2022-2023学年辽宁省鞍山市普通高中高一下学期六月联考数学（A卷）试题含答案

2022-2023学年辽宁省鞍山市普通高中高一下学期六月联考数学（A卷）试题

一、单选题

1．若复数，，则（    ）

A． B． C． D．3

【答案】A

【分析】由复数的乘法法则计算即可.

【详解】因为复数，，

所以.

故选：A.

2．如图所示，是的直观图，其中，那么是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．钝角三角形

【答案】B

【分析】根据斜二测画法的作图原则即可得到答案.

【详解】根据题意，，所以是直角三角形.

故选：B.

3．若复数满足，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先化简复数，再根据共轭复数的定义判断即可.

【详解】解：由，得，∴．

故选：A．

4．在中，A＝30°， C＝45°， c＝，则a的值为（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】B

【分析】由正弦定理即可求解.

【详解】解：因为在中，A＝30°， C＝45°， c＝，

所以由正弦定理可得，即，

故选：B.

5．在世界文化史上，陀螺的起源甚早，除了南极洲外，在其他大陆都有发现．<<世界图书百科全书>>这样写道：“没有人准确知道人们最初玩陀螺的时间．但古希腊儿童玩过陀螺，而在中国和日本，陀螺成为公众娱乐已有几百年的时间．”已知一陀螺圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，底面圆的直径，这个陀螺的表面积（    ）

A．  B． C． D．

【答案】C

【分析】根据已知求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的侧面积，再求出圆柱的侧面积和底面面积，进而可求出陀螺的表面积．

【详解】由题意可得圆锥体的母线长为，

所以圆锥体的侧面积为，

圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，

所以此陀螺的表面积为，

故选:C．

6．用一个平面截半径为3的球，截面面积为，则球心到截面的距离为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】根据球的截面的性质即可求解.

【详解】根据截面面积为可知：截面圆的半径，根据球心与截面圆的圆心的连线垂直于截面可知：球心到截面的距离为

故选：C

7．在中，若，则为（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】C

【分析】由正弦定理及倍角公式得到，结合，解得或，得到答案.

【详解】由正弦定理得，

即，故，

因为，且属于三角形内角，所以，所以或，

解得或，

所以为等腰或直角三角形.

故选：C

8．在中，为上一点，且，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件转化边角的关系，计算即可.

【详解】法一、相似转化边的关系

如图所示，在和中，有,

故,设，则，,所以

设则根据相似比：得

又，由余弦定理可得：

则，，故

法二、正弦定理边化角.

设，则,

在和中,有，由正弦定理有：，

两式相除得：

由三角恒等变换公式得：

由弦化切，构造齐次式得：，

即，解之得：或

在中，则，故

故选：D

【点睛】本题考察向量与解三角形的综合，属于压轴题.方法一通过已知找到边之间的关系是关键，在根据余弦定理即可解得答案；方法二是根据“爪”型三角形，通过两次正弦定理转化边角关系，解有关角的方程，颇考验计算功底.

二、多选题

9．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】直接利用正弦定理求解即可.

【详解】由正弦定理，

得，

又，，所以或．

故选：CD．

10．下列命题中为假命题的是（      ）

A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体

B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱

D．正四棱柱是平行六面体

【答案】ABC

【分析】ABC均可以举出反例，D选项是真命题.

【详解】对于选项A，当底面不是矩形的时候，直四棱柱非长方体，A错误；

对于选项B，根据棱柱的定义，显然不成立，如图，满足要求，但不是棱柱，B错误；

对于选项C，可以是两对称面是矩形的平行六面体，C错误；

D选项，正四棱柱是平行六面体，D正确．

故选：ABC．

11．下列命题为真命题的是（    ）

A．复数的虚部为

B．在复平面内，复数的共轭复数对应的点在第四象限

C．若i为虚数单位，n为正整数，则

D．复数z是方程的一个根，则

【答案】ACD

【分析】求得复数的虚部判断选项A；求得复数的共轭复数对应的点所在象限判断选项B；求得的值判断选项C；求得复数z的模的值判断选项D.

【详解】选项A：复数的虚部为.判断正确；

选项B：在复平面内，复数的共轭复数为，

对应的点的坐标为，位于第二象限.判断错误；

选项C：.判断正确；

选项D：复数z是方程的一个根，

则，或，则.判断正确.

故选：ACD

12．下列说法正确的是（    ）

A．棱柱所有的面都是平行四边形

B．正方体的外接球与内切球的表面积之比为3：1

C．已知是边长为2的正三角形，则其直观图的面积为

D．以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台

【答案】BC

【分析】根据棱柱的性质判断A，求球的外接球的半径和内切球的半径，结合球的表面积公式判断B，根据斜二测画法判断C，根据旋转体的结构特征判断D.

【详解】对于A，三棱柱的底面为三角形，A错误；

对于B，设正方体的边长为，

则其外接球半径为，内切球半径为，

所以其外接球表面积为，内切球表面积为，

所以正方体的外接球与内切球的表面积之比为3：1，B正确；

对于C，

以的中点为原点，为轴建立平面直角坐标系，再作其直观图如下：

的面积为，

根据斜二测画法的规定可得

，，

过点作，垂足为，则，

其直观图的面积为，C正确；

以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周，

形成的几何体为一个圆锥和一个圆台并挖去一个圆锥的的组合体，D错误.

故选：BC.

三、填空题

13．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若A=45°，a=，b=，则c=           .

【答案】3

【分析】由余弦定理得，化简即得解.

