2022-2023学年河北省承德市双滦区实验中学高二下学期开学摸底数学试题（解析版）

2022-2023学年河北省承德市双滦区实验中学高二下学期开学摸底数学试题

一、单选题

1．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与

A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直

【答案】A

【解析】根据两点求出直线的斜率，根据倾斜角求出直线的斜率；可知斜率乘积为，从而得到垂直关系.

【详解】直线经过，两点    直线的斜率：

直线的倾斜角为    直线的斜率：

本题正确选项：

【点睛】本题考查直线位置关系的判定，关键是利用两点连线斜率公式和倾斜角求出两条直线的斜率，根据斜率关系求得位置关系.

2．已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出直线的斜率，即可求出倾斜角；

【详解】解：设直线l的倾斜角为，则，所以.

故选：A.

3．经过中三个点的圆的方程不可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】将点代入各方程判断是否满足圆的方程，即可得答案.

【详解】A：在圆上，排除；

B：都不在圆上，符合要求；

C：在圆上，排除；

D：在圆上，排除.

故选：B

4．焦点坐标为，（0，4），且长半轴的椭圆方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意可知，即可由求出，再根据焦点位置得出椭圆方程．

【详解】因为，所以，而焦点在轴上，所以椭圆方程为．

故选：B．

5．在正方体中，，，，分别为，，，的中点，下列结论中，错误的是（    ）

A． B．平面

C． D．

【答案】A

【分析】建立直角坐标系，根据向量与线面关系即可判断.

【详解】如图，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，

，，，

，，因为，所以与不垂直，A错误；

因为平面//平面，且平面，所以平面，B正确；

，，，

，，因为，所以，C正确；

，，，，所以，D正确.

故选：A.

6．直线与圆相切，则

A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或12

【答案】D

【详解】∵直线与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴＝1或12,故选D.

【解析】本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用.

7．如果双曲线经过点，渐近线方程为，则此双曲线方程为

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据渐近线方程,设出双曲线的标准方程,代入点P坐标,得到答案.

【详解】渐近线方程为,设双曲线方程为,双曲线经过点,代入双曲线方程得到:,所以双曲线方程为

答案为A

【点睛】本题考查了利用渐近线求双曲线方程的知识, 渐近线方程为时,设双曲线方程为,代入计算较为简单.

8．在四棱锥中，底面是直角梯形，且，平面，，则与平面所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据四棱锥的线面关系建立空间直角坐标系，利用空间向量计算与平面所成角的正弦值，再结合平方公式即可得与平面所成角的余弦值.

【详解】解：因为平面，平面，所以，

又底面是直角梯形，且，，所以，即，

如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

由，可得，所以，

因为平面，所以是平面的一个法向量

所以，

即直线与平面所成角的正弦值为，

则与平面所成角的余弦值为.

故选：A.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．过点且在x､y轴截距相等的直线方程为

B．直线在y轴上的截距为

C．直线的倾斜角为

D．过点且垂直于直线的直线方程为

【答案】BD

【分析】A选项忽略了过原点的情况，错误，B选项计算截距得到正确，直线斜率为时，倾斜角为，C错误，根据垂直关系计算直线方程得到D正确，得到答案.

【详解】过点且在x､y轴截距相等的直线方程为和，A错误；

取，，则直线在y轴上的截距为，B正确；

直线的斜率为，倾斜角为，C错误；

垂直于直线的直线方程斜率为，过点的直线方程为，即，D正确.

故选：BD.

10．如图所示，在平行六面体中，点，，分别为棱，，的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则以下说法正确的是（    ）

A． B．

C．平面 D．平面

【答案】ACD

【分析】根据题意可证明，由此可判断A、C、D选项；根据与平面相交，平面//平面可知与互不平行，由此可判断B选项.

