2022-2023学年辽宁省鞍山市普通高中高二下学期期中考试数学（C卷）试题含答案

2022-2023学年辽宁省鞍山市普通高中高二下学期期中考试数学（C卷）试题

一、单选题

1．数列，，，，…的第10项是(　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据数列的前几项，归纳处数列的通项公式，即可求解数列的第10项，得到答案．

【详解】由题意，根据数列，可求得数列的通项公式，

所以数列的第10项为，故选C．

【点睛】本题主要考查了归纳数列的通项公式，其中根据数列的前几项，找出数列的数字排布规律，得出数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．

2．离散型随机变量X的概率分布列如下：则c等于(　　)

A．0.1 B．0.24 C．0.01 D．0.76

【答案】A

【分析】由离散型随机变量的概率分布列知：1﹣0.2﹣0.3﹣0.4﹣c＝0，由此能求出c的值．

【详解】解：由离散型随机变量的概率分布列知：

1﹣0.2﹣0.3﹣0.4﹣c＝0，解得c＝0.1．

故选A．

【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，是历年高考的必考题型，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．

3．已知数列是等差数列，若，则等于（    ）

A．7 B．21 C．14 D．17

【答案】C

【分析】由条件结合等差数列的性质可求，再结合等差数列性质求.

【详解】由等差数列性质，数列为等差数列，若，，

则，

因为数列为等差数列，，

所以，又，

所以，

因为数列为等差数列，，

所以，

故选：C.

4．设随机变量，若，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】根据正态分布及可知期望与方差.

【详解】因为随机变量，且，

所以由对称性知，

由正态分布知方差.

故选：A

【点睛】本题主要考查了正态分布中，的含义，属于容易题.

5．已知为数列的前项和，，，那么（    ）

A．-64 B．-32 C．-16 D．-8

【答案】B

【分析】利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．

【详解】时，，，可得：，化为．

时，．

数列从第二项起为等比数列，公比为2，首项为．

那么．

故选：B．

6．在3重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生的次数X的期望和方差分别为（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

【答案】D

【分析】根据题意得到，结合题设条件求得，结合期望和方差的公式，即可求解.

【详解】设事件在每次试验中发生的概率为，则，

因为事件至少发生一次的概率为，可得，解得，

所以，所以.

故选：D.

7．明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头儿盏灯？”你的答案是

A．2盏 B．3盏 C．4盏 D．7盏

【答案】B

【详解】试题分析：，解得，故选B．

【解析】等比数列应用

8．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，由全概率公式可求得结果.

【详解】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，

，，，

由全概率公式可得.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用全概率公式计算事件的概率，解题的关键就是弄清第球与第球投进与否之间的关系，结合全概率公式进行计算.

二、多选题

9．在等比数列{an}中，已知a1＝3，a3＝27，则数列的通项公式是（    ）

A．an＝3n，n∈N＋ B．an＝3n－1，n∈N＋ C．an＝(－1)n－13n，n∈N＋              D．an＝2n－1，n∈N＋

【答案】AC

【分析】根据已知条件求得数列的公比，进而求得，从而确定正确选项.

【详解】设等比数列的公比为，则，

当时，.当时，.

故选：AC

10．对两个变量与进行线性相关性和回归效果分析，得到一组样本数据：，则下列说法正确的是（    ）

A．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

B．由样本数据利用最小二乘法得到的回归方程表示的直线必过样本点的中心

C．用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好

D．若变量x与y之间的相关系数，则变量x与y之间具有很强的线性相关性

【答案】ABD

【分析】根据残差的平方和的性质判断A，根据回归方程的性质判断B，根据相关指数的性质判断C，根据相关系数的定义判断D.

【详解】对于A，由残差的意义可得，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，A正确；

对于B，若回归方程为，则，即回归方程表示的直线必过样本点的中心，B正确；

对于C，相关指数越大，说明残差的平方和越小，即模型的拟合效果越好，C正确；

对于D，变量x与y之间的相关系数，故相关系数较为接近，所以变量x与y之间具有很强的线性相关性.D正确；

故选：ABD.

11．等差数列的公差，前n项和为，若，则下列结论中正确的是（    ）

A．当时， B．

C．当时， D．

【答案】BCD

【分析】由条件结合等差数列的性质，求得，结合等差数列的通项公式和等差数列的单调性和等差数列的性质，等差数列求和公式，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，等差数列的公差，前项和为，

因为，可得，

即，

对于A中，由，可得数列单调递减，

由，可得，

故当时，，当时，，

因为，

所以，所以，A错误；

对于B中，由等差数列的前项和公式，

可得，所以B正确；

对于C中，因为，

，

故，C正确；

对于D中，因为，所以，

所以，因为，所以，

即，所以D正确.

故选：BCD.

12．若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求，，再根据，，计算期望和方差.

【详解】因为随机变量服从两点分布，且，所以，

，所以，故A正确；

，故B正确；

，故C正确；

，故D不正确.

故选：ABC

【点睛】本题考查两点分布的期望和方差，以及期望和方差的性质，属于基础题型.

