根据等比数列的性质可得，然后结合等差数列的前项和公式，即可得到结果.

【详解】因为数列为等比数列，且，

所以，解得或（舍）

即，又因为数列为等差数列，

则.

故答案为:.

16．函数在区间上有最大值，则的取值范围是        ．

【答案】

【分析】求函数导数，研究函数单调性，判断其取最大值的位置，由于函数在区间上有最大值，故最大值对应的横坐标应在区间内，由此可以得到参数的不等式，解不等式即可得到的取值范围

【详解】，，

令 解得；令 ，解得或，

由此可得在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

故函数在处有极大值，在处有极小值，

即，解得，

故答案为：

四、解答题

17．已知等比数列中，

(1)求的通项公式；

(2)令求数列{}的前n项和

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设出等比数列公比，利用已知条件列出关系式，即可求解公比，

然后求数列的通项公式；

（2）通过， 得到数列通项公式，然后利用裂项相消法

求解数列的前项和.

【详解】（1）设等比数列的公比为，

因为，所以.

所以，解得.

所以数列的通项公式为.

（2）由（1）知，，

所以，，

所以.

所以数列的前项和为

.

18．已知函数且在上单调递增，在 上单调递减，又函数．

（1）求函数 的解析式；

（2）求证当时，．

【答案】（1）    （2）证明见解析

【分析】（1）根据求得的导数和单调区间，即可得到极值点，进而根据方程组即可得到解析式．

（2）构造函数，令，再求得导数，在的条件下求得最小值，进而证明原不等式成立．

【详解】（1）求导函数得

因为在 上单调递增

令

则函数的极值点为

则 ，解方程组得

（2）证明：令

∵时

∴

∴

即

原式得证

【点睛】本题考查了导数与单调性、极值的综合应用，利用构造函数法证明不等式，属于基础题．

19．已知数列为等差数列，为等比数列，且.

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设数列的公差为的公比为，由题可得关于d与q的方程，解之可得答案；

（2）由（1）结合错位相减法可得答案.

【详解】（1）设数列的公差为的公比为，由已知得,

，

解得.则.

（2）由（1）可得，

则，

.

两式相减得

，

所以.

20．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若有两个零点，求a的取值范围；

【答案】(1)函数在上单调递增，在上单调递减.

(2)

【分析】（1）求导，根据导数的正负确定函数的单调性即可；

（2）参变分离，构造函数，求导研究函数图象的单调性及极值，最值情况，求出的取值范围.

【详解】（1）由题意可知，函数的定义域为，

易得，令可得，

当时，，函数为单调递减，

当时，，函数为单调递增，

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

（2）根据题意，若有两个零点，即方程有两个实数根，

所以函数与有两个不同的交点，

由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，

所以函数在时取极大值，也是最大值，

且时，；时，； 时，，

画出函数如右图所示：

由图可知，若函数与有两个不同的交点，则，

即a的取值范围为.

21．已知函数，其中．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，求函数的单调区间与极值．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）根据题意得到函数的解析式，从而得到切点坐标和导函数，根据导函数在切点的函数值等于切线的斜率求解切线斜率，进而得到切线方程；

（2）对函数求导，对参数的取值范围分类讨论，根据导函数的符号确定函数的单调区间和极值.

【详解】（1）当时，，，

又，．

所以曲线在点处的切线方程为，

即．

（2）．

由于，以下分两种情况讨论．

①当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：

所以的单调递减区间为，，单调递增区间为．

函数在处取得极小值，且，

函数在处取得极大值，且．

②当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：

所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．

函数在处取得极大值，且．

函数在处取得极小值，且．

22．已知函数，.

(1)当时，求函数的极值；

(2)若任意且，都有成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；

（2）不妨令，则问题等价于，令，只需证明在单调递增，问题等价于在时恒成立，参变分离得到，，再构造函数，利用导数求出的最大值，即可得解.

【详解】（1）解：当时，，．

则，令，解得或，

又因为，所以．

列表如下：

因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以有极小值，无极大值．

（2）解：因为，，

所以，，

若对任意且恒成立

不妨令，则

，

令，只需证明在单调递增，

因为，则，

所以在时恒成立，即，，

令，，则，

因为，所以令，解得，令，解得，

从而在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以当时取到最大值，所以实数的取值范围是．

【点睛】思路点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．