【详解】连接MP，因为，别为棱，中点，所以MP//AD且因为为平行六面，所以且，所以且，故为平行四边形，，故A正确；

因为平面，平面，所以平面；同理平面，故C、D正确

因为与平面相交，且平面//平面，所以与平面相交，又因为平面相交，所以与互不平行.故B错误

故选：ACD

11．已知抛物线的方程为，下列结论正确的是（    ）

A．该抛物线的焦点在轴上

B．该抛物线的准线方程为

C．该抛物线上横坐标为的点到其焦点的距离等于

D．由原点向过该抛物线的焦点的某直线作垂线，垂足坐标为

【答案】AD

【分析】根据抛物线定义即可判断A、B、C选项；利用反证法找出符合D选项的直线，根据直线存在与否即可判断D选项.

【详解】根据抛物线定义可知，抛物线的焦点坐标为，在轴上,准线方程为，A正确,B错误;

根据抛物线定义可知,在抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离， 抛物线上横坐标为的点到准线的距离为3.5，故抛物线上横坐标为的点到其焦点的距离等于3.5，C错误；

假设存在过该抛物线的焦点的某直线，过原点作垂直于这条直线作垂线，垂足坐标为.此时垂线斜率为，则过焦点的直线斜率为，该直线方程应该为，此直线存在，假设成立，D正确.

故选：AD

12．在平面直角坐标系中，圆C的方程为，其中，点P为圆C的圆心，则下列说法正确的是（    ）

A．原点O在圆C上

B．直线与圆C有公共点

C．圆C与圆相内切

D．直线与圆C相交于A，B两点，若，则，

【答案】ABC

【分析】圆C是动圆，半径为2，其圆心在以原点为圆心，半径为2的圆周上，

根据以上性质，再根据每个选项的几何意义，不难判断每个选项的正确性.

【详解】对于A，由的坐标满足圆C的方程，故A正确；

对于B，由原点O既在圆C上，也在直线上，可得直线与圆C有公共点，故B正确；

对于C，由，可知圆C与圆相内切，故C正确；

对于D，若，则三角形ABP为等腰直角三角形，可得圆P到直线的距离为，有，

有，联立方程 ，解得或，故D错误；

故选：ABC.

三、填空题

13．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.则抛物线C的方程为________.

【答案】y2＝8x

【分析】设出抛物线方程，根据定义求出p，即可写出抛物线的方程.

【详解】由题意可设抛物线方程为y2＝2px.

其准线方程为x＝－，根据定义可得4＋＝6，解得p＝4，

所以抛物线C的方程为y2＝8x.

故答案为：y2＝8x

14．圆关于点对称的圆的方程是________.

【答案】

【解析】先将圆，化为标准方程得到圆心，再求圆心关于点的对称点，即为所求的圆的圆心.

【详解】圆，化为标准方程：，

设关于点对称的圆的圆心为，

则，解得，

所以圆关于点对称的圆的方程是：

，

故答案为：

【点睛】本题主要考查圆与圆的对称问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

15．如图，在四棱锥中，已知底面是矩形，，，平面，若边上存在点，使得，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】利用直线与平面垂直的判定和性质将问题转化为以为直径的圆与有交点可得答案.

【详解】连接，如图：

因为平面，所以。

又，且，

所以平面，所以，

所以以为直径的圆与有交点，

所以.

故答案为：

【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定和性质，属于基础题.

16．如图所示，已知双曲线和椭圆有共同的右焦点，记曲线为双曲线的右支和椭圆围成的曲线，若，分别在曲线中的双曲线和椭圆上，则周长的最小值等于__________．

【答案】2

【分析】根据双曲线和椭圆定义，表示出周长与、的关系，根据三角形性质——两边之差小于第三边得出当，，三点共线时周长最小的结论，即可求出答案.

【详解】设双曲线和椭圆共同的左焦点为，根据双曲线和椭圆定义可知，，

得周长为：

根据三角形性质可知，当，，三点共线时取最大值，此时周长最小，当，，三点共线时，最小周长为

故答案为：2

四、解答题

17．已知点.

(1)求过点A且与平行的直线方程；

(2)求过点A且与垂直的直线方程；

(3)若中点为，求过点A与的直线方程.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）求出的斜率，利用点斜式求直线即可；

（2）求出与垂直的直线的斜率，利用点斜式求解即可；

（3）利用中点公式求解中点坐标，再确定两点斜率利用点斜式求解即可.