【详解】由余弦定理得，

即，

因为，所以.

故答案为：3.

14．若，（）则            .

【答案】

【解析】由复数除法及复数相等求出实数，再由复数模的运算计算出模．

【详解】由题意，∴，解得，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查复数除法运算，复数相等的概念，考查复数模的运算．属于基础题．

15．将下图所示的圆锥形容器内的液体全部倒入底面半径为的直立的圆柱形容器内，则液面高度为      ．

【答案】

【分析】先求出圆锥形容器内的液体表面的半径，再根据液体的体积不变，结合圆锥和圆柱的体积公式即可得解.

【详解】设圆锥形容器内的液体表面的半径为，

则，解得，

设所求液面高度为，

则，解得，

所以液面高度为．

故答案为：.

16．如图，长方体中，AB＝4，BC＝10，，P为上的一个动点，则AP＋PC的最小值为        ．

【答案】

【分析】将半平面沿翻折到且平面与平面位于同一平面，连接与交于点，此时即为的最小值，再利用余弦定理求出即可；

【详解】解：如图

将半平面沿翻折到且平面与平面位于同一平面，截面图如下所示：连接与交于点，此时即为的最小值，

因为，，，所以，，，所以

所以

所以

故答案为：

四、解答题

17．已知复数满足，其中是数单位，是复数的共轭复数

(1)求复数；

(2)若复数是纯虚数，求实数的值

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）根据复数的相等及乘法运算可求解；

（2）由纯虚数的概念建立等式求解即可.

【详解】（1）设，，则，

就是，即.

于是，解得，所以.

（2）

.

此为纯虚数，所以，即，因此.

18．已知△的内角，，所对边分别为，，，且．

（1）求；

（2）若，，求△的面积．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由正弦定理边角互化及两角和正弦公式可得，而且，即可求.

（2）由（1）易得，由题设有即可求上的高，进而求△的面积．

【详解】（1）由题设，，

∴，又，

∴.

（2）由（1）知：，则，

∵，又，

∴，故△在上的高，

∴.

19．如图所示是一个正三棱台，而且下底面边长为2，上底面边长和侧棱长都为1.O与分别是下底面与上底面的中心.

（1）求棱台的斜高；

（2）求棱台的高.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）棱台侧面是等腰梯形，在等腰梯形中可计算出斜高；

（2）在直角梯形中计算高或补形为棱锥的直角三角形计算．

【详解】（1）因为是正三棱台，所以侧面都是全等的等腰梯形.

如图（2）所示，在梯形中，分别过，作AC的垂线与，则由，可知，从而，

即斜高为.

（2）根据O与分别是下底面与上底面的中心,以及下底面边长和上底面边长分别为2和1，可以算出

.

假设正三棱台是由正棱锥截去正棱锥得到的，则由已知可得VO是棱锥的高，是棱锥的高，是所求棱台的高.

因此是一个直角三角形，画出这个三角形，如图（3）所示，则是的中位线.

因为棱台的棱长为1，所以，，从而

，

因此.

因此棱台的高为.

【点睛】本题考查正棱台中的高与斜高的计算，解题关键是掌握正棱台中两个直角梯形．棱台可能看作是由棱锥截出来的，因此也可借助正棱锥中的直角三角形计算．

20．如图，在梯形中，已知，，，，．

(1)求；

(2)求的长；

(3)求的面积．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可求得的余弦值和正弦值，然后利用两角和的正弦公式可求得结果；

（2）在中，利用正弦定理可求得的长；

（3）求出的值，利用余弦定理可得出关于的方程，求出的长，利用三角形的面积公式可求得的面积．

【详解】（1）解：因为，则为钝角，

由，可得，．

.

（2）解：在中，由正弦定理得，即，

解得.

（3）解：因为，则，

所以，，

，

在中，由余弦定理得，

即，解得或（舍）．

.

21．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.问题：在锐角 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，____.

（1）求A；

（2）若D为BC的中点，且△ABC的面积为，，求AD的长.

【答案】（1）； （2）.

【分析】（1）选择①：由正弦定理化简求得，即可求解；选择②：由正弦定理和三角函数的基本关系式，化简得到，即可求解；选择③：由向量的数量积运算公式和余弦定理，化简得到，即可求解.

（2）由（1）和题设条件，求得，进而求得，再由正弦定理和三角函数的基本关系式，求得，结合余弦定理，即可求解.

【详解】（1）选择①：因为，

由正弦定理，可得，

又由，可得，所以

因为，可得，所以，

又因为，所以.

选择②：因为，可得，即，

由正弦定理，可得，

因为，可得，所以，

又因为，可得，所以.

选择③：因为，可得，

即，即，

解得或，

又因为锐角，即，所以，所以.

（2）由（1）知，因为 的面积为，且，

可得，解得，

则，所以，

又由，可得，

则，

因为，所以，

又由，

所以，

所以.

22．在中，.

(1)求A；

(2)若的内切圆半径，求的最小值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据已知条件、三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，再结合解三角方程即可求解.

（2）由题意可知，利用三角形的等面积法及余弦

定理得出含有和的关系式，再利用基本不等式的变形即可求得的最小值.

【详解】（1）在中,，

整理得，即

，于是

所以，

因为，所以，即

，

所以，又因为，所以，

所以，解得.

所以.

（2）令，（1）知.

由，得

，即，

由余弦定理及（1）知，得

，

所以，

即，

于是

当且仅当时取等号

所以，

或

又的内切圆半径，， ，

，的最小值为.