三、填空题

13．有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9，寿命超过800小时的概率为0.8，在寿命超过500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为         ．

【答案】

【分析】直接根据条件概率公式求解即可．

【详解】记事件A为“灯泡寿命超过500小时”，事件AB为“灯泡寿命超过800小时”，

则在寿命超过500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为．

故答案为：．

14．设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 =            ．

【答案】-8

【详解】设等比数列的公比为，很明显，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：

，由可得：，代入①可得，

由等比数列的通项公式可得.

【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

15．同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的方差是         ；

【答案】/0.75

【分析】先求一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率，由条件可得，利用二项分布的方差公式求出结果.

【详解】因为一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为，

所以，

所以.

故答案为： .

16．设是数列的前项和，且，，则          ．

【答案】

【详解】原式为，整理为： ，即，即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以 ，即 .

【点睛】这类型题使用的公式是 ，一般条件是 ，若是消 ，就需当 时构造 ，两式相减 ，再变形求解；若是消 ，就需在原式将 变形为： ，再利用递推求解通项公式.

四、解答题

17．已知公差不为零的等差数列的前四项和为10，且，，成等比数列.

(1)求数列通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1) 由题意知，求出变量的值，进而得到通项；（2）由题意得到，分组求和即可得到结果.

【详解】（1）解：由题意知，

解得，，或，（舍去），

所以.

（2）解：，将这个数列分为两部分，一部分是等差数列，一部分是等比数列，根据等差数列和等比数列求和公式得到：

.

18．某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场.从2016年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养老机构数量对照表：

（1）根据上表数据可知，与之间存在线性相关关系，用最小二乘法求关于的经验回归方程；

（2）若该地参与社区养老的老人，他们的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人？

参考公式：线性回归方程，，.

参考数据：，

【答案】（1）；（2）人．

【分析】（1）利用条件及回归直线方程公式即求；

（2）由题可求，结合条件即求.

【详解】（1）由题意知，

，

，

，

所以，

，

故所求经验回归方程为；

（2）由题可知，

该地参与社区养老的老人有（人）

该地参与社区养老的老人约有人.

19．已知数列满足，．

(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；

(2)记，设为数列的前项和，证明：．

【答案】(1)证明见解析，

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意，化简得到，结合等比数列的定义和通项公式，即可求解；

（2）由（1）得到，结合裂项法，得到，即可求解.

【详解】（1）解：因为，所有，

又因为，所有是首项为2，公比为2的等比数列，

所以，因此求的通项公式．

（2）证明：由（1）知，，

所以

，

因为，所以．

20．为了强调考前仔细研究教材内容（称“回归教材”）对高考数学成绩的重要性，2016年高考结束后，某班级规定高考数学成绩115分以上（含115分）为优秀，制作下表：

(1)能否有99%的把握认为高考数学成绩优秀与回归教材有关？

(2)以该班数据为样本来估计全市总体数据，从全市2016年参加高考的考生中任取3人，设3人中高考数学成绩优秀且回归教材的人数为X，求X的分布列及数学期望．

附：，

【答案】(1)有的把握认为高考数学成绩优秀与回归教材有关

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据题中数据计算即可得出结果；

（2）可取0，1，2，3，求出对应概率，可得分布列，由期望公式计算期望.

【详解】（1）由，，，，，，，，，

所以．

因为，所以有的把握认为高考数学成绩优秀与回归教材有关．

（2）可取0，1，2，3，设“回归教材”且成绩优秀为事件，．则

，，

，．

的分布列为

．

21．已知是正项数列的前n项和，．

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据的关系化简可得，所以是等差数列，进而可得答案；

（2）由（1）知，然后利用错位相减法求解.

【详解】（1）化为，可知，

可得，即，

由于，可得，

又，解得，

所以是首项是1，公差是2的等差数列，

所以通项公式是；

（2）设前项和为，由（1）知，则

，

，

两式相减得，

即，

所以．

22．现有A、B两个部门进行投篮比赛，A部门有4人参加，B部门有6人参加，已知这10人投篮水平相当，每人投中的概率都是p．比赛之前每人都进行投篮练习，投中则停止投篮练习，最多进行三次投篮练习．若甲投篮练习次，统计得知的数学期望是．

(1)求p；

(2)现从这10人中选出5人，每人投篮两次，设5人中能够投中的人数为为，求的数学期望；

(3)现从这10人中选出3人参加投篮练习，设A部门被选中的人数为，求的数学期望．

【答案】(1)；

(2)

(3)

【分析】（1）由条件求随机变量的分布列，由期望公式求期望，由条件列方程求；

（2）先求每人至少投中一次的概率，由此可得的分布列，再由二项分布期望公式求解；

（3）先求的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求期望.

【详解】（1）由已知的取值有1，2，3，

所以，，，

所以的分布列为

，

由于，，

因为，所以；

（2）依题意，每人投中一次的概率，

所以，每人至少投中一次的概率为，

随机变量的取值有，服从二项分布，

；

（3）可取，

，，

，，    

．