【详解】（1）解：∵，

∴过点A且与平行的直线方程为，即；

（2）解：过点A且与垂直的直线的斜率为，

所以所求直线方程为，即；

（3）解：中点，

∴过点A与的直线方程，即.

18．已知圆：和圆相交于两点.

（1）求公共弦的垂直平分线方程.

（2）求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）线段的垂直平分线恰为直线，利用点斜式即可写出其方程．

（2）先求公共弦所在的直线方程，再求出到直线的距离，即可求公共弦的长，结合三角形的面积公式解答．

【详解】解：（1）由题可知：公共弦的垂直平分线为直线，

，，

所求直线的方程为：；

（2）又两圆方程相减得，即，此即为直线的方程，

到直线的距离，即，

又圆的半径，，

．

即：．

19．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线与椭圆交于，两点，且的周长为，求椭圆的标准方程；

【答案】

【分析】根据椭圆的定义及离心率列方程求解即可得椭圆的标准方程.

【详解】解：由题意可得，的周长为，

所以，则，又，

所以椭圆的标准方程为.

20．如图，在正方体中， E为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；

（Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解 .

【详解】（Ⅰ）[方法一]：几何法

如下图所示：

在正方体中，且，且，

且，所以，四边形为平行四边形，则，

平面，平面，平面；

[方法二]:空间向量坐标法

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则、、、，，，

设平面的法向量为，由，得，

令，则，，则.

又∵向量,,

又平面，平面；

（Ⅱ）[方法一]：几何法

延长到，使得，连接，交于，

又∵，∴四边形为平行四边形，∴，

又∵,∴,所以平面即平面,

连接，作,垂足为,连接,

∵平面,平面,∴，

又∵,∴直线平面,

又∵直线平面,∴平面平面,

∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影，∠为直线与平面所成的角，

根据直线直线，可知∠为直线与平面所成的角.

设正方体的棱长为2，则,,∴,

∴,

∴,

即直线与平面所成角的正弦值为.

[方法二]：向量法

接续（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，

又∵,∴，

∴直线与平面所成角的正弦值为.

[方法三]：几何法+体积法

 如图，设的中点为F，延长，易证三线交于一点P．

因为，

所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角．

设正方体的棱长为2，在中，易得，

可得．

由，得，

整理得．

所以．

所以直线与平面所成角的正弦值为．

[方法四]：纯体积法

设正方体的棱长为2，点到平面的距离为h，

在中，，

，

所以，易得．

由，得，解得，

设直线与平面所成的角为，所以．

【整体点评】（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明；

（II）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论证，不失为一种优美的方法.

21．双曲线的一条渐近线方程为，过焦点且垂直于轴的弦长为．

(1)求双曲线方程；

(2)过双曲线的下焦点作倾角为的直线交曲线于、，求的长．

【答案】(1)

(2)6

【分析】(1)利用双曲线的一条渐近线方程为,过焦点且垂直于轴的弦长为6,建立方程,即可求双曲线方程;

(2)设直线方程,联立方程,由韦达定理及弦长公式即可求的长.

【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为，所以,

双曲线的上焦点为，在中令得，所以，

∴,

∴双曲线方程为;

（2）过双曲线的下焦点且倾角为的直线斜率为，直线方程为,

代入双曲线方程可得，，

设，故，

故的长为6.

22．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．

（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；

（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；

（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

【答案】(Ⅰ)见解析；

(Ⅱ) ；

(Ⅲ)见解析.

【分析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；

(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；

(Ⅲ)首先求得点G的坐标，然后结合平面的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.

【详解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD，

由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，

由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.

(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

易知：，

由可得点F的坐标为，

由可得，

设平面AEF的法向量为：，则

，

据此可得平面AEF的一个法向量为：，

很明显平面AEP的一个法向量为，

，

二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为.

(Ⅲ)易知，由可得，

则，

注意到平面AEF的一个法向量为：，

其